（重庆卷）2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学预测调研试题（4）理

1 20132013 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学 理工类 高考数学 理工类 高考模拟调研卷 四 模拟调研卷 四 数学试题卷 理工类 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡规定的位置上 2 答选择题时 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦擦干净后 再选涂其他答案标号 3 答非选择题时 必须使用 0 5 毫米黑色签字笔 将答案书写在答题卡规定的位置上 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 5 考试结束后 将试题卷和答题卡一并收回 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知 为虚数单位 则复数i 12 2 ii A B C D 43i 22i 3i22i 2 下列选项一定正确的是 A 若 则 B 若 则 a b ac bc ab a b C 若 则 D 若 则 22 ab a b 11 a b 3 已知是等差数列的前项和 若 则 n S n an 3 4a 5 S A B C D 5101520 4 已知集合 若非空集合满足 中各元素都加构成的一个子 1 2 3 4 5 A MM2A 集 中各元素都减 也构成的一个子集 则M2AM A B C D 不能确定 3 2 3 3 4 5 用个小立方体组成一个几何体 使得它的正视图和俯视图如n 题 5 图所示 则的最大值和最小值分别为n A 16 10 B 21 7 C 16 7 D 21 10 6 已知直线与双曲线的两条渐近线围成了一个直角三角形 1x 22 22 1 0 0 xy ab ab 俯视图 题 5 图 正视图 题 7 图 是 否 开始 结束 2 1 n SSn 55S 01 Sn 输出n 1 nn 2 则双曲线的离心率是 A B 22 C D 55 7 执行题 7 图的程序框图 输出的结果是 A B 89 C D 1011 8 在中 点为边上ABC 60 1 6AACAB PAB 的动点 则的最小值为 PAPC A B 1 2 3 C D 3 2 2 2 9 记为函数的阶导函数 即 n fx f xn nN 1 nn fxfx 若且集合 2 nnN cosf xx sin 2013 m Mm fxx mNm 则集合中元素的个数为M A B 10061007 C D 503504 10 如题 10 图 半径都为 的三个圆两两相交 的长度相等 的长度1AB BC ACCD 为 在图中任一圆内任取一点 则此点取自阴影部分的概率为 2 A B 12 7 2 3 6 8 7 2 3 6 C D 10 7 2 3 6 612 7 2 3 6 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填写在答题卡相应位置上 11 在的展开式中 的系数为 用数字作答 5 1 x 2 x 12 已知为锐角 则tan 3 cos2 5 13 已知函数 都有 21 21 x x f x 25 9 g ata 0 3 x 1 1 a 则实数 的取值范围是 f xg a t 考生注意 14 16 题为选做题 请从中任选两题作答 若三题全做 则按前两题给分 14 如题 14 图 圆的半径为 为圆的内接O1ABC O 正三角形 与圆相切于点 过圆心DAOABDO D AB C 题 10 图 题 14 图 B A C O E D 3 且与圆相交于点 则长为 EDE 15 在同一极坐标系中 点在曲线上 点 Asin4 B 在曲线上 则线段长度的最小值为 4cos AB 16 函数在上的最大值为 2 log 1 2 x f xx x 1 2 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 在中 角所对的边分别为 ABC A B C a b c 2 1 3a b c 求角 C 设函数 求的值域 2 5 sin 2 cos 2 2cos1 2 f xxCCxx f x 18 本小题满分 13 分 某人做掷骰子游戏 每次抛掷一枚骰子 若抛出的点数是的倍数 则得 分 否则得31 分 1 求掷次至少得分的概率 42 求掷次所得分数的分布列和数学期望 4 19 本小题满分 13 分 已知函数 ln 2 x f xeaax 0 a 若是奇函数 求的值 f x a 求函数的单调区间 xf 20 本小题满分 12 分 如题 20 图 四棱锥的底面是边长为的正方形 平面 ABCDP 2 PDABCD 为的中点 2PD EAB 题 20 图 P A BE C D 4 求直线与平面所成角的正弦值 ECPBC 求二面角的余弦值 BPCE 21 本小题满分 12 分 如题 21 图 双曲线的离心率为 右焦点到其渐近线的 22 22 1 0 0 xy Eab ab 2F 距离为 分别为的左 右顶点 过的直线l与的左右两支分别交于两点 3 ABEFE 且 MNMFFN 求双曲线的方程 E 在x轴上是否存在定点使 ABPMPN P 若存在 求的坐标 若不存在 说明理由 P 22 本小题满分 12 分 已知数列满足 1 1 2 a n a 2 1 nnn aaa nN 证明 1nn aa nN 证明 12 111 12 111 n aaa 2 nnN 题 21 图 x y O F B A l M N P 5 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学 理工类 高考模拟调研卷 四 参考答案 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 5 ABDAA 6 10 ADCCD 10 提示 由得弧长等于 所以弧长等于 分别计算出阴影部分 6 BCD BD 3 BC 6 的面积为 白 3 3 2 色部分的面积为 故选 2 36 4 D 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填写在答题卡相应位置上 11 12 13 14 15 10 1 2 2 2 12 16 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 解 设 2 3ak bk ck 则由余弦定理 222222 431 cos 22 22 abckkk C abk k 6 分 3 C 2 5 sin 2 cos 2 2cos1 36 f xxxx 1331 sin2cos2cos2sin2cos2 2222 xxxxx sin2cos2xx 2sin 2 4 x 的值域为 13 分 f x 2 2 18 本小题满分 13 分 解 设抛出的点数是 3 的倍数为事件 A 则 3 1 AP 3 2 AP 掷 4 次至少 得 2 分包括 2 分和 4 分两种情况 81 8 3 2 3 1 33 41 CP 81 1 3 1 4 2 P 9 1 21 PPP 6 6 分 的可能取值为4 2 0 2 4 则 81 16 3 2 4 4 P 81 32 3 2 3 1 2 31 4 CP 81 24 3 2 3 1 0 222 4 CP 81 8 2 P 81 1 4 P 分布列为 P 4 2024 81 16 81 32 81 24 81 8 81 1 13 分 1168324 4 2 818181813 E 19 本小题满分 13 分 解 为奇函数 恒成a ae e xf x x 2 x f 0 xfxf 立 即 a ae e x x 2 0 2 a ae e x x 恒成立 042 822 42 2322 aaeaaeaa xx 6 分 2 1 0822 042 3 2 a aa aa 定义域为 R ae a aa ae e xf xx x 2 2 1 2 当时 恒成立 当时 在上单调递1 a0 x f1 a xfR 减 当时 由得 10 a0 x f0 2 2 1 2 ae aea x x a a e x 1 2 2 即在 由得 a a x 1 2 ln 2 xf 1 2 ln 2 a a 0 x f a a x 1 2 ln 2 在 xf 1 2 ln 2 a a 综上 时 在 在10 a xf 1 2 ln 2 a a 1 2 ln 2 a a 7 时 在 13 分1 a xf R 20 本小题满分 12 分 解 如图 建立空间直角坐标系 则 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 1 0 PBCE 则 2 0 0 0 2 2 2 1 0 CBCPEC 设面的法向量为PBC 1111 nx y z 有解得 1 1 0 0 CB n CP n A A 1 0 1 1 n 设与面所成的角为 ECPBC 则 6 分 1 1 110 sin 10 10 EC n ECn A 设面的法向量为PCE 2222 nxyz 有解得 2 2 0 0 CE n CP n A A 2 1 2 2 n 设所求二面角为 则 12 分 12 12 42 2 cos 3 3 2 nn nn 21 本小题满分 12 分 解 依题意得 渐近线方程为 22 3 c ecaba a 0bxay 到渐近线的距离为 从而 0 F c 22 bc ab 2 22 2 3 3 1 3 a a aa 3b 双曲线方程为 4 分 2 2 1 3 y x 由 知 设 的方程为 2 0 Fl2xmy 1122 x yN xyM 则由得 MFFN 1 12 2 0 y yy y 假设存在点满足 0 P t ABPMPN 4 0 AB 1212 PMPNxtxt yy P A B E C D x y z 8 4 0 1212 0 xtxt yy 12 xtxt 即 12 2 2 mytmyt 代入 得 1212 2 2 0my ytyy 由得 22 2 330 xmy xy 22 31 1290mymy 与 E 交于不同的两点 l 2 2 310 36 1 0 m m 代入 得 1212 2 12 31 m yyy y m 2 9 31m 2 18 31 m m 2 12 2 0 31 m t m 1 2 t 存在点满足题设 12 分 1 0 2 P 22 本小题满分 12 分 证明 以下由数学归纳法证明 1 0 nn aanN 当时 结论成立 1n 2 21111 1 0 4 aaaaa 假设当时 成立 nk 1 0 kk aa 当时 1nk 2 2111