等差等比数列的性质总结

1 一 等差数列一 等差数列 1 等差数列的定义 d为常数 daa nn 1 2 n 2 2 等差数列通项公式 等差数列通项公式 首项 公差 d 末项 11 1 n aanddnad nN 1 a n a 推广 推广 从而 dmnaa mn mn aa d mn 3 3 等差中项 等差中项 1 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 即 或aAbAab 2 ba A baA 2 2 等差中项 数列是等差数列 n a 2 2 11 naaa nnn21 2 nnn aaa 4 4 等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式 项和公式 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 2 AnBn 其中A B是常数 所以当d 0时 Sn是关于n的二次式且常数项为0 特别地 当项数为奇数特别地 当项数为奇数时 是项数为 2n 1 的等差数列的中间项21n 1n a 项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项 121 211 21 21 2 n nn naa Sna 5 5 等差数列的判定方法等差数列的判定方法 1 定义法 若或 常数 是等差数列 daa nn 1 daa nn 1 Nn n a 2 等差中项 数列是等差数列 n a 2 2 11 naaa nnn21 2 nnn aaa 数列是等差数列 其中是常数 n a bknan bk 4 数列是等差数列 其中A B是常数 n a 2 n SAnBn 6 6 等差数列的证明方法等差数列的证明方法 定义法 若或 常数 是等差数列 daa nn 1 daa nn 1 Nn n a 7 7 提醒提醒 1 1 等差数列的通项公式及前和公式中 涉及到 5 个元素 及 其中 称作n 1 adn n a n S 1 ad 为基本元素 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个 便可求出其余 2 个 即知 3 求 2 2 2 设项技巧 设项技巧 一般可设通项一般可设通项 1 1 n aand 奇数个数成等差 可设为 公差为 2 2ad ad a ad ad d 偶数个数成等差 可设为 注意 公差为注意 公差为 2 2 3 3ad ad ad ad d 8 8 等差数列的性质 等差数列的性质 1 当公差时 0d 等差数列的通项公式是关于的一次函数 且斜率为公差 11 1 n aanddnad nd 前和是关于的二次函数且常数项为 0 n 2 11 1 222 n n ndd Snadnan n 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 则为常数列 0d 0d 0d 3 当时 则有 特别地 当时 则有 mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 mnp aaa 注 12132nnn aaaaaa 2 4 若 为等差数列 则都为等差数列 n a n b 12nnn abab 5 若 是等差数列 则 也成等差数列 n a 232 nnnnn SSSSS 6 数列为等差数列 每隔 k k 项取出一项 仍为等差数列 n a N 23 mm kmkmk aaaa 7 设数列是等差数列 d 为公差 是奇数项的和 是偶数项项的和 是前 n 项的和 n a 奇 S 偶 S n S 1 当项数为偶数时 n2 121 13521 2 n nn n aa Saaaana 奇 22 24621 2 n nn n aa Saaaana 偶 11nnnn SSnanan aa 偶奇 11 nn nn Snaa Snaa 奇 偶 2 当项数为奇数时 则12 n 21 21 1 1 n SSSnaSnaS n SSaSnaSn n 1n 1奇偶奇 奇 n 1n 1奇偶偶 偶 其中是项数为 2n 1 的等差数列的中间项 an 1 8 的前和分别为 且 n bn n A n B n n A f n B 则 21 21 21 21 21 nnn nnn anaA fn bnbB 9 等差数列的前 n 项和 前 m 项和 则前 m n 项和 n a m Sn n Sm m n Smn 10 求的最值 n S 法一 因等差数列前项是关于的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 但要注意数列的特殊性nn nN 法二 1 首正 的递减等差数列中 前项和的最大值是所有非负项之和n 即当 由可得达到最大值最大值时的值 00 1 da 0 0 1n n a a n Sn 2 首负 的递增等差数列中 前项和的最小值是所有非正项之和 n 即 当 由可得达到最小值最小值时的值 00 1 da 0 0 1n n a a n Sn 或求中正负分界项 n a 法三 直接利用二次函数的对称性 由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数 故n取离二次函数对 称轴最近的整数时 取最大值 或最小值 若S p S q则其对称轴为 n S 2 pq n 注意 解决等差数列问题时 通常考虑两类方法 注意 解决等差数列问题时 通常考虑两类方法 基本量法 即运用条件转化为关于基本量法 即运用条件转化为关于和和的方程 的方程 1 ad 巧妙运用等差数列的性质 一般地运用性质可以化繁为简 减少运算量 巧妙运用等差数列的性质 一般地运用性质可以化繁为简 减少运算量 3 二 等比数列二 等比数列 1 等比数列的定义 称为公比公比 1 2 n n a q qnnN a 0且q 2 通项公式 首项 公比 1 1 11 0 0 nnn n a aa qqA Ba qA B q 1 aq 推广 从而得或 n m nm aa q n m n m a q a n n m m a q a 3 等比中项 1 如果成等比数列 那么叫做与的等差中项 即 或 a A bAab 2 Aab Aab 注意 同号的同号的两个数才有才有等比中项 并且它们的等比中项有两个有两个 两个等比中项互为相反数 2 数列是等比数列 n a 2 11nnn aaa 4 等比数列的前 n 项和公式 n S 1 当时 1q 1n Sna 2 当时 1q 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 为常数 11 11 nnn aa qAA BA BA qq A B A B 5 等比数列的判定方法 1 用定义 对任意的 n 都有为等比数列 1 1 0 n nnn n a aqaq qa a 或为常数 n a 2 等比中项 0 为等比数列 2 11nnn aaa 11nn aa n a 3 通项公式 为等比数列 0 n n aA BA B n a 4 前 n 项和公式 为等比数列 nn nn SAA BSA BAA B A B 或为常数 n a 6 等比数列的证明方法 依据定义 若或为等比数列 1 2 n n a q qnnN a 0且 1nn aqa n a 7 注意注意 1 1 等比数列的通项公式及前和公式中 涉及到 5 个元素 及 其中 称作n 1 aqn n a n S 1 aq 为基本元素 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个 便可求出其余 2 个 即知 3 求 2 2 2 为减少运算量 要注意设项的技巧 一般可设为通项 1 1 n n aa q 如奇数个数成等差 可设为 公比为 中间项用表示 2 2 aa a aq aq qq qa 4 8 等比数列的性质 1 当时1q 等比数列通项公式是关于 n 的带有系数的类指数函数 底数为公比 1 1 1 0 nnn n a aa qqA BA B q q 前 n 项和 系数和常数项是互为相反 1 1111 1 1111 n n nnn n aq aa qaa SqAA BA BA qqqq 数的类指数函数 底数为公比q 2 对任何 m n 在等比数列中 有 特别的 当 m 1 时 便得到等比数列的通项公 N n a n m nm aa q 式 因此 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性 3 若 m n s t m n s t 则 特别的 当 n m 2k 时 得 N nmst aaaa 2 nmk aaa 注 12132nnn a aaaa a 4 列 为等比数列 则数列 k 为非零常数 均为等比数 n a n b n k a n k a k n a nn k ab n n a b 列 5 数列为等比数列 每隔 k k 项取出一项 仍为等比数列 n a N 23 mm kmkmk aaaa 6 如果是各项均为正数的等比数列等比数列 则数列是等差数列等差数列 n a log an a 7 若为等比数列 则数列 成等比数列 n a n S 2nn SS 32 nn SS 8 若为等比数列 则数列 成等比数列 n a 12n a aa 122nnn aaa 21223nnn aaa 9 当时 当时 1q 1q 0 1 1 0 0 n n aa aa 则为递增数列 则为递减数列 1 1 0 0 n n aa aa 则为递减数列 则为递增数列 当 q 1 时 该数列为常数列 此时数列也为等差数列 当 q0 n a nN 354657 281a aa aa a 9 46 aa 3 等差数列前项和是 前项和是 则它的前项和是 210 m302m1003m 4 等差数列 an 和 bn 的前 n 项之和之比为 3n 1 2n 3 求 15 15 b a 61 88 例 2 设等差数列的前 n 项之和为 Sn 已知 a3 12 S12 0 S130 n d n d 17 设 m N log2m 的整数部分用 F m 表示 则 F 1 F 2 F 1024 的值是 三 解答题 本大题共 5 小题 共 54 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 若等差数列 5 8 11 与 3 7 11 均有 100 项 问它们有多少相同的项 19 在等差数列 an 中 若 a1 25