高三数学回归课本复习材料：导数基本概念

导数基本概念回归课本复习材料导数基本概念回归课本复习材料 一 基础知识 1 在处的导数 或变化率或微商 xf 0 x 0 00 0 00 limlim x x xx f xxf xy fxy xx 2 瞬时速度 00 limlim tt ss tts t s t tt 3 瞬时加速度 00 limlim tt vv ttv t av t tt 4 在的导数 xf ba dydf fxy dxdx 00 limlim xx yf xxf x xx 5 函数在点处的导数的几何意义 xfy 0 x 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率 xfy 0 x xfy 00 xfxP 0 x f 相应的切线方程是 000 xxxfyy 6 几种常见函数的导数 1 C 为常数 0 C 2 1 n n xnxnQ 7 判别是极大 小 值的方法当函数在点处连续时 0 xf xf 0 x 1 如果在附近的左侧 右侧 则是极大值 0 x0 x f0 x f 0 xf 2 如果在附近的左侧 右侧 则是极小值 0 x0 x f0 x f 0 xf 二 基本方法 1 导数的定义 f x 在点 x0处的导数记作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 2 根据导数的定义 求函数的导数步骤为 1 求函数的增量 2 2 求平均变化率 xfxxfy x xfxxf x y 3 取极限 得导数 x y xf x 0 lim 3 导数的几何意义 曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切线的斜率是相应地 0 x f 切线方程是 000 xxxfyy 4 导数的应用 1 利用导数判断函数的单调性 设函数 y f x 在某个区间内可导 如果那么 f x 为增函数 0 x f 如果那么 f x 为减函数 0 x f 如果在某个区间内恒有f x 为常数 0 x f 2 求可导函数极值的步骤 求导数 x f 求方程的根 0 x f 检验在方程根的左右的符号 如果左正右负 那么函数 y f x 在这个 x f 0 x f 根处取得最大值 如果左负右正 那么函数 y f x 在这个根处取得最小值 5 5 导数与函数的单调性的关系导数与函数的单调性的关系 与为增函数的关系 0 x f xf 能推出为增函数 但反之不一定 与为增函0 x f xf0 x f0 x f xf 数的关系 若将的根作为分界点 因为规定 即抠去了分界点 此时为增0 x f0 x f xf 函数 就一定有 当时 是为增函数的充分必要条0 x f0 x f0 x f xf 件 与为增函数的关系 0 x f xf 为增函数 一定可以推出 但反之不一定 因为 即为 xf0 x f0 x f 或 当函数在某个区间内恒有 则为常数 函数不具0 x f0 x f0 x f xf 有单调性 是为增函数的必要不充分条件 0 x f xf 7 函数的单调性函数的单调性 如果函数 在某个区间内可导 那么若 0 则为增函y xf xf xf 数 若 0 则为减函数 若 0 则为常数 xf xf xf xf 说明 利用导数可以证明或判断函数的单调性 注意当 f x 0 或 f x 0 带上等号 x0 0 是函数 f x 在 x0处取得极值的非充分非必要条件 f 8 8 函数的极值函数的极值 极值定义 如果函数在点附近有定义 那么对附近的点 都有我们就说函数的一个极小值 记作 xf 0 x xf 0 xf 0 xf 极大值与极小值统称为极值 极小值 y 0 xf 极值判别法 当函数在点处连续时 极值判断法是 xf 0 x 如果在附近的左侧 0 右侧 0 那么是极大值 0 x xf xf 0 xf 如果在附近的左侧0 那么是极小值 0 x xf xf 0 xf 求可导函数极值的步骤 首先 求导数 再求导数 0 的根 最后 检查在方程根左右的值 xf xf xf 的符号 如果左正右负 那么在这个根处取极大值 如果左负右正 那么在这 xf xf 个根处取极小值 说明 曲线说明 曲线在在处有极值处有极值 可以说明以下四个内容 可以说明以下四个内容 yf x 0 xx 0 y 点在曲线上 满足 该处导数 0 00 xy 00 yf x 0 0 x x yfx 是方程的根 0 x 0 0fx 符号各异 00 xxxx 或 fx 9 9 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 在闭区间 上连续 在 内可导 在 上求最大值与最小值的步骤 ba ba xfba 先求在 内的极值 再将的各极值与 比较 其中最大的 xfba xf af bf 一个