初中数学说题

说题稿说题稿 龙湖中学龙湖中学 数学科数学科 张芳钿张芳钿 题目题目 如图 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中点 AEF 90 且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F 1 求证 AE EF 2 如图 2 若把条件 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 上的任意一点 其余条件不变 发现 AE EF 仍然成立 请你证明这一结论 3 如图 3 若把条件 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 延长线上的一 点 其余条件仍不变 那么结论 AE EF 是否成立呢 若成立请你完成证明过 程 若不成立请你说明理由 一 说题目一 说题目 这道题原题来自 新人教版 八年数学下册 第十八章复习题 18 第 14 题 也出现在 2012 年青海的中考题中 特殊的平行四边形 全等三角形在中考中是热门考点 选择题 填空题 解 答题中都会出现它的踪影 侧重考查学生对几何概念的理解 对几何图形特殊性 质的判断与运用 考查学生的演绎推理能力与逻辑论证能力 常与直角三角形 等腰三角形 相似三角形 圆等知识点结合命题 从考查内容上看 本题涉及面广 主要以正方形为背景知识 考查全等三角 形的性质与判定定理 以及等腰三角形 直角三角形等基础知识 从考查解题方法上看 本题主要考查全等三角形的应用 通过角与线段的迁 移 寻找 桥梁 链接已有条件与目标线段 从而解决问题 从考查思想方法上看 本题主要考查几何中的类比思想 转化思想 二 说思维和思路二 说思维和思路 这道题的目的是证明线段相等 要证明线段相等从途径上有直接证明即 a b 以及间接证明 a c c b a b 以初中阶段的知识点来看 证明线段 相等的思路常见的有 长度数量相等 全等三角形的对应边相等 等腰三角形的 等角对等腰 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 平行四边形的对边相等 及其它 下面我们来看这道题的证法 解法一 利用全等三角形直接证明解法一 利用全等三角形直接证明 第一小题是特殊情形 事实上 绝大多数同学的心 理倾向 直觉上来说 过点 F 做 FM CM 是顺理成章 的事情 作出后就会立刻发现 虽然题中保证了 ABE 和 EMF 中的两对对应 角相等 但要证明一边相等却是很难的事 轻松心态消 散全无 虽然可以利用相似三角形的知识深入研究 但 难免会浪费大量时间 最后不得不放弃 另寻蹊径 第 1 题正确解题思路 取 AB 的中点 M 连接 ME 则 AM EC 易证 AME ECF 所以 AE EF 第 2 3 小题 题目从特殊定点发展为 BC 及 BC 延长线上的点 题目变 得具有 一般 性 仿照第 1 题做法作辅佐线 如图在 BA 上取点 BM BE 连接 ME 易得 AM EC AME ECF 135 再者 MAE FEG 这个条件无论 E 点在 BC 及其延长线 CG 上怎么运动都会成立 所以易得三角形全等 问题解决 解法二 利用轴对称 等腰三角形求解解法二 利用轴对称 等腰三角形求解 要证明 AE EF 我们可以构造线段 a 使其成为连接的 桥梁 即 AM a EF 轴对称就是其中一种方法 如图 连接 AC 并延长 AC 到 M 使 CM CF 连接 EM 易证 ECF ECM SAS 可得 F M 由 AEF 90 易得 ACF 90 可得 EAM F 即 M EAM 故 AE EM EF 这种解法巧妙的利用了轴对称构造全等三角形和等腰 三角形 对图形与变换的理解是支撑此解法产生的根源 方法是可以迁移的 于是学生也可以换个方向寻找 如图所示 可延长 AB FC 并交于点 M 连接 EM 易证 ABE MBE SAS 得 AE ME 只要证得 BAE FEC BME 可得 F 45 FEC BMC 45 BME 所以 F EMF 所以 ME EF 即 AE EF G 解法三 利用图形的旋转构造全等三角形解法三 利用图形的旋转构造全等三角形 结合图形的旋转的特性 以点 E 为旋转中心 若 AE EF 那么利用 FEC 逆时针选转 90 来构造全等三角 形无疑是简捷而明快的方法 这种方法原于对图形之间关 系的深刻领悟 需要学生具有深刻的观察能力 几何直觉 能力和丰富的解题经验 如图 连接 AC 过点 E 作 ME BC 于点 E 并交 AC 于点 M 易得 EM EC AME FCE 135 由 AEF MEC 90 可得 AEM FEC 可证 AEM FEC ASA 命题得证 同理 我们也可以以 E 为旋转中心 利用 ABE 顺时针旋转 90 来构造全 等三角形 如图 延长 AB 到 M 使得 BM BE AE MC 易证 ABE CEM SAS 可得 BAE BCM 又有 BAE FEC 所以有 BCM FEC 故 EF MC 再者易得 MEC ECF 135 故 EM FC 所以四边形 EMCF 是平行四边形 即得 FE MC 命题得证 在 地位平等 的线段 EF 和 AE 所在的三角形中 既然可以选择旋转 FEC 那当然可以旋转 ABE 这需要学生都尝试 探索 研究 最后才能发现 这么完美漂亮的解法 三 说教法学法三 说教法学法 在我们数学教学的过程中 不能盲目的追求数量不顾质量 采用题海战术 而更应该去教会学生思考 善于思考 进行一道题目多思路解法的训练和变式训 练 更能让学生的思维迁移 发散 开拓和活跃 提高学生思维的敏捷性和灵活 性 从而提高分析与解答数学题的能力 几何题 尤其是需要做做辅助线的几何题 很多学生在上完课后 总会忧虑 这样问题 若考试的话 我会不会想出这种方法 怎么找到突破口 解题过程 我能理解 可怎么想出来的 解题技巧解题思想不同与知识点的学习 学生的 掌握需要一个知识内化的过程 问题的解决需要从 特殊 到 一般 方法技 巧可以迁移 在解题过程中帮助学生提升对知识体系的调用能力 帮助其链接知 识点 构建知识面 对知识体系进行完善 而解题思想贯穿其全程 四 说价值四 说价值 可激发学习兴趣 巩固 深化所学知识 能挖掘学生潜力 培养思维能力和 自己获取知识的能力 让学生在相互