抽样分布定理的证明及推广

抽样分布定理的证明及推广 李泽州 骆非凡 七院三旅三营 摘要摘要 论文主要介绍了抽样分布的四个定理 以及对它们的证明过程 同时 抽样分布定 理不是局限的 有许多定理的推广 在这里也进行了一一的列举并进行了证明 关键词关键词 正态总体的样本均值 样本方差 正态分布 分布 分布 分布 2 xFt 1 抽样分布定理一抽样分布定理一 定理一定理一 设是来自正态总体的的样本 是样本均值 则有 1 2 n X XX 2 N u X 2 XN un 证明证明 同时 若 且他们相互独立 则 1 1 n i i XX n 2 iii XN u 1 2 in 他们的线性组合仍然服从正态分布 即是不完全为 112212 nnn C XC XC XC CC 0 的常数 所以 22 1122 11 nn nniiii ii C XC XC XNCuC 2 XN un 2 抽样分布定理二的证明和推广抽样分布定理二的证明和推广 定理二定理二 设是来自正态总体的的样本 对于正态总体 1 2 n X XX 2 N u 的样本均值和样本方差 则有 2 N u X 2 S 1 2 2 2 1 1 nS xn 2 与相互独立 X 2 S 证明证明 令 由定理二假设知 相互独立 且都 i i Xu Z 1 2 in 12 i Z ZZ 服从分布 0 1 N 222222 222222 111 1 nnn kkk kkk XXXuXunSXuXu n n 附 附 分布定义 设是来自正态总体的样本 则 2 x 1 2 n X XX 0 1 N 自由度为的分布 记为 2222 12 n xXXX n 2 x 22 xxn 其可加性为 222 1212 xxxnn 推广推广 可推广到多个同方差正态总体的情形 例如 对于两个同方差正态总体的情形 设是定理二中的正态总体和的样本均值和样本方差 只 22 12 X Y SS 2 1 N u 2 2 N u 要引人正交矩阵 其中为阶矩阵 其第一行元素都是 1 2 0 0 A T A i A i n1 1 2 ii nn 与上面同样的做法 考查各分量的独立性 就可证得相互独立 22 12 X Y SS 对于个同方差的正态总体情形 设分别是总体m 2 m 2 ii X S 的样本均值和样本方差 且各样本相互独立 则 2 1 2 i N uim 相互独立 222 1212 mm XXXSSS 三 抽样分布定理三三 抽样分布定理三 定理三定理三 设是来自正态总体的的样本 对于正态总体的样本均值 1 2 n X XX 2 N u 和样本方差 则有 X 2 S 1 Xu t n n 证明证明 由定理一和定理二得 且两者独立 由 0 1 Xu N n 2 2 2 1 1 nS xn 分布定义得 化简左边式子 即得上式 t 2 2 1 1 1 XunS t n nn 附附 分布定义 设 且相互独立 则称随机变量t 0 1 XN 2 Yxn X Y 服从自由度为的 分布 记为 X t Y n nt tt n 四 抽样分布定理四的证明和推广四 抽样分布定理四的证明和推广 定理四定理四 设与分别是来自正态总体分布和 1 12 n XXX 2 12 n Y YY 2 11 N u 的样本 且这两个样本相互独立 设 分别是两个 2 22 N u 1 1 1 1 n i i XX n 2 2 1 1 n i i YY n 样本的样本均值 和分别是这两个样本 1 22 1 1 1 1 1 n i i SXX n 2 22 2 1 2 1 1 n i i SYY n 的样本方差 则有 1 22 12 12 22 11 1 1 SS F nn 2 当时 其中 222 12 12 12 11 w XYuu S nn 22 2 1122 12 1 1 2 w nSnS S nn 2 ww SS 证明证明 1 由定理二得 由假设 2 2 11 1 2 1 1 1 nS xn 2 2 22 2 2 2 1 1 nS xn 相互独立 则由分布的定义知 2 2 SF 22 1122 12 22 1122 1 1 1 1 1 1 nSnS F nn nn 即 22 12 12 22 11 1 1 SS F nn 2 易知 即有 22 12 12 XYN uu nn 12 12 0 1 11 XYuu UN nn 又由题大的条件知 且他们相互独立 2 2 11 1 2 1 1 1 nS xn 2 2 22 2 2 2 1 1 nS xn 故由分布的可加性知 又因为相互 2 x 22 2 1122 12 22 12 1 1 2 nSnS Vxnn U V 独立 从而由 分布的定义知 t 12 12 12 12 2 2 11 XYuuU t nn Vnn nn 附附 分布定义 设 且 相互独立 则称随机变量F 22 12 UxnVxnUV 服从自由度为的分布 记为 1 2 U n F V n 12 n nF 12 FF n n 推广推广 不仅对两个正态总体有这样的定理 对多个正态总体也具有这样的定理 四 小结四 小结 四个抽样分布定理和三个统计分布在统计学习中具有很重要的意义 掌握了三种分布 和四个抽样分布定理 有助于我们解决相关问题 通过对四个抽样分布定理的证明和推广 使得我们对抽样分布有了更深的理解 对后几章内容的学习很有帮助 五 参考文献 五 参考文献 1 盛骤 谢式千 潘承毅 浙江大学第四版 概率论与数理统计 M 北京 高等教育出 版社 2 胡京爽 大学教材全解 概率论与数理统计 M 青岛 中国海洋大学出版社 六 学习体会 六 学习体会 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科 经过这学期教员的辛勤讲 解使得我们对概率论以及数理统计有了一个崭新而又深刻的认识 以及不断的理解加深有 关知