《走向清华北大》2012高考总复习 精品41双曲线

用心 爱心 专心1 第四十一讲第四十一讲 双曲线双曲线 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后 的括号内 1 双曲线虚轴的一个端点为 M 两个焦点为 F1 F2 F1MF2 120 则双曲线的离 心率为 A B 3 6 2 C D 6 3 3 3 解析 由图易知 tan60 c b3 不妨设 c b 1 则 a 32 e 故选 B c a 3 2 6 2 答案 B 2 已知双曲线 9y2 m2x2 1 m 0 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 则 m 等于 1 5 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 9y2 m2x2 1 m 0 a b 取顶点 一条渐近线为 mx 3y 0 1 3 1 m 用心 爱心 专心2 m2 9 25 1 5 3 1 3 m2 9 m 4 故选 D 答案 D 3 已知双曲线的两个焦点为 F1 0 F2 0 M 是此双曲线上的一点 且 1010 满足则该双曲线的方程是 1212 0 2 MF MFMFMF AA A y2 1 B x2 1 x2 9 y2 9 C 1 D 1 x2 3 y2 7 x2 7 y2 3 解析 设双曲线方程为 1 且 M 为右支上一点 x2 a2 y2 b2 由已知 MF1 MF2 2a 4a2 22 1212 2 MFMFMFMF 又 1212 0 MF MFMFMF A 4c2 4 4a2 即 b2 1 又 c a2 9 10 双曲线方程为 y2 1 故选 A x2 9 答案 A 4 我们把离心率为 e 的双曲线 1 a 0 b 0 称为黄金双曲线 给出以 5 1 2 x2 a2 y2 b2 下几个说法 用心 爱心 专心3 双曲线 x2 1 是黄金双曲线 2y2 5 1 若 b2 ac 则该双曲线是黄金双曲线 若 F1B1A2 90 则该双曲线是黄金双曲线 若 MON 90 则该双曲线是黄金双曲线 其中正确的是 A B C D 解析 e 双曲线是黄金双曲线 1 b2 a2 1 5 1 2 5 3 2 5 1 2 由 b2 ac 可得 c2 a2 ac 两边同除以 a2 即 e2 e 1 0 从而 e 双曲线 5 1 2 是黄金双曲线 F1B1 2 b2 c2 A2B1 2 b2 a2 F1A2 2 a c 2 注意到 F1B1A2 90 所以 b2 c2 b2 a2 a c 2 即 b2 ac 由 可知双曲线为黄金双曲线 MN 由射影定理知 OF2 2 MF2 F2N 即 c2 从而 b2 ac 由 可知 2b2 a b4 a2 双曲线为黄金双曲线 答案 D 5 过双曲线 x2 y2 8 的左焦点 F1有一条弦 PQ 在左支上 若 PQ 7 F2是双曲线 的右焦点 则 PF2Q 的周长是 A 28 B 14 8 2 C 14 8 D 8 22 解析 PF2 PQ QF2 PF2 PF1 QF2 QF1 2 PQ 14 8 2 答案 C 用心 爱心 专心4 6 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为 60 的直线 x2 a2 y2 b2 与双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 D 2 解析 依题意 应有 tan60 又 b a b ae2 1 解得 e 2 e2 13 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线 上 7 已知点 P 是双曲线 1 上除顶点外的任意一点 F1 F2分别为左 右焦点 x2 a2 y2 b2 c 为半焦距 PF1F2的内切圆与 F1F2切于点 M 则 F1M F2M 解析 根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等 F1M F2M PF1 PF2 2a 又 F1M F2M 2c 解得 F1M a c F2M c a 从而 F1M F2M c2 a2 b2 答案 b2 8 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 c 0 F2 c 0 若双曲 x2 a2 y2 b2 线上存在点 P 使 则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF1F2 sin PF2F1 a c 用心 爱心 专心5 解析 e c a sin PF2F1 sin PF1F2 PF1 PF2 1 2a PF2 PF2 2a PF2 PF2 c a 即 e 1 2 e 1 e2 2e 11 1 e0 b 0 x2 a2 y2 b2 F1 c 0 F2 c 0 P x0 y0 在 PF1F2中 由余弦定理 得 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos PF1 PF2 2 PF1 PF2 3 即 4c2 4a2 PF1 PF2 又 S PF1F2 2 3 PF1 PF2 sin 2 1 2 33 PF1 PF2 8 4c2 4a2 8 即 b2 2 又 e 2 a2 c a 2 3 用心 爱心 专心7 双曲线的方程为 1 3x2 2 y2 2 12 已知曲线 C x2 1 y2 1 由曲线 C 上任一点 E 向 x 轴作垂线 垂足为 F 动点 P 满足 求点 P 的3FPEP 轨迹 P 的轨迹可能是圆吗 请说明理由 2 如果直线 l 的斜率为 且过点 M 0 2 直线 l 交曲线 C 于 A B 两点 又 2 求曲线 C 的方程 9 2 MA MB A 解 1 设 E x0 y0 P x y 则 F x0 0 3 FPEP x x0 y 3 x x0 y y0 0 0 2 3 xx yy 代入 x 1 中 得 x2 1 为 P 点的轨迹方程 y2 0 2 0 4y2 9 当 时 轨迹是圆 4 9 2 由题设知直线 l 的方程为 y x 2 2 设 A x1 y1 B x2 y2 联立方程组 2 22 21 yx y x 消去 y 得 2 x2 4x 4 0 2 方程组有两解 2 0 且 0 2 或 0 且 2 x1 x2 4 2 用心 爱心 专心8 而 x1x2 y1 2 y2 2 x1x2 x1 x2 3x1x2 MA MB A 22 3 4 2 解得 14 4 2 3 2 曲线 C 的方程是 x2 1 y2 14 13 精选考题 南昌调研试题 如图 P 是以 F1 F2为焦点的双曲线 C 1 上 x2 a2 y2 b2 的一点 已知 1212 0 2 PF PFPFPF A且 1 求双曲线的离心率 e 2 过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P1 P2两点 若 求双曲线 C 的方程 1212 27 20 4 OP OPPPPP A 解 1 利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定 2 运用向量的坐标运算 利用待定系数法建立方程组即可解得 1 由得 即 F1PF2为直角三角形 设 12 0 PF PF A 12 PFPF 2r 于是有 2r 2 r2 4c2和 2r r 2a 也就是 5 2a 2 4c2 所以 e 21 PFr PF 5 2 2 可设 P1 x1 2x1 P2 x2 2x2 P x y 则 x1x2 4x1x2 b ae2 1 12 OP OP A 27 4 所以 x1x2 9 4 用心 爱心 专心9 由 2即 x y 又因为 21 12 21 2 2 22 2 0 xxxx PPPP xyxy 得 2x1 x2 3 2 2x1 x2 3 点 P 在双曲线 1 上 所以 1 又 b2 4a2 代入上式整理 x2 a2 y2 b2 2x1 x2 2 9a2 4 2x1 x2 2 9b2 得 x1x2 a2 由 得 a2 2 b2 8 故所求双曲线方程为 1 9 8 x2 2 y2 8 评析