45[1].专项复习（直角三角形、圆）

专项复习 直角三角形 圆 专项复习 直角三角形 圆 例题精选例题精选 例例 1 已知的四个三角函数值 ABCCABBCA中 求 9064 解解 C90 ABBCAC AC AC AA tgActgA 222 222 6420 2 5 4 6 2 3 2 5 6 5 3 4 2 5 2 5 5 2 5 4 5 2 sin cos 例例 2 已知 在 ABCC中 90 解答下列问题 1 化简 12 sincosAA 2 如果tgBA 2 sin 求的值 3 如果 11 5 sin cos AtgA A 求的值 解解 1 122 22 sincossincossincosAAAAAA sincos sincos sincos cossin AAAA AAA AAA 2 4590 045 小结小结 是个很重要的关系 它还可以写成sincos 22 1AA sincos 22 1AA 等 应用它有利于化简或运算或证明 cossin 22 1AA 2 tgB b a 2 设 则 bk ak cabkkk A a c k k 2 23 3 1 3 3 3 2222 sin 3 tgA a b a c b c A A sin cos 1111 5 sinsin cos sin cos sinAtgAA A A A A 15 15 1 15 11 15 1 125 1 2624 12 13 2 cossin coscos coscoscos coscos cos cos cos cos AA AA AAA AA AA A A 例例 3 在 ABCCabcABC中 分别为 的对边 90 1 已知cSab 3 59 求 2 已知tgAB 52 sin 斜边上的中线为 求 解解 1 Sab 9 1 2 9 ab ab 181 45 22 又 ababab ab abab 222 2453681 91 12 3663 由与 或 2 斜边上的中线为2 c4 ab a b a b B b c 22 16 5 2 30 3 2 6 3 2 6 3 4 6 6 解得 sin 例例 4 在 ABCABBCABBD中 求 的值 30452 解解 过CCD ABD作于 在中 Rt DBC BBC B CD BC CDBCB BDCD Rt ACD ACDctgA AD CD ADCDctgA ABBD 452 2 2 2 2 2 302 236 622 并且 在中 sin sin 例例 5 在求 ABCCDBCctgBtg ADCBD中 是上一点 902 4 3 5 AD 解解 在中 Rt ACD tg ADC AC CD ACxCDx Rt ACBctgB BC AC BCACx BDBCCDxxx BDxx ACCD AD 4 3 43 2 28 835 5551 43 5 设 又在中 例例 6 已知 如图 在上的三分之一点 ABCAABACDAC中 是 90 求 的正切值及它的正弦值 DBC 分析分析 因为所要求的是 的三角函数值 所以需把 放入一个 DBC DBC 直角三角形中 自然想到过 D 点作而题目DE BCE 于 的已知条件中没有给出线段长度的任何具体数据 这种 情况我们常常考虑运用设参数 或叫辅助元 的方法 使之量化 完成量与量之间的沟通 解解 过 点作于 点DDE BCE 设 是的三分之一点 ABACa DAC ADaDCa 3 2 在中 在中 Rt BAD BDABADaaa Rt DECC 2222 310 45 DEECDCa Rt ABCBCABa BEaaa tg DBC DE BE a a DBC DE BD a a 2 2 2 23 2 3 222 2 2 2 2 1 2 2 10 5 5 在中 sin 例例 7 一只船以每小时 30 海里的速度向西南方向航行 上午 9 时在 M 处发现船 的南偏西方向有一灯塔 P 上午 11 时到这座灯塔正西30 的 N 处 求这时船与灯塔的距离 解解 延长交于NPMAD 在中 在中 Rt NMDNMD MN MDNDMN Rt PMDPMD 45 30260 2 2 30 2 30 PDMDtg PMDtg NPNDPD 30 23030 2 3 3 10 6 30 210 6 答答 这时船与灯塔的距离为 海里 30 210 6 例例 8 已知 如图 ABCBABDBC中是 45 5 6 2 上一点 的度数及 AC 的长 AD 5 CD 3 求 ADC 解解 过 作于AAH BCH 在中 Rt ABH AHBHAB 2 2 5 3 2 在中 Rt ADH sin ADH AH AD 5 3 2 5 3 2 ADH60 DH CDHC Rt AHC ACAHHC 5 2 3 1 2 75 4 1 4 19 22 又 在中 小结小结 先将所求的角和边放入直角三角形 然后找可解直角三角形 通过 可解直角三角形的求解为所要求的边或角提供条件 例例 9 如图 且 ABCBACBDBC中 是上一点 30120 ADC 458 若求长CDBD 解法解法 1 过 作交延长线于AAH BCBCH 设 在中 又在中 在中 CHxRt ACH ACBACH AHx Rt ADHADH AHDH DC xx x AHDH Rt ABHB 12060 3 45 8 38 431 4 331124 3 30 BHAH BDBHDH 312 312 12 31284 34 8 3 解法解法 2 由解法 1求出后CHx 431 ACCH ACHBBAC BBAC ACBC BDBCCD 2831 831 8 3888 3 由 可得 小结小结 在解直角三角形的有关题目时 直接求解不可解时注意利用方程或 方程组的知识 例例 10 在以 BC 为底边的等腰三角形 ABC 中 其高 AD BE 的长分别为 20 和 24 M 为 AD 的中点 连结 BM 并延长交 AC 于 F 求 BF 的长 解解 过作交于MMNBCACN 设 又在中 由 解出 BCx ACABy BCADACBE xy Rt ADB ABBDAD y x xy BCBDDC 1 2 1 2 20241 2 202 123025 3015 222 2 2 2 在中 Rt BDM BMBDMD MF BF MN BC BFBM BF BF BF BF 2222 15105 13 1 4 1 4 5 131 4 20 3 13 例例 11 在 已知关于 ABCABCabc中 的对边分别为 x的方程 如果 是这个方程的两个根 xcxcc 2 448044 2 ab 求证 若在这个直角三角形中又有求三边的长 CRt 259aAcsin 解解 ab 是方程的两个根 abcabc ABC abababcc cccc CRtRt ABC A a c 448 242 48 816816 2222 22 sin 在中 又在中 而由 可得 设则 259 9 25 9 25 9 25 3 5 3504 2 2 aAcA c a a c c a a c a c ak ck kbk sinsin 又 abckkk 43454 kabc26810 例例 12 如图 已知 P 为直径是 2 的圆 O 内的一个定点 且 PO 线段 AB 1 2 2 为过点 P 的任一弦 且它所对的圆心角再过 A 和 B 作圆 O 的切线 AOB2 交于 C 设 P 到 AC BC 距离分别为 a b 求证 的两个根 abxABx 是方程 220 22 sin sin 证明证明 弦切角等于所夹弧对的圆周角 又圆心角 AOB2 CABCBA aPAbPB abPAPBAB sin sin sinsinsin abPAPB PAPB PODE PAPBPDPE ab 过 点作圆 的直径 则 sinsin sin sin 2 2 1 1 2 21 1 2 2 1 2 1 2 abxABx 为方程 的两个根220 22 sin sin 例例 13 已知 的一个内角 关于 的一元二次方程 AABC是 x 有两个相等的实数根 且这个方程的根恰好是x tg A x 2 2 69 30 又 ABCbcbc的两边 与 的和 其中 S ABC 3 3 2 求 1 的度数 A 2 的值 bc 分析分析 因为方程有两个相等的实数根 所以 进x tg A x 2 2 69 30 0 而可求出 A 的度数 再利用题目中的已知条件 列出 的等量关系 从而bc和 解决问题 解解 1 方程有两个相等实根x tg A x 2 2 69 30 649 3 2 0 2 3 3 1 2 3060 2 tg A tg A AA 2 方程的二根为 3 3 69 303 3 2 12 xxxx 依题意bc 3 3 SbcA ABC 1 2 sin 又 S ABC 3 3 2 1 2 3 3 2 60 3 2 6 3 3 6 00 bcA A A bc bc bc bc bc sin sin bc2 33 专项训练专项训练 一 填空题 一 填空题 1 已知 120 cos xx则 2 确定下列各式的符号 tgtg5070 coscos3590 3 化简 tg ctg 55 35 0 cos 4 如果直角三角形斜边长为 4 一条直角边的长为 则斜边上的高为2 3 二 选择题 二 选择题 1 当的范围是 AAA为锐角 且时 1 2 3 2 cos A B 030 A3060 A C D 6090 A3045 A 2 在的值为 ABCABCctgBtgA中 则 1 2 3 A B 1C D 3 1 3 1 3 3 在 10 则是S A 3B 300C D 150 50 3 4 Rt ABCCBa b c 中 则 90 2 3 cos A B 25 3 1 2 3 C D 123 253 5 已知 斜边 AB 的坡度为 1 2 若则Rt ABCC 中 90BCAC BC CA AB 等于 A 1 2 B 1 253 C 1 D 1 2 535 6 在的值为Rt ABCCAAB 中 则 9030 sincos A 1B C D 13 2 12 2 1 4 7 在 则Rt ABCCACBCDACCBD 中 点 在上 9030 AD DC A B C D 不能确定3 2 2 31 三 计算 三 计算 1 ctg 45cos 45sin 45cos 222 30 2 ctgtgctg226068 3555 22 sinsin 3 coscostgctg4530302301 2 4 sin cos sin 50 40 145 3060 2 22 ctg tg 四 在锐角三角形 的长 ABCABACBD ACAD CDBCAB中 求 2 315 五 已知 如图 ABCCBADC中 904560 的长 BDAC 10 求 六 的两个根分别是一个直角三mmxmx为何值时 方程 1535120 2 角形中两个锐角的正弦值 答案答案 一 一 1 2 3 04 45 3 二 二 1 B2 C3 D4 A5 A 6 A7 C 三 三 1 02 3 4 3 3 2 19 5 四 5 2 2 五 AC 155 3 六 m 10 专项复习 圆 专项复习 圆 例题精选例题精选 例例 1 如图 已知 O 中 M N 分别是两条弦 AB CD 的中点 且 AB CD 求证 AMNCNM 分析 分析 要证 由已知 M N 分别是弦 AMNCNM AB CD 的中点 连结 OM ON 根据垂径定理得 只要证得即可 因为OM ABON CD OMNONM 中 所以证明 由已知 AB CD 可以证得 OMNONMMON和在 OMON OM ON 证明 证明 连结 OM ON 分别为 AB CD 的中点 M N OM ABON CDAMOCNO 90 ABCDOMON OMNONMAMNCNM 例例 2 如图 已知 AB CD 为 O 的弦 且 AB CDMOH ADH 于 于 求证 OHBC 1 2 分析 分析 观察图形发现 OH 与 BC 之间没有直接联系 这就需要找到一个相关联的量 使它与 OH BC 联系起 来 由可得 AH DH 连结 AO 并延长交 O 于 E 得到直径 AOE 再连OH AD 结 DE 则 只要证明 DE BC 问题就得以解决了 DE BC 是 OOHDE 1 2 中的两条弦 故证明 只需证明 由图形可知 DAECAB 又 所以 ACDEAB CDAD DE DAECAB 证明 证明 连结 AO 并延长交 O 于 E 连结 DE AC 为 AD 中点 OH ADH 又 O 为 AE 中点 故OHDE 1 2 AEADE为直径 90 AB CDCMA ACDECABEAD 又 90 BC DE OHBC 1 2 例例 3 如图 已知 在 AE 平分Rt ABCACBCD ABD 中 于 90 交 BC 于 E 过 C E D 三点作圆交 AE BAC 于 G CD AE 交于 F 点 求证 AG FG 分析 分析 要证明 AG FG 从图形可知 即证 明 G 是 AF 的中点 又因为是直角 所 CDA 以 AF 就是斜边 我们利用 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 就可 以把 AG FG 两条线段联系起来 连结 DG 只要证明 DG AG FG 问题就得 以解决 但要证明 DG AG 则要证明 要证明 DG FG 则要 DAGGDA 证明 在圆中角等的条件比较丰富 所以在证明角等时 首先 GDFDFG 要认清所证的角是圆周角 圆心角 还是圆内接四边形的外角 这样就可利用 有关知识证明出相等的角 但如果所要证的角不是以上提到的这些角 就找与 证明的角相关的角 从这些相关的角中发现等量关系 从而证得题目要证的相 等的角 证明 证明 连结 DG BCDDGE ACBCD AB BCDBAC BACDGE EGDGADGDA BACGADGDA AEBAC DAEBAC 90 1 2 则 平分 DAGGDA AGGD CD ABDFABAC ADGGDF 1 2 90 90 GDFDFG GDFG AGFG 例例 4 如图 已知 内接于 ABC O PA 切 O 于 A P 在 BC 的延长线 上 D 为 AB 的中点 PD 交 AC 于 E 求证 PA PC AE EC 2 2 分析 分析 题目要证明线段的平方比等于两条线段之比 首先要结合已知图形 进行分析 PA 切 O 于 A PA2 PC PB 这样可以把化简为 所以 PA PC 2 2 PB PC 只要证明此问题就可以得到解决 要证我们发现这四条线 PB PC AE EC PB PC AE EC 段 分别在两条线段上 这时添加辅助线 寻求等比代换 便问题得以证明 证明 证明 PAOAPCBO切 于 是 的割线 PAPCPB PA PC PCPB PC PB PC CFABPDF PB PC BD CF AE EC AD CF DABADBD PB PC AE EC PA PC AE EC 2 2 22 2 2 作交于 则 为的中点 例例 5 如图 已知内接于 O 的平分线交 BC 于 D 交 O ABC BAC 于 E 求证 ABACADBDDC 2 分析 分析 从求证的结论形式上看 等式右边的形式较复杂 首先把它简化 从图形可知 根据相交弦定理得 BD DC AD DE 而 AD2 BD DC AD2 AD DE AD AD DE AD AE 这样 就可以把较复杂的形式变形为两条线段的乘积 从而使题目中要证的结论转化 为证明 AB AC AD AE 证明 证明 在 中 相交于OAEBCD BDDCADDE ADBDDCADADDE 22 ADADDE ADAE 连结 平分CEAEBAC BADEAC 又 BE ABDAEC AB AE AD AC ABACADAE 即 ABACADBDDC 2 例例 6 如图 已知分别为 O 的割线和PBAPC 切线 CAP45 PBC60 求 SS APCBPC 分析 分析 要求两个三角形的面积之比 由已知和图 形可知 我们可以求这两个三角形相比的平方 从而求得面积的 APCBPC 比 由题目本身所给的条件发现 已知中给的条件是 CAP45 而我们所要的是边的关系 因此就应该把角的关系转化为边的关 PBC60 系 因为已知给的角都是特殊角 故只需添加高线即可构成特殊的直角三角形 找到边与边之间的关系 使问题得到解决 解 解 过 C 作CF APFBFa 于设 在中 在中 切 于 Rt BFC CBF BC a aCFatga Rt AFC CAF AC CF A a a PCOC PCBA PP 60 60 2603 45 3 2 2 6 cos sin PACPCB S S AC BC a a SS PAC PCB PACPCB 即 2 2 2 6 4 3 2 32 例例 7 如图 已知内接于 O P 为 O 外一 ABC 点 作 使 PD 交 O 于 D E 两点并与 CPDA AB AC 分别交于 M N 1 求证 DNNEMNNP 2 若 PD CB 求证 PC 是 O 的切线 分析 分析 1 要证 发现这四条线段都在同一条线段DNNEMNNP PD 上 因此要通过相交弦定理使 这样只要证明 DNNEANNC 即可 故证明 ANNCMNNP AMN PNC 2 要证明 PC 是 O 的切线 连结 CO 证明这就要在圆中出现直CO PC 角 从而找到与直角的关系 根据直径所对的圆周角是直角 延长 CO OCP 到 F 连结 DB 则可证明从而证得 PC 是 O 的切线 FBCPCO90 证明 证明 1 在 O 中 DEACN DNNEANNC APANMPNC AMNPNC MN CN AN NP MNNPANCN DNNEMNNP 相交于 即 故 2 连结 OC 并延长交 O 于 F 连 BF CF FBC DPBCABCAMN AMNPCNAMNPCN ABCPCN FBAFCA FBAABCPCNFCA FBCFCP FCP OC 为直径 又 即 为半径 90 90 O 的切线 PC是 例例 8 如图 四边形 ABCD 内接于半圆 O AB 为直径 过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E 若 O 的半径为 求 BC 的长及BE DEADDC 40 50 3 的值 tg CDB 分析 分析 要求 BC 观察图形发现 BC 是半圆 O 的割线 ECB 在 O 内的部分 又 DE 切半圆 O 于 D 可以考虑利用切割线定理来求得 BC 首先根据题目的条 件求得 DC CE 再利用勾股定理求得 DE 要求的值 可以构造一个直角三角形 使其中的一个锐角等于tg CDB 连结 AC 因为 AB 是直径 所以是直角 可得 CDB ACB 所以只要求得即可 CABCDBtg CAB 证明 证明 连结 AC ABACB BE CEDEC 为直径 90 90 DECACBDEAC EDCDCA 则 DEOD切半圆 于 EDCDAC DCADACADDC则 ADDCDCAD ABCD 4020 四边形内接半圆 ECDDAB DECADB DECBDA CE AD DC AB 的半径是 为直径 在中 切半圆 于 是割线 在中 OAB AB CE DCAD AB Rt DEC DEDCCE DEODECB DEECEB EB DE EC BCEBEC Rt ABC 50 3 100 3 2020 100 3 12 201216 16 12 64 3 64 3 12 28 3 2222 2 22 ACABBC CABCDB tg CAB BC AC BCtg CDB 22 22 100 3 28 3 32 28 3 32 7 24 28 3 7 24 的长为 的值为 专项训练专项训练 一 填空 一 填空 1 已知的圆心角所对的弦长为 3cm 那么所在圆的直径为 60 2 已知 O 中 D 是 AB 的中点 E 是 AC 的中点 则 ODE30 CED 3 已知 C 点是半径为 OB 的 O 延长线上的一点 CA 切 O 于 A 于 D AD 6 AC 10 则 O 的半径为 AD OC 4 如图弦 AB 的长等于 O 的半径 C 是上任意一点 则 sinC 5 O 的割线 PAB 交 O 于 A B 两点 PA 1 AB 2 PO 3 则 O 的半径 等于 6 如图 PA PB CE 分别切 O 于 A B D 三 点 PA PB 5 则的周长为