高三数学理二轮专题复习：圆锥曲线人教实验版（B）

用心 爱心 专心 高三数学理二轮专题复习 圆锥曲线人教实验版 高三数学理二轮专题复习 圆锥曲线人教实验版 B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 高三二轮专题复习 圆锥曲线 二 高考要求 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 理解椭圆的参数方程 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的初步应用 三 热点分析 高考圆锥曲线试题一般有 3 题 1 个选择题 1 个填空题 1 个解答题 共计 22 分左右 考查的知识点约为 20 个左右 其命题一般紧扣课本 突出重点 全面考查 选择题和填空题 考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主 难度在中等以下 一般较容易得分 解答题常作 为数学高考中的压轴题 综合考查学生数形结合 等价转换 分类讨论 逻辑推理等诸方 面的能力 重点考查圆锥曲线中的重要知识点 通过知识的重组与链接 使知识形成网络 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 往往结合平面向量进行求解 在复习中应充分重视 典型例题典型例题 例 1 设椭圆的中心在原点 坐标轴为对称轴 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直 且此焦点与长轴上较近的端点距离为24 4 求此椭圆的方程 离心率 准线方程及准 线间的距离 解析解析 设椭圆的方程为1 2 2 2 2 b y a x 或 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 则 222 12 4 cba ca cb 解之得 24 a b c 4 则所求的椭圆的方程为1 1632 22 yx 或1 3216 22 yx 离心率 2 2 e 准线方程88 yx或 两准线的距离为 16 例 2 椭圆 22 22 1 0 xy a b ab 的两个焦点 F1 F2 点 P 在椭圆 C 上 且 P F1 F1F2 P F1 3 4 P F2 3 14 I 求椭圆 C 的方程 II 若直线 L 过圆 x2 y2 4x 2y 0 的圆心 M 交 椭圆于 A B 两点 且 A B 关于点 M 对称 求直线 L 的方程 解析解析 解法一 解法一 因为点 P 在椭圆 C 上 所以62 21 PFPFa a 3 用心 爱心 专心 在 Rt PF1F2中 52 2 1 2 221 PFPFFF故椭圆的半焦距 c 5 从而 b2 a2 c2 4 所以椭圆 C 的方程为 49 22 yx 1 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 所以圆心 M 的坐标为 2 1 从而可设直线 L 的方程为 y k x 2 1 代入椭圆 C 的方程得 4 9k2 x2 36k2 18k x 36k2 36k 27 0 因为 A B 关于点 M 对称 所以 2 94 918 2 2 2 21 k kkxx 解得 9 8 k 所以直线 L 的方程为 1 2 9 8 xy 即 8x 9y 25 0 经检验 符合题意 解法二 解法二 同解法一 已知圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 所以圆心 M 的坐标为 2 1 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由题意 x1 x2且 1 49 2 1 2 1 yx 1 49 2 2 2 2 yx 由 得 0 4 9 21212121 yyyyxxxx 因为 A B 关于点 M 对称 所以 x1 x2 4 y1 y2 2 代入 得 21 21 xx yy 9 8 即直线 L 的斜率为 9 8 所以直线 L 的方程为 y 1 9 8 x 2 即 8x 9y 25 0 经检验 所求直线方程符合 题意 例 3 已知圆 C1的方程为 3 20 12 22 yx 椭圆 C2的方程为1 2 2 2 2 b y a x ab 0 C2的离心率为 2 2 如果 C1与 C2相交于 A B 两点 且线段 AB 恰为圆 C1 的直径 求直线 AB 的方程和椭圆 C2的方程 用心 爱心 专心 解析解析 由 2 2 2 2 2 2222 cbca a c e 得 设椭圆方程为 1 2 2 2 2 2 b y b x 设 1 2 2211 由圆心为yxByxA 2 4 2121 yyxx 又 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 b y b x b y b x 两式相减 得 0 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 b yy b xx 0 2 21212121 yyyyxxxx 又 1 2 4 21 21 2121 xx yy yyxx得 所以直线 AB 的方程为1 2 yx 即3 xy 将得代入 1 2 3 2 2 2 2 b y b x xy 0 218123 22 bxx 0 7224 2 2 bCAB与与与与与与与 由 3 20 xx4 xx 2xx2BA 21 2 2121 得 3 20 3 72b24 2 2 解得 8 2 b 用心 爱心 专心 故所求椭圆 2 C的方程为 1 816 22 yx 例 4 过点 1 0 的直线 l 与中心在原点 焦点在 x 轴上且离心率为 2 2 的椭圆 C 相交 于 A B 两点 直线 y 2 1 x 过线段 AB 的中点 同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称 试求直线 l 与椭圆 C 的方程 解析解析 解法一 解法一 由 e 2 2 a c 得 2 1 2 22 a ba 从而 a2 2b2 c b 设椭圆方程为 x2 2y2 2b2 A x1 y1 B x2 y2 在椭圆上 则 x12 2y12 2b2 x22 2y22 2b2 两式相减得 x12 x22 2 y12 y22 0 2 21 21 21 21 yy xx xx yy 设 AB 中点为 x0 y0 则 kAB 0 0 2y x 又 x0 y0 在直线 y 2 1 x 上 y0 2 1 x0 于是 0 0 2y x 1 kAB 1 设 l 的方程为 y x 1 右焦点 b 0 关于 l 的对称点设为 x y by x bxy bx y 1 1 1 22 1 解得则 由点 1 1 b 在椭圆上 得 1 2 1 b 2 2b2 b2 8 9 16 9 2 a 所求椭圆 C 的方程为 2 2 9 16 9 8 y x 1 l 的方程为 y x 1 用心 爱心 专心 解法二 解法二 由 e 2 1 2 2 2 22 a ba a c 得 从而 a2 2b2 c b 设椭圆 C 的方程为 x2 2y2 2b2 l 的方程为 y k x 1 将 l 的方程代入 C 的方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2b2 0 则 x1 x2 2 2 21 4 k k y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k 2 21 2 k k 直线 l y 2 1 x 过 AB 的中点 2 2 2121 yyxx 则 2 2 2 21 2 2 1 21k k k k 解得 k 0 或 k 1 若 k 0 则 l 的方程为 y 0 焦点 F c 0 关于直线 l 的对称点就是 F 点本身 不能在椭 圆 C 上 所以 k 0 舍去 从而 k 1 直线 l 的方程为 y x 1 即 y x 1 以下同解 法一 解法三 解法三 设椭圆方程为 0ba 1 b y a x 2 2 2 2 直线不平行于 y 轴 否则 AB 中点在 x 轴上与直线ABxy过 2 1 中点矛盾 故可设直线 的方程为 1x kyl 整理得 代入 消y 0bakaxak2x bak 2222222222 2211 yxByxA 设 222 22 21 2 bak ak xx 知 代入上式得 又kxxkyy2 2121 2 12 21 xx k k 2 1 2 2 22 222 ak bak kk 2 1 2 2 ka b kk 2 2 e又 122 22 2 2 22 2 2 e a ca a b k xyl 1的方程为直线 22 2ba 此时 0b22x4x3 22 方程 化为 0 13 8 1 2416 22 bb 3 3 b 的方程可写成 椭圆 222 b2y2xC 2222 bbac 又 0 右焦点bF 00 yxlF 的对称点关于直线设点 则byx bxy bx y 11 2 1 2 1 00 00 0 0 在椭圆上 代入 得 又点 b11 2 2 1 21bb 3 3 4 3 b 用心 爱心 专心 16 9 2 b 8 9 2 a 所以所求的椭圆 C 的方程为 1 16 9 8 9 22 yx 即 1 9 y16 9 x8 22 例 5 如图 已知 P1OP2的面积为 4 27 P 为线段 P1P2的一个三等分点 求以直线 OP1 OP2为渐近线且过点 P 的离心率为 2 13 的双曲线方程 解析解析 以 O 为原点 P1OP2的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系 设双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x 1 a 0 b 0 由 e2 22 2 2 2 13 1 a b a c 得 2 3 a b 两渐近线 OP1 OP2方程分别为 y 2 3 x 和 y 2 3 x 设点P1 x1 2 3 x1 P2 x2 2 3 x2 x1 0 x2 0 则由点P 分 21P P所成的比 2 1 PP PP 2 得 P 点坐标为 2 2 3 2 2121 xxxx 又点 P 在双曲线 2 2 2 2 9 4 a y a x 1 上 所以 2 2 21 2 2 21 9 2 9 2 a xx a xx 1 即 x1 2x2 2 x1 2x2 2 9a2 整理得 8x1x2 9a2 用心 爱心 专心 4 27 13 12 xx 4 13 2 1 OPPsin OP OP 2 1 S 13 12 4 9 1 2 3 2 OxPtan1 OxPtan2 OPPsin x 2 13 x 4 9 x OP x 2 13 x 4 9 x OP 212121OPP 1 2 1 21 2 2 2 2 21 2 1 2 11 21 又 即 x1x2 2 9 由 得 a2 4 b2 9 故双曲线方程为 94 22 yx 1 例 6 过椭圆 C 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 上一动点 P 引圆 O x2 y2 b2的两条切线 PA PB A B 为切点 直线 AB 与 x 轴 y 轴分别交于 M N 两点 1 已知 P 点坐标为 x0 y0 并且 x0y0 0 试求直线 AB 的方程 2 若椭圆的短轴长为 8 并且 16 25 2 2 2 2 ON b OM a 求椭圆 C 的方程 3 椭圆 C 上是否存在点 P 由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直 若存在 请求出 存在的条件 若不存在 请说明理由 解析解析 1 设 A x1 y1 B x2 y2 切线 PA 2 11 byyxx PB 2 22 byyxx P 点在切线 PA PB 上 2 0202 2 0101 byyxxbyyxx 直线 AB 的方程为 0 00 2 00 yxbyyxx 2 在直线 AB 方程中 令 y 0 则 M 0 2 x b 0 令 x 0 则 N 0 0 2 y b 用心 爱心 专心 16 25 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 b a b x a y b a ON b OM a 2b 8 b 4 代入 得 a2 25 b2 16 椭圆 C 的方程为 0 1 1625 22 xy xy 注 不剔除 xy 0 可不扣分 3 假设存在点 P x0 y0 满足 PA PB 连接 OA OB 由 PA PB 知 四边形 PAOB 为正方形 OP OA 22 0 2 0 2byx 又 P 点在椭圆 C 上 222 0 22 0 2 baybxa 由 知 x 22 22 2 0 22 222 2 0 2 ba ba y ba bab a b 0 a2 b2 0 当 a2 2b2 0 即 a b 时 椭圆 C 上存在点 P 由 P 点向圆 O 所引的两条切线互相 垂直 当 a2 2b2 0 即 b ab 0 其半焦距 c 6 2222 12 2112126 5aPFPF 3 5a b2 a2 c2 9 所以所求椭圆的标准方程为 22 1 459 xy II 点 P 5 2 F1 6 0 F2 6 0 关于直线 y x 的对称点分别为点 P 2 5 F1 0 6 F2 0 6 设所求双曲线的标准方程为 22 11 22 11 1 0 0 xy ab ab 由题意知 半焦距 c1 6 2222 112 2112124 5aP FP F 1 2 5a b12 c12 a12 36 20 16 所以所求双曲线的标准方程为 22 1 2016 xy 10 解 I 椭圆方程可写为 1 式中 a b 0 且 得 a2 4 b2 1 所 y2 a2 x2 b2 a2 b2 3 3 a 3 2 以曲线 C 的方程为 x2 1 x 0 y 0 y 2 0 x 1 y y2 41 x2 2x 1 x2 设 P x0 y0 因 P 在 C 上 有 0 x01 y 2 1 x2 4 y2 OM 2 x2 y2 y2 4 4 1 1 x2 4 x2 1 OM 2 x2 1 5 4 5 9 且当 x2 1 即 x 1 时 上式取等号 4 x2 1 4 x2 13 故OM 的最小值为 3 11 解 1 设过点 T 3 0 的直线l交抛物线 y2 2x 于点 A x1 y1 B x2 y2 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为 x 3 此时 直线l与抛物线相交于点 A 3 6 B 3 6 OBOA 3 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为 3 yk x 其中0k 由 2 2 3 yx yk x 得 2 12 2606kyyky y 又 22 1122 11 22 xyxy 3yyyy 4 1 yyxxOBOA 21 2 212121 综上所述 命题 如果直线l过点 T 3 0 那么OBOA 3 是真命题 2 逆命题是 设直线l交抛物线 y2 2x 于 A B 两点 如果OBOA 3 那么该直线 过点 T 3 0 该命题是假命题 例如 取抛物线上的点 A 2 2 B 2 1 1 此时OA OB 3 直线 AB 的方程为 2 1 3 yx 而 T 3 0 不在直线 AB 上 说明 由抛物线 y2 2x 上的点 A x1 y1 B x2 y2 满足OBOA 3 可得 y1y2 6 或 y1y2 2 如果 y1y2 6 可证得直线 AB 过点 3 0 如果 y1y2 2 可证得直线 AB 过点 1 0 而不过点 3 0 12 解 由已知条件 得 F 0 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 由 AF FB 即得 x1 1 y x2 y2 1 1yy1 xx 21 21 用心 爱心 专心 将 式两边平方并把 y1 x12 y2 x22代入得 y1 2y2 1 4 1 4 解 式得 y1 y2 且有 x1x2 x22 4 y2 4 1 抛物线方程为 y x2 求导得 y x 1 4 1 2 所以过抛物线上 A B 两点的切线方程分别是 y x1 x x1 y1 y x2 x x2 y2 即 y x1x x12 y x2x x22 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 解出两条切线的交点 M 的坐标为 2 xx 21 4 xx 21 2 xx 21 1 所以 2 xx 21 2 x2 x1 y2 y1 x22 x12 2 x22 x12 FM AB 1 2 1 4 1 4 0 所以 为定值 其值为 0 FM AB 由 知在 ABM 中 FM AB 因而 S AB FM 1 2 FM 44 2 1 yy4xx 2 1 x 4 1 x 4 1 2 2 xx 2121 2 2 2 1 2 2 21 1 2 1 因为 AF BF 分别等于 A B 到抛物线准线 y 1 的距离 所以 AB AF BF y1 y2 2 2 2 1 1 于是 S AB FM 3 1 2 1 由 2 知 S 4 且当 1 时 S 取得最小值 4 1 13 解 设椭圆方程为 22 22 1 xy abc ab 由已知得 2 222 2 4 bc a c abc 2 2 2 2 1 1 a b c 所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y 解法一 由题意知直线l的斜率存在 设直线l的方程为 1122 2 ykxA x yB xy 由 2 2 2 1 2 ykx x y 消去 y 得关于 x 的方程 22 12 860kxkx 由直线l与椭圆相交于 A B 两点 0 0k2124k63 22 解得 2 3 2 k