高考数学 等差等比数列综合解析

用心 爱心 专心1 等差等比数列综合等差等比数列综合 一 知识网络 1 性质 设 an 是等差数列 公差为 d 1 若 m n p q 则 am an ap aq 2 an an m an 2m 组成公差为 md 的等差数列 3 当 n 2k 1 为奇数时 nak 4 Sn S2n Sn S3n S2n 组成公差为 n2d 的等差数列 n S 2 等差数列的判定方法 n N 1 定义法 an 1 an d 是常数 2 等差中项法 21 2 nnn aaa 3 通项法 4 前 n 项和法 dnaan 1 1 BnAnSn 2 3 等等比比数数列列 a an n 的的性性质质 1 若 qpnm aaaaNqpnmqpnm 则 2 下标成等差数列的项构成等比数列 3 连续若干项的和也构成等比数列 4 证证明明数数列列为为等等比比数数列列的的方方法法 1 定义法 若 为等比数列数列 n n n aNnq a a 1 2 等比中项法 若 2 12 0 nnnn aaanNa 数列为等比数列 3 通项法 若 为等比数列数列的常数均是不为 n n n aN nqccqa 0 4 前 n 项和法 若数列为等比数列 0 1 n n SAqA A qqq 为常数 且 n a 二 经典例题 例例 1 1 在等比数列 an n N 中 a1 1 公比 q 0 设 bn log2an 且 b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求 bn 的前 n 项和 Sn及 an 的通项 an 3 试比较 an与 Sn的大小 1 证明 bn log2an bn 1 bn log2 log2q 为常数 数列 bn 为等差数列且 n n a a 1 公差 d log2q 2 解 b1 b3 b5 6 b3 2 a1 1 b1 log2a1 0 b1b3b5 0 b5 0 解得 Sn 4n 1 0 4 22 1 1 db db 1 4 1 d b 2 1 nn 2 9 2 nn an 25 n n N 4log 1log 12 2 a q 16 2 1 1 a q 3 解 显然 an 25 n 0 当 n 9 时 Sn 0 n 9 时 an Sn 2 9 nn 用心 爱心 专心2 a1 16 a2 8 a3 4 a4 2 a5 1 a6 a7 a8 2 1 4 1 8 1 S1 4 S2 7 S3 9 S4 10 S5 10 S6 9 S7 7 S8 4 当 n 3 4 5 6 7 8 时 an Sn 当 n 1 2 或 n 9 时 an Sn 例例 2 2 已知 f x 2 x 0 又数列 an an 0 中 a1 2 这个数x2 列的前 n 项和的公式 Sn n N 对所有大于 1 的自然数 n 都有 Sn f Sn 1 1 求数列 an 的通项公式 2 若 bn n N 求证 b1 b2 bn n 1 nn nn aa aa 1 22 1 2 n lim 解 1 f x 2 Sn 2 x2 1 n S2 又 故有 n 1 n n S 1 n S2 1 a2 n S222 即 Sn 2n2 n N 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2n2 2 n 1 2 4n 2 当 n 1 时 a1 2 适合 an 4n 2 因此 an 4n 2 n N 2 bn 1 b1 b2 b3 bn n 1 nn nn aa aa 1 22 1 2 12 1 n12 1 n12 1 n 从而 b1 b2 bn n 1 1 n lim n lim 12 1 n 例 3 已知 点在函数的图象上 1 2a 1 nn a a 2 2f xxx 1 2 3 n 1 数列的通项 2 设 求 n a 12 1 1 1 nn Taaa n T 解 由已知 2 1 2 nnn aaa 2 1 1 1 nn aa 1 2a 11 n a 两边取对数得 即 是公比为 2 的等 1 lg 1 2lg 1 nn aa 1 lg 1 2 lg 1 n n a a lg 1 n a 比数列 由 知 1 1 lg 1 2lg 1 n n aa 1 12 2lg3lg3 n n 12 1 1 n Taa n 1 a 012 222 333 n 1 2 3 2 1 2 2 3 n 1 2 n 2 1 3 由 式得 1 2 31 n n a 例 4 设数列 an a1 若以 a1 a2 an为系数的二次方程 6 5 an 1x2 anx 1 0 n 且 n 2 都有根 满足 3 3 1 1 求 an 2 求 an 的前 n 项和 Sn an n 3 1 2 1 用心 爱心 专心3 证明 1 代入 3 3 1 得 an an 1 1 n n a a 1 1 n a3 1 3 1 等差等比数列综合等差等比数列综合 一 知识网络 1 性质 设 an 是等差数列 公差为 d 1 若 m n p q 则 am an ap aq 2 an an m an 2m 组成公差为 md 的等差数列 3 当 n 2k 1 为奇数时 nak 4 Sn S2n Sn S3n S2n 组成公差为 n2d 的等差数列 n S 2 等差数列的判定方法 n N 1 定义法 an 1 an d 是常数 2 等差中项法 21 2 nnn aaa 3 通项法 4 前 n 项和法 dnaan 1 1 BnAnSn 2 3 等等比比数数列列 a an n 的的性性质质 1 若 qpnm aaaaNqpnmqpnm 则 2 下标成等差数列的项构成等比数列 3 连续若干项的和也构成等比数列 4 证证明明数数列列为为等等比比数数列列的的方方法法 1 定义法 若 为等比数列数列 n n n aNnq a a 1 2 等比中项法 若 2 12 0 nnnn aaanNa 数列为等比数列 3 通项法 若 为等比数列数列的常数均是不为 n n n aN nqccqa 0 4 前 n 项和法 若数列为等比数列 0 1 n n SAqA A qqq 为常数 且 n a 二 经典例题 例 1 设数列 an a1 若以 a1 a2 an为系数的二次方程 6 5 an 1x2 anx 1 0 n 且 n 2 都有根 满足 3 3 1 1 求 an 2 求 an 的前 n 项和 Sn 例例 2 2 在等比数列 an n N 中 a1 1 公比 q 0 设 bn log2an 且 b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求 bn 的前 n 项和 Sn及 an 的通项 an 3 试比较 an与 Sn的大小 用心 爱心 专心4 例例 3 3 已知 f x 2 x 0 又数列 an an 0 中 a1 2 这个数列的x2 前 n 项和的公式 Sn n N 对所有大于 1 的自然数 n 都有 Sn f Sn 1 1 求数列 an 的通项公式 2 若 bn n N 求证 b1 b2 bn n 1 nn nn aa aa 1 22 1 2 n lim 例 4 已知 点在函数的图象上 1 2a 1 nn a a 2 2f xxx 1 2 3 n 1 数列的通项 2 设 求 n a 12 1 1 1 nn Taaa n T 1 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和 若 则 a a 3 5 5 9S S 5 9 A 1 B 1 C 2 D 2 1 2 若数列是等差数列 首项 则使前 n 项和 n a 12003200420032004 0 0 0aaaaa 成立的最大自然数 n 是 A 4005 B 4006 C 4007 D 0 n S 4008 3 若互不相等的实数 成等差数列 成等比数列 且 abccab 则 103 cbaa A4 B2 C2 D4 4 设等差数列的公差不为 若是与的等比中项 则 n a d01 9ad k a 1 a 2k a k A2 B4 C6 D8 5 已知 是正数 成等差数列 成等比数列 则的 x yxaby xcdy 2 ab cd 最小值是 A0 B1 C2 D4 6 数列的前项和记作 满足 证明数列 n a nn S1232 naS nn Nn 1 为等比数列 并求出数列的通项公式 记 数列的前项 3 n a n a 2 nn nab n b n 和为 求