江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)

20102010 年江苏省年江苏省 高等数学高等数学 竞赛试题 本科二级 竞赛试题 本科二级 一 填空题 每题 4 分 共 32 分 1 0 sinsin sin lim sin x xx x 2 2 2 ln 1 1 xx y x y 3 2 cosyx n yx 4 2 1 x x e dx x 5 4 2 1 1 dx x 6 圆的面积为 222 2220 42219 xyz xyzxyz 7 可微 则 2 x zfxy y f 12 3 2 2 3 2 3ff 2 1 x y dz 8 级数的和为 1 1 1 2 n n n n n 二 10 分 设在上连续 且 求证 存在点 使得 f x a b bb aa bf x dxxf x dx a b 0 a f x dx 三 10 分 已知正方体的边长为 2 为的中点 为侧 1111 ABCDABC D E 11 DCF 面正方形的中点 1 试求过点的平面与底面所成二面角的 11 BCC B 1 A E FABCD 值 2 试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积 1 A E F 四 12 分 已知是等腰梯形 求的ABCD 8BCAD ABBCCD AB BC AD 长 使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大 AD 五 12 分 求二重积分 其中 22 cossin D xy dxdy 22 1 0 0D xyxy 六 12 分 求 其中为曲线 21 x xyedxxy dy 从到 2 22 01 212 xx xyxx 0 0O 1 1A 七 12 分 已知数列单调增加 n a 12311 1 2 5 3 nnn aaaaaa 记 判别级数的敛散性 2 3 n 1 n n x a 1 n n x 2008 年江苏省普通高等学校非理科专业年江苏省普通高等学校非理科专业 一 填空题 每小题 5 分 共 40 分 1 时 ab 2 limarctan 2 x axx x bxx 2 1 1 lim 3 n n k k k 3 设则 1 2 100 f xx xxx 100 f 4 时 在时关于的无穷小的阶数最 ab 2 1 x f xaxx bx 0 x x 高 5 23 2 0 sincos xxdx 6 2 22 1 1 x dx x 7 设则 x z xy 2 1 n n z y 8 设为所围区域 则 D 0 1yx xy arctan D ydxdy 二 8 分 设数列为 求证 数列收 n x 11 1 6 1 2 nn xxxn n x 敛 并求其极限 3 8 分 设函数在上连续求证 存在 f x a b 0 0 b a af x dx 使得 a b a f x dxf 4 8 分 将平面上的曲线绕直线旋转一周 xy 222 0 xbyaab 3xb 得到旋转曲面 求此旋转曲面所围立体的体积 5 8 分 设 讨论在处 2 22 42 0 0 0 0 0 x y xyx y f x yxy x y f x y 0 0 的连续性 可偏导性 可微性 6 10 分 已知曲面 与平面 的交线在平面上 222 441xyz 0 xyz xy 的投影为一椭圆 求此椭圆面积 7 8 分 求 2 4 0 0 1 limsin tt x t dxydy t 8 10 分 求 这里 22 1 D xydxdy 22 2 0 D xyxyx 2006 年江苏省高等数学竞赛试题 本科一 二级 年江苏省高等数学竞赛试题 本科一 二级 一 填空 每题 5 分 共 40 分 1 3 x f xa 4 1 limln12 n fff n n 2 2 5 00 1 lim1 x tx x edt x 3 1 2 02 arctan 1 x dx x 4 已知点 为坐标原点 则四面体的内接球 4 0 0 0 2 0 0 0 2 ABC OOABC 面方程为 5 设由确定 则 y z xze zz x y 0e dz 6 函数中常数满足条件 时 2 x f x yeaxby a b 为其极大值 1 0f 7 设是上从点到的一段曲线 时 曲线 sin 0 yax a 0 0 0 a 积分取最大值 2 2 2 y xy dxxyedy 8 级数条件收敛时 常数的取值范围是 1 1 1 1 n p n nn n p 二 10 分 某人由甲地开汽车出发 沿直线行驶 经 2 小时到达乙地停止 一路 畅通 若开车的最大速度为 100 公里 小时 求证 该汽车在行驶途中加速度的变 化率的最小值不大于公里 小时200 3 3 10 分 曲线的极坐标方程为 求该曲线在所对 1 cos0 2 4 应的点的切线的直角坐标方程 并求切线与轴围成图形的面积 LLx 四 8 分 设在上是导数连续的有界函数 f x 1f xfx 求证 1 f xx 五 12 分 本科一级考生做 设锥面被平面截下 222 33 0 zxyz 340 xz 的有限部分为 1 求曲面的面积 2 用薄铁片制作的模型 为上的两点 为原点 将沿线段剪开并展成平面 2 0 2 3 1 0 3 AB O OB 图形 以方向为极坐标轴建立平面极坐标系 写出的边界的极坐标方程 DOAD 本科二级考生做 设圆柱面被柱面截下的有限部分 22 1 0 xyz 2 22zxx 为 为计算曲面的面积 用薄铁片制作的模型 为上的三点 将沿线段剪开并展成平面图形 1 0 5 1 0 1 1 0 0ABC BC 建立平面在极坐标系 使位于轴正上方 点坐标为 写出的边DDxA 0 5D 界的方程 并求的面积 D 六 10 分 曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区 2 2 0 xz y z1 2zz 域记为 本科一级考生做 222 1 dxdydz xyz 本科二级考生做 222 xyzdxdydz 七 10 分 本科一级考生做 1 设幂级数的收敛域为 求证幂级数 2 1 n n n a x 1 1 的收敛域也为 2 试问命题 1 的逆命题是否正确 若正确给出证 1 n n n a x n 1 1 明 若不正确举一反例说明 本科二级考生做 求幂级数的收敛域与和函数 2 1 1 2 n n n n x 2004 年江苏省高等数学竞赛试题 本科二级 年江苏省高等数学竞赛试题 本科二级 一 填空 每题 5 分 共 40 分 1 是周期为的奇函数 且在处有定义 当时 f x 0 x 0 2 x 求当时 的表达式 sincos2f xxx 2 x f x 2 2 tan 2 lim sin x x x 3 2222 lim 14 n nnn nnnn 4 时 2 ln 1 2f xxxn 0 n f 5 2 1 x x ex dx xe 6 1 1 2n n n n 7 设可微 f x y 1 22 1 23 1 24 xy fff 2xf x f xx 则 1 8 设 为 则 01 0 xx f xg x 其他 D xy D fy f xy dxdy 2 10 分 设在上连续 在内可导 f x a b f x a b f aa 求证 内至少存在一点使得 22 1 2 b a f x dxba a b 1ff 三 10 分 设 在的边界上任取点 设 22 4 24D yxyxxy Dyx P 到原点距离为 作垂直于 交的边界于PtPQyx D 22 4yx Q 1 试将的距离表示为 的函数 P QPQt 2 求饶旋转一周的旋转体的体积Dyx 四 10 分 已知点 在平面上求一点 使 1 0 1 3 1 2 PQ 212xyz M 最小PMMQ 五 10 分 求幂级数的收敛域 1 1 32 n n n n x n 六 10 分 设可微 f x y 1 22 1 22 1 23 xy fff 求 2 2 2xff xxf xx 1 七 10 分 求二次积分 22 2 0 2 1de d 2002 年江苏省高等数学竞赛试题 本科二级 年江苏省高等数学竞赛试题 本科二级 一 填空 每题 5 分 共 40 分 1 则 0 lim0 xx k x ee c c x k c 2 设在上可导 下列结论成立的是 f x 1 A 若 则在上有界 lim0 x fx f x 1 B 若 则在上无界 lim0 x fx f x 1 C 若 则在上无界 lim1 x fx f x 1 3 设由确定 则 1 y ex yxx yy x 0 y 4 arcsinarccosxx dx 5 曲线 在点的切线的参数方程为 22 22 2 zxy xyy 1 1 2 6 设 有二阶连续导数 有二阶连续偏导数 sin x y zfg ey x fg 则 2z x y 7 交换二次积分的次序 2 13 0 x x dxf x y dy 8 幂级数的收敛域 1 11 1 2 n n x n 二 8 分 设在上连续 单调减少 f x 0 0ab 求证 00 ba af x dxbf x dx 3 8 分 设在上连续 求证 在 f x a b 0 bb x aa f x dxf x e dx f x 内至少存在两个零点 a b 4 8 分 求直线绕轴旋转一周的旋转曲面方程 求求该曲面与 1 211 xyz y 所包围的立体的体积 0 2yy 5 9 分 设为常数 试判断级数的敛散性 何时绝对收敛 何时条k 2 2 1 ln n k nnn 件收敛 何时发散 6 9 分 设讨论在点处连 22 1 arctan 0 0 0 0 0 yx y xyf x y x y f x y 0 0 续性 可偏导性 可微性 七 9 分 设在可导 f u0u 222 00 2fxyztz 求 222 5 0 1 lim t f xyz dxdydz t 8 9 分 设曲线的极坐标方程为 一质点在力AB1 cos 22 P 作用下沿曲线从运动到 力的大小等于到定点的F AB 0 1A 0 1BF P 3 4M 距离 其方向垂直于线段 且与轴正向的夹角为锐角 求力对质点做得MPyF P 功 2000 年江苏省高等数学竞赛试题 本科二级 年江苏省高等数学竞赛试题 本科二级 一 填空 每题 3 分 共 15 分 1 设 则 f xxx ff x 2 1 lim ln1 x x xx xx 3 已知 则 2 1d f x dxx fx 4 14 4 5 1 x dx x 5 设由方程确定 为任意可微函数 zz x y 0 y z F x x F 则 zz xy xy 二选择题 每题 3 分 共 15 分 1 对于函数 点是 1 1 21 21 x x y 0 x A 连续点 B 第一类间断点 C 第二类间断点 D 可去间断点 2 已知函数对一切满足 若 yf x x 2 31 x xfxx fxe 00 0 0 fxx 则 A 是的极大值 B 是曲线的拐点 0 f x f x 00 xf x yf x C 是的极小值 0 f x f x D不是的极值 也不是曲线的拐点 0 f x f x 00 xf x yf x 3 2 332 3 lim 2 x xx xx A 等于 1 B 等于 0 C 等于 D 不存在 但也不是1 4 若都存在 则在 0000 xyxy ff xy f x y 00 xy A 极限存在 但不一定连续 B 极限存在且连续 C 沿任意方向的方向导数存在 D 极限不一定存在 也不一定连续 5 设为常数 则级数 2 1 sin1 n n nn A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与取值有关 三 6 分 求 111 lim 12 n nnnn 四 6 分 已知函数由参数方程确定 求 yy x 1 0 10 y xtt tey 2 0 2 t d y dx 五 6 分 设在上连续 在内可导且对于一切均有 f xg x a b a b a bx 证明若在内有两个零点 则至少存在 0fx g xf x gx f x a b g x 一个介于这两个零点之间的零点 六 6 分 设 求 1 0 1 1 0 1 x x x f x x e 2 0 1f xdx 七 6 分 已知 求zuv cos sin uu xev yev zz xy 八 8 分 过抛物线上一点作切线 问为何值时所作的切线与抛物 2 yx 2 a aa 线