构造函数法证明导数不等式的八种方法

第 1 页 共 8 页 构造函数法证明不等式的八种方法 1 利用导数研究函数的单调性极值和最值 再由单调性来证明不等式是函数 导数 不等式综合中的一个难点 也是近几年高考的热点 2 解题技巧是构造辅助函数 把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值 从而证得不等式 而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法 一一 移 移项项法法构构造函造函数数 例例 1 1 已知函数 求证 当时 恒有xxxf 1ln 1 x xx x 1ln 1 1 1 分析 本题是双边不等式 其右边直接从已知函数证明 左边构造函数 从其导数入手即可证明 1 1 1 1ln x xxg 解解 1 1 1 1 x x x xf 当时 即在上为增函数01 x0 x f xf 0 1 x 当时 即在上为减函数0 x0 x f xf 0 x 故函数的单调递增区间为 单调递减区间 f x 0 1 0 于是函数在上的最大值为 因此 当时 f x 1 0 0 max fxf1 x0 0 fxf 即 右面得证 0 1ln xxxx 1ln 现证左面 令 1 1 1 1ln x xxg 22 1 1 1 1 1 x x xx xg则 当 0 0 0 0 1 xgxxgx时当时 即在上为减函数 在上为增函数 xg 0 1 x 0 x 故函数在上的最小值为 xg 1 0 0 min gxg 当时 即1 x0 0 gxg01 1 1 1ln x x 综上可知 当 1 1 1 1ln x xxx x x 1ln 1 1 1 1有时 警示警示启启迪迪 如果是函数在区间上的最大 小 值 则有 或 那么要 f a f x f x f a f x f a 证不等式 只要求函数的最大值不超过就可得证 0 2 2 作差法 作差法构构造函造函数证数证明明 例 2 已知函数 求证 在区间上 函数的图象在函数的图象的下下 ln 2 1 2 xxxf 1 xf 3 3 2 xxg 方 方 分析 函数的图象在函数的图象的下方问题 xf xg xgxf 不等式 即 只需证明在区间上 恒有成立 设 32 3 2 ln 2 1 xxx 1 32 3 2 ln 2 1 xxx xfxgxF 第 2 页 共 8 页 考虑到 1 x0 6 1 1 F 要证不等式转化变为 当时 这只要证明 在区间是增函数即可 1 x 1 FxF xg 1 解 设 即 xfxgxF xxxxFln 2 1 3 2 23 则 x xxxF 1 2 2 x xxx 12 1 2 当时 1 x x F x xxx 12 1 2 从而在上为增函数 xF 1 0 6 1 1 FxF 当时 即 1 x0 xfxg xgxf 故在区间上 函数的图象在函数的图象的下方 1 xf 3 3 2 xxg 警示警示启启迪迪 本题首先根据题意构造出一个函数 可以移项 使右边为零 将移项后的左式设为函数 并利用导数判断 所设函数的单调性 再根据函数单调性的定义 证明要证的不等式 读者也可以设做一 xgxfxF 做 深刻体会其中的思想方法 3 3 换换元法元法构构造函造函数证数证明明 例 3 证明 对任意的正整数 n 不等式 都成立 32 11 1 1 ln nnn 分析 从所证结构出发 只需令 则问题转化为 当时 恒有成立 现构造函x n 1 0 x 32 1ln xxx 数 求导即可达到证明 1ln 23 xxxxh 解 令 则在上恒正 1ln 23 xxxxh 1 1 3 1 1 23 23 2 x xx x xxxh 0 x 所以函数在上单调递增 时 恒有 xh 0 0 x 0 0 hxh 即 0 1ln 23 xxx 32 1ln xxx 对任意正整数 n 取 32 11 1 1 ln 0 1 nnnn x 则有 警示警示启启迪迪 我们知道 当在上单调递增 则时 有 如果 F x a bxa F x F a 要证明当时 那么 只要令 就可以利用的 f a a xa f x x F x f x x F x 单调增性来推导 也就是说 在可导的前提下 只要证明 即可 F x Fx 4 4 从条从条件特征入手件特征入手构构造函造函数证数证明明 例 4 若函数y 在R上可导且满足不等式x 恒成立 且常数a b满足a b xf x f xf 求证 a b af bf 解 由已知 x 0 构造函数 x f xf xxfxF 第 3 页 共 8 页 则 x 0 从而在R上为增函数 xF x f xf xF 即 a b ba bFaF af bf 警示警示启启迪迪 由条件移项后 容易想到是一个积的导数 从而可以构造函数 求导即 xfxf x xxfxF 可完成证明 若题目中的条件改为 则移项后 要想到是一个商的导数的 xfxf x xfxf x 分子 平时解题多注意总结 5 5 主元法 主元法构构造函造函数数 例 全国 已知函数xxxgxxxfln 1ln 1 求函数的最大值 xf 2 设 证明 ba 0 2ln 2 2 0ab ba gbgag 分析 对于 II 绝大部分的学生都会望而生畏 学生的盲点也主要就在对所给函数用不上 如果能挖掘一下所给函数与所 证不等式间的联系 想一想大小关系又与函数的单调性密切相关 由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数 利用导数研究函数的单调性 借助单调性比较函数值的大小 以期达到证明不等式的目的 证明如下 证明 对求导 则 xxxgln 1ln xxg 在中以 b 为主变元构造函数 2 2 ba gbgag 设 则 2 2 xa gxgagxF 2 lnln 2 2 xa x xa gxgxF 当时 因此在内为减函数 ax 00 xF xF 0 a 当时 因此在上为增函数 ax 0 xF xF a 从而当时 有极小值 ax xF aF 因为所以 即 0 abaF 0 bF 0 2 2 ba gbgag 又设 则 2ln axxFxG ln ln2ln 2 lnln xax xa xxG 当时 因此在上为减函数 0 x0 xG xG 0 因为所以 即 0 abaG 0 bG2ln 2 2 ab ba gbgag 6 6 构构造二造二阶导数阶导数函函数证数证明明导数导数的的单调单调性性 例 已知函数 2 1 2 x f xaex 1 若 f x 在 R 上为增函数 求 a 的取值范围 2 若 a 1 求证 x 0 时 f x 1 x 解 1 f x aex 第 4 页 共 8 页 在 上为增函数 f x 对 恒成立 即 对 恒成立 记 则 1 x e x 当 时 当 时 知 在 1 上为增函数 在 1 上为减函数 g x 在 x 1 时 取得最大值 即 g x max g 1 1 e a 1 e 即 a 的取值范围是 1 e 2 记 F X f x 1 x 0 1 2 1 2 xxxe x 则 F x ex 1 x 令 h x F x ex 1 x 则 h x ex 1 当 x 0 时 h x 0 h x 在 0 上为增函数 又 h x 在 x 0 处连续 h x h 0 0 即 F x 0 F x 在 0 上为增函数 又 F x 在 x 0 处连续 F x F 0 0 即 f x 1 x 小结 当函数取最大 或最小 值时不等式都成立 可得该不等式恒成立 从而把不等式的恒成立问题 可转化为求函数最值问题 不等式恒成立问题 一般都会涉及到求参数范围 往往把变量分离后可以转 化为 或 恒成立 于是大于的最大值 或小于的最小值 从而把 xfm xfm m xfm xf 不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 因此 利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一 种重要方法 7 7 对数对数法法构构造函造函数数 选选用于用于幂幂指指数数函函数数不等式 不等式 例 证明当 2 1 1 1 1 0 x x exx 时 第 5 页 共 8 页 8 8 构构造形似函造形似函数数 例 证明当 ab baeab 证明 例 已知 m n 都是正整数 且证明 1nm mn nm 1 1 思维挑战 1 设xaxxxfaln2ln1 0 2 求证 当时 恒有 1 x1ln2ln 2 xaxx 2 已知定义在正实数集上的函数 其中a 0 且 ln3 2 2 1 22 bxaxgaxxxf aaabln3 2 5 22 求证 xgxf 3 已知函数 求证 对任意的正数 x x xxf 1 1ln ab 恒有 1lnln a b ba 4 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足 0 对任意正数a b 若 xf xfxf x a b 则必有 A af b bf a B bf a af b C af a f b D bf b f a 第 6 页 共 8 页 答案咨询 1 提示 当 时 不难证明 x a x x xf 2ln2 1 1 x0 a 1 ln2 x x 即在内单调递增 故当时 0 x f xf 0 1 x 当时 恒有0 1 fxf1 x1ln2ln 2 xaxx 2 提示 设则bxaaxxxfxgxF ln32 2 1 22 x a axxF 2 3 2 当时 x axax 3 0 x 0 aax 0 x F 故在上为减函数 在上为增函数 于是函数 在上的最小值是 xF 0 a a xF 0 故当时 有 即0 agafaF0 x0 xgxf xgxf 3 提示 函数的定义域为 xf 1 22 1 1 1 1 1 x x xx xf 当时 即在上为减函数01 x0 x f xf 0 1 x 当时 即在上为增函数0 x0 x f xf 0 x 因此在取得极小值 而且是最小值 0 xfx时 0 0 f 于是 即 x x xfxf 1 1ln 0 0 从而 x x 1 1 1 1ln 令 于是 a b xb a x 1 1 1 1 01则 a b b a 1ln 因此 a b ba 1lnln 4 提示 故在 0 上是减函数 由 有 x xf xF 0 2 x xfxxf xF x xf xF ba af b bf a 故选 A b bf a af 第 7 页 共 8 页 1 由 f x ln 1 x x 的导数为 1 x 1 1 x x 1 0 得知 f x 在 1 上单调减少 2 所以 bn ln 1 n n an ln n 1 bn n 一 n n 2 c n 2 得 c 1 n 2 n 2 2 由于队所有 n 成立 而 n 2 n 可以任意小 且当 c 1 时 不等式依然成立 所以 c 的范围是 1 二 分两步证明 先用归纳法证明不等式 1 a1a3 a 2n 1 a2a4 a 2n 1 2n 1 n 1 时 a1 a2 1 2 1 4 1 3 设 n k 时成立