等差数列教案.docx

等差数列教案等差数列教学内容与教学目标1使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会“迭加”的方法；2通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；3通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神设计思想1根据本节内容，我们选用“探究发现式”教学法，并按如下顺序逐步展开： 给等差数列下定义； 等差数列通项公式的探求； 通项公式的初步应用2在讲等差数列概念之前，学生对数列的定义及通项公式已有所理解在此基础上，通过引导学生对几个具体数列共性的观察研究，让学生自己给等差数列下定义把命名权交给学生，旨在充分发挥学生的主体作用3“观察归纳猜想证明”是获得发现的重要途径因此，在探求等差数列的通项公式时，我们选择了上述途径，一方面可提高学生的合情推理与逻辑推理能力，另一方面，为落实教学目标打下了坚实的基础课题引入通过请学生观察几个具体的数列的特点例如： 1，4，7，10，?； 3，1，5，9，?； 5，5，5，5，?，并由学生自行分析得出“从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数”这一共性，随即请学生给这类数列命名”，师肯定学生的回答，或稍作提炼，并顺水推舟，指出这是我们今天将要研究的内容等差数列，以此引出课题知识讲解1关于等差数列的定义 教学模式：由学生观察分析几个具体数列的共性给这类数列命名给等差数列下定义分析两个要点的作用用符号语言描述定义指出定义的功能采用这一教学模式，主要目的是充分发挥学生的主体作用，教师的主导作用主要体现在必要的点拨上 等差数列的定义有两个要点一是“从第2项起”这是为了确保每一项与前一项差的存在性；二是“差等于同一个常数”，这是等差数列的基本特点“差相等”的具体体现2+关于等差数列的通项公式 教学模式：试验归纳猜想证明鉴赏即试着求出a1，a2，a3，a4，并对此进行分析归纳，猜想出通项公式，再加以证明，最后从数形结合的角度揭示公式的内涵采用这一教学模式，可帮助学生学习合情推理与逻辑推理的方法，提高学生的发现能力和逻辑思维能力，培养学生思维的科学性和严密性以及勇于探索的精神 通项公式的证明：方法1：在anan1=d中，取下标n为2，3，?，n，得a2a1=d，a3a2=d，a4a3=d，?，anan1=d把这n1个式子相加并整理，得an= a1d又当n=1时，左边= a1，右边= a1d= a1公式也适用故通项公式为an= a1d方法2an= an1d= an22d= an33d=?= a1d 公式鉴赏： 通项公式可表示为an=dnc的形式，n的系数即为公差当d0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dxc的图象上的一群孤立的点 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值例题分析考虑到本节课是等差数列的起始课，因此例题应围绕等差数列的定义及通项公式这两个知识点选配例1求等差数列8，5，2，?的第20项通过本题的求解，使学生初步掌握通项公式的应用，运用方程的思想“知三求一” 本例在探求出通项公式以后给出分析与略解：欲求第20项a20，需知首项a1与公差d现a1为已知，因此只需x求出d，便可由通项公式求出a20事实上， a1=8，d=58=3，n=20， a20=8= 49例2已知数列2，1，4，?，3n5，?， 求证这个数列是等差数列，并求其公差； 求第100项及第2n1项； 判断100和110是不是该数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由通过本例的求解，加深学生对定义及其功能的理解和认识，并能利用方程的思想解决问题本例可在讲完定义后给出，也可在获得通项公式以后给出分析：对，只需利用定义证明an1an等于常数即可，并且这个常数即为公差；对，从函数的角度看，只需将an=3n5中的n分别换成100及2 n1即得a100和a2n1；对，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分别求出n，若求出的n为正整数，则可判定该数是这个数列中的项，并且这个正整数是几，该数就是这个数列中的第几项；若n不是正整数，则该数不是这个数列中的项略解：由于an1an=35=3，故这个数列是等差数列，且公差d=3 an=3 n5， a100 =31005=295，a2n1=35=6n8 设3 n5=100，解得n=35， 100是这个数列中的项，并且是第35项；设3 n5=110，解得n=1153?nx， 110不是这个数列中的项小结或总结本节课我们主要研究了等差数列的定义和它的通项公式等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用习 题1已知等差数列an中，a1=56，a6=2036，则a4=2已知数列an的通项公式是an=2 n3，证明an是等差数列，并求出公差、首项及第2 n5项3在数列an中，a1=2，2 an11=2an，则，a51等于， 20 21 22参考答案 231462 an1an= 2，an是等差数列，且d= 2，a1=1，a2n5= 4 n73d引申与提高除了等差数列的定义以外，通项公式也是判断一个数列是否是等差数列的依据之一我们把通项公式改写成a1= an，并把它与原通项公式比较，易知两者形式是完全一样的这里可视an为首项，a1为第n项，这个数列由原数列中前n项反序书写而得，即an，an1，an2，?，a2，a1由式知它仍成等差数列，并且公差为d由此知，从正、反两个不同的顺序看待“同一个”等差数列时，各自“等差”的特点保持不变，但公差互为相反数思 考 题已知数列5，3，1，1，?是等差数列，判断2n7是否是该数列中的项？若是，是第几项？略解： d= 3=2， an= 52=2 n7而2n7=27， 2n7是该数列中的第n7项已知数列5，3，1，1，?是等差数列，判断2n7是否是该数列中的项？若是，是第几项？略解： d= 3=2， an= 52=2 n7而2n7=27， 2n7是该数列中的第n7项测 试 题22且an是等差数列，则1已知数列an?的前4项分别为25，238是数列an?中的 第49项an?1 第48项 第50项 ?3?1an 第51项 2已知数列an中，a1=1，则a98=3一个首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围参考答案d21292提示：1an是公差为3的等差数列，求出1an后再求an，进而求出a98?a10?0?24?9d?083由?，即?，解得d3. 3?24?8d9?0?a9?0d的取值范围是?，3?3?8?等差数列本节课讲述的是人教版高一数学3.2等差数列的内容。一、教材分析1、教材的地位和作用：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。2、教学目标理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；3、教学重点和难点等差数列的概念。等差数列的通项公式的推导过程及应用。由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。二、学情分析对于高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。二、教法分析本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。三、教学程序本节课的教学过程由复习引入新课探究应用举例归纳小结布置作业，五个教学环节构成。复习引入：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：0，5，10，15，20，25，;48，53，58，63，;18，15.5，13，10.5，8，5.5;10 072，10 144，10 216，10 288，10 366 新课探究1、由引入自然的给出等差数列的概念：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： 从第二项起满足条件；公差d一定是由后项减前项所得；每一项与它的前一项的差必须是同一个常数；在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： an+1-an=d同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。1.9 ，8，7，6，5，4，； d=-12.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74； d=0.013. 0，0，0，0，0，0，.; d=04. 1，2，3，2，3，4，；5. 1，0，1，0，1，其中第一个数列公差0,第三个数列公差=0由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0 ，当d=0，an 为常数列。2、第二个重点部分为等差数列的通项公式若一等差数列an 的首项是a1,公差是d,则据其定义可得：a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +da3 a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2da4 a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d猜想: a40 = a1 +39d进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+d此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法-迭加法：a2 a1 =da3 a2 =da4 a3 =dan an-1=d将这个等式左右两边分别相加,就可以得到an a1= d即 an= a1+ d当n=1时，也成立，所以对一切nnx，上面的公式都成立因此它就是等差数列an的通项公式。在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到注重方法，凸现思想 的教学要求am 与an有什么关系呢？am=a1+dan=a1+da1=am-d代入得an=am-d+d 即：an=am+d应用举例求等差数列8，5，2,的第20项;-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？分析这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+=-49.分析由a1=-5,d=-9-=-4得数列通项公式为an=-5-4.由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.已知数列an的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？例题分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要根据什么?只要看差an-an-1是不是一个与n无关的常数.说得对，请你来求解.当n2时，取数列an中的任意相邻两项an-1与anan-an-1=-p+q=pn+q-=p为常数,所以我们说an是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.这里要重点说明的是：若p=0，则an是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，.若p0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.数列an为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q，称其为第三通项公式.归纳小结1.等差数列的概念及数学表达式强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数2.等差数列的通项公式 an= a1+ d会知三求一布置作业必做题：课本p114 习题3.2第2，6 题五、板书设计等差数列教案一、 教材分析从教材的编写顺序上来看，等差数列是必修五第二章的第二节的内容，一方面它是数列中最基础的一种类型、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习等比数列及数列的极限等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，对其在性质的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体依据课标 “等差数列”这部分内容授课时间3课时，本节课为第2课时，重在研究等差数列的性质及简单应用，教学中注重性质的形成、推导过程并让学生进一步熟悉等差数列的通项公式。二 教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等差数列的定义基础上初步掌握等差数列几个特征性质并能运用性质解决一些简单问题过程与方法目标：通过性质的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质情感与态度目标：通过其性质的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美三教学的重点和难点重点：等差数列的通项公式的性质推导及其简单应用从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过发现性质培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即知识技能线：问题情境性质发现简单应用；过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳转化、方程思想；能力线：观察能力数学思想解决问题能力灵活运用能力及严谨态度.难点：等差数列的性质的探究，从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.它需要对等差数列的概念充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的。突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，给予恰大的引导，让学生能在原有的认知水平和所需的知识特点入手。 四教学方法利用多媒体辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式五教学过程.1.复习引入回顾等差数列的定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an?an?1?d 2. 根据给出的数列引导学生发现等差数列的性质：有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于其首末两项之和a1?an?a2?an?1?a3?an?2?已知aman 为等差数列的任意两项，公差为d，则d=等差数列中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq若?an?bn?是等差数列，则?an?k?kan?an?bn?也是等差数列，公差分别为d、kd、d1+d23.知识巩固例1. 等差数列?an?中，已知a2?a7?9,a3?4，则a6解析一：由等差数列通项公式得：a2?a7=a1?d?a1?6d?9a3?a1?2d?4解得：am?anm?n101则a6?a1?5d?5 a? d?33解析二：由性质得a2?a7?a3?a6易得a6?5变式：等差数列?an?中，a5?8,a2?2.则a8?例2. 已知等差数列?an?满足a1?a2?a3?a101?0，则有a、a1?a101?0 b、a2?a101?0c、a3?a99?0d、a51?51 解析：根据性质1得：a1?a101?a2?a100?a49?a50?2a51，由于a1?a2?a3?a101?0，所以a51?0，又因为，a3?a99?2a51?0，故正确答案为c。课堂练习：等差数列?an?中， a第六项是多少？ 4.小结引导学生回顾等差数列定义，从通项公式中发现性质。 5.作业布置：.书面作业：教材p681.3请同学们课后思考：除了上述特征性质外，还能不能发现其他的性质？六教学设计说明1复习引入.本着遵循掌握知识，熟能生巧的方针，温故而知新。让学生自己例举等差数列，进一步让学生真正知道什么是等差数列，然后采用图片形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2性质发现教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性. 3知识巩固通过例题说明灵活的应用这些性质和变形公式，可以避繁就简，有思路的功效。对数列性质的灵活应用反应学生的知识结构特征掌握程度，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.?2,a?5.则数列?a?4?的n4作业布置弹性化通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间等差数列教学目的：1明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：引入： 5，15，25，35，?和 3000，2995，2990，2985，?请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数；，我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列二、讲解新课：1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差数列10，8，6，4，2，?； an?10?12?2n 数列1234;,;,1,?;an?1?1?n 5555555由上述关系还可得：am?a1?d即：a1?am?d则：an?a1?d=am?d?d?am?d即的第二通项公式an?am?d d=am?anm?n如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d三、例题讲解例1 求等差数列8，5，2?的第20项 -401是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？解：由a1?8,d?5?8?2?5?3n=20，得a20?8?49 由a1?5,d?9?4得数列通项公式为：an?5?4由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401?5?4成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an解法一：a5?10，a12?31，则 ?a1?4d?10?a1?2an?a1?d?3n?5?d?3?a1?11d?31a20?a1?19d?55解法二：a12?a5?7d?31?10?7d?d?3a20?a12?8d?55an?a12?d?3n?小结：第二通项公式an?am?d例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算us?uts?t解：通过计算发现us?ut的值恒等于公差s?t证明：设等差数列un的首项为u1，末项为un，公差为d，?us?u1?d?ut?u1?d-得us?ut?d?us?ut?d s?t小结：这就是第二通项公式的变形，几何特征，直线的斜率例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设?an?表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12a12?a1?d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.例5 已知数列an的通项公式an?pn?q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定?an?是不是等差数列，只要看an?an?1是不是一个与n无关的常解：当n2时, ）an?an?1?pn?q?p为常数an是等差数列，首项a1?p?q，公差为注：若p=0，则an是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，若p0, 则an是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.数列an为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an?am?d和an=p n+q 的理解与应用.?课题：3.3 等差数列的前n项和6161,又nnx满足不等式n的正整数一共有30个. 22二、例题讲解例1 .求集合m=m|m=2n1,nnx,且m60的元素个数及这些元素的和. 解：由2n160,得n即 集合m中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，59，组成一个以a1=1, an30=59,n=30的等差数列.sn=2,s3030=2=900.答案：集合m中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，m=m|m=3n+2,m100,mnx解：分析题意可得满足条件的数属于集合，m=m|m=3n+2,m100,nnx 由3n+2100,得n3223,且mnx