高考数学复习点拨 运用导数解决生活中的优化问题

用心 爱心 专心 运用导数解决生活中的优化问题运用导数解决生活中的优化问题 在现实生活与生产中 我们常常会遇到一定条件下 怎样是材料最省 效率最高 性 能最好 生产过程最优等问题 在一个企业中这些至关重要的优化问题 在许多情况下可以 利用导数求函数最大 小 値问题最为简捷 下面举例说明 一 设计产品规格问题设计产品规格问题 例例 1 1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱底的容积最大 最大容积是 多少 解法一 设箱底边长为 xcm 则箱高 60 2 x h cm 得箱子 容积 2 60 32 2 xx hxxV 600 x 2 3 60 2 x V xx 600 x 令 2 3 60 2 x V xx 0 解得 x 0 舍去 x 40 并求得V 40 16 000 由题意可知 当 x 过小 接近 0 或过大 接近 60 时 箱子容积很小 因此 16 000 是最大值 答 当 x 40cm 时 箱子容积最大 最大容积是 16 000cm3 解法二 设箱高为xcm 则箱底长为 60 2x cm 则 得箱子容积 xxxV 2 260 300 x 后面同解法 一 略 由题意可知 当x过小或过大时箱子容积很小 所以最大值出现在极值点处 x 60 2x 60 2x 60 2x x 60 2x60 60 x x 60 60 x x 用心 爱心 专心 事实上 可导函数 2 60 32 2 xx hxxV xxxV 2 260 在各自的定义域中 都只有一个极值点 因而这个极值点就是最值点 不必考虑端点的函数值 例例 2 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底与半径应怎样选取 才能使所用的 材料最省 解 设圆柱的高为 h 底半径为 R 则表面积 S 2 Rh 2 R2 由 V R2h 得 2 V h R 则 S R 2 R 2 V R 2 R2 2V R 2 R2 令 2 2 V s R R 4 R 0 解得 R 3 2 V 从而 h 2 V R 2 3 2 V V 3 4V 23 V 即h 2R 因为 S R 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 变式 变式 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时 它的高与底面半径应怎样选取 才能使 所用材料最省 提示 S 2Rh 2 2 R h R RS 2 2 2 V R R RS 2 2 2 R 2 32 2 1 2 2 1 RSRRRS RV 0 2 6 RS RhRRhR2226 22 点评 以上两题通过设变量 由题意得到一个函数 再确定它的取值范围 用导数研 究目标函数的最大 小 值 是解本题的关键 二 计划产量问题计划产量问题 例 3 某工厂生产某种产品 已知该产品的月生产量x 吨 与每吨产品的价格 吨 元 p之间的关系式为 2 5 1 24200 xp 且生产x的成本为 xR20050000 元 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利润是 多少 分析 解本题的关键是利用 利润 收入 成本 这一等量关系 建立目标函数 注意确定 函数的定义域 然后利用导数求最值 解 设每月生产x吨时的利润为 用心 爱心 专心 xxxxf20050000 5 1 24200 2 05000024200 5 1 3 xxx 由 024000 5 3 2 xxf 得200 200 21 xx 舍 xf 在 0内只有一个点200 x使 0 xf 又 00 f xf 当 x 在点200 x 0200 f 故它就是最大值点 且最大值为 3150000500002002400200 5 1 200 3 f 元 所以该厂每月生产 200