高中数学 第三章单元小结（二）教案 新人教A版必修1

用心 爱心 专心 第三章第三章 单元小结 二 单元小结 二 一 教学目标 1 知识与技能 整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法 进一步提升研究函数和应用函数解决 实际应用问题的技能 2 过程与方法 通过学生自我回顾 反思 整理 归纳所学知识 从而构建本节的知识体系 3 情感 态度与价值观 在学习过程中 学会整合知识 提升自我学习的品质 养成合作 交流 创新的良好 学习品质 二 教学重点与难点 重点 整合单元知识 难点 提升综合运用单元知识能力 三 教学方法 动手练习与合作交流相结合 在整合知识中构建体系 在综合练习中提升能力 四 教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 回顾反思 构建体系 1 函数模型及其应用章文 知识网络 2 知识梳理 1 常见函数模型 直线模型 即一次函数模型 现实生活 中很多事例可以用直线模型表示 例如匀速直线运动的时间和位移 的关系 弹簧的伸长量与拉力的 关系等 其增长特点是直线上升 x的系数k 1 通过图象可 以直观地认识它 指数函数模型 能用指数函数表示的函数模 型 指数函数增长的特点是随着 自变量的增大 函数值增大的速 度越来越快 底数a 1 常形 象地称为 指数爆炸 1 题生合作 绘制网络图 2 学生回顾口述知识要点 老师总结 归 纳进行知识疏理 整 理知识培 养归纳能 力 师 生共同回 顾 再现 知识与方 法 函数模型及其应用 模 型 应 用 举 例 指数函数 对数函数 幂函数增 长速度比 较 直线上升 指数爆炸 对数增长 用心 爱心 专心 对数函数模型 能用对数函数表达的函数模 型叫对数函数模型 对数增长的 特点是随着自变量的增大 底数 a 1 函数值增大的速度越来 越慢 对数增大在现实生活中也 有广泛的应用 幂函数模型 能用幂函数表达的函数模型 叫做幂函数模型 幂函数模型中 最常见的是二次函数y x2 的 模型 它的应用最为广泛 2 函数模型的选择和建 立 根据实际问题提供的两个 变量的数量关系可构建和选择正 确的函数模型 同时 要注意利 用函数图象的直观性 作出散点 图 来确定适合题意的函数模型 建立数学模型的三关 a 事理关 通过阅读 理 解 明白问题讲什么 熟悉实际 背景 为解题打开突破口 b 文理关 将实际问题的 文字语言转化为数学的符号语言 用数学式子表达数学关系 c 数理关 在构建数学模 型中 对已有的数学知识进行检 索 从而认定或构建相应数学问 题 例 1 某工厂生产某产品所 需要的费用为P元 而卖出x 吨的价格为每吨Q元 已知P 1000 5x 2 1 10 x Q a x b 若生产出的产品能够全部 卖掉 且在产量为 150 吨时利 润最大 此时每吨价格为 40 元 例 1 解析 根据题意得利润函数解析 式为 2 1 10005 10 x yQxPx axx b 2 11 5 1000 10 xax b 依题意得 5 150 11 2 10 150 40 a b a b 用心 爱心 专心 经典例题 求实数a b的值 例 2 某地投资建印染厂 为了保护环境 需制定治污方 案 甲方案为永久性治污方案 需一次投入 100 万元 乙方案 为分期治污方案 需每月投资 5 万元 若投资额以月利润 1 的复利计算 试比较投产几个 月后甲方案与乙方案的优势 必须时可用以下数据 lg1 010 0 0043 lg1 253 0 0980 lg1 250 0 0969 lg1 235 0 0917 注 1 q q2 qn 1 1 1 1 n q q q 解得 45 30 a b 评析 已给出函数模型的实际应用 题 关键是考虑该题考查的是何种函数 并要注意定义域 最后结合其实际意义作 出解答 例 2 解析 设经过x个月后 甲 乙两 方案总的本息分别为y z 则y 100 1 1 x z 5 1 1 1 1 1 2 1 1 x 1 5 1 011 500 1 011 0 01 x x 设 100 1 1 x 500 1 01x 1 则 1 01x 5 4 两边取常用对数得 x lg1 250 0969 22 53 lg1 010 0043 故工厂投产 23 个月后 甲方案优于乙 方案 投产 1 至 22 个月乙方案优于甲方案 评析 不同的函数模型能够刻画现 实世界不同的变化规律 函数模型可以处 理生产生活中很多实际问题 常见的函数模型有 1 一次函数型模型 y kx b k 0 2 二次函数型模型 y ax2 bx c a 0 3 指数函数型模型 y a bx c 4 对数函数型模型 y m logax 用心 爱心 专心 例 3 为了估计上积雪融化 后对下游灌溉的影响 在山上 建立了一个观察站 测量最大 积雪深度x与当年灌溉面积y 现有连续 10 年的实测资料 如 下表所示 年序 最大积雪 深度 x cm 灌溉面积 y 公顷 115 228 6 210 421 1 321 240 5 418 636 6 526 449 8 623 445 0 713 529 2 816 734 1 924 045 8 1019 136 9 1 描点画出灌溉面积随 积雪深度变化的图象 2 建立一个能基本反映 灌溉面积变化的函数模型 并 画出图象 3 根据所建立的函数模 型 若今年最大积雪深度为 25cm 可以灌溉土地多少公顷 n 5 幂函数型模型 y axn b 例 3 解析 1 利用计算机几何画 板软件 描点如图甲 2 从图甲中可以看到 数据点大致 落在一条直线附近 由此 我们假设灌溉 面积y和最大积雪深度x满足线性函数模 型y a bx 取其中的两组数据 10 4 21 1 24 0 45 8 代入y a bx 得 21 110 4 45 824 0 ab ab 用计算器可得 a 2 4 b 1 8 这样 我们得到一个函数模型 y 2 4 1 8x 作出函数图象如图乙 可以 发现 这个函数模型与已知数据的拟合程 度较好 这说明它能较好地反映积雪深度 与灌溉面积的关系 3 由y 2 4 1 8 25 求得y 47 4 即当积雪深度为 25cm 时 可以灌 溉土地 47 4 公顷 评析 拟合函数模型解决实际问题要 根据数据特点作函数点图 然后选择函数模 型 这反映了一个较为完整的建立函数模型 解决问题的过程 备选例题 例 3 我国农业科学家研究玉米的生长阶段与植株高度的函数关系的例子 这里我们 再进一步研究此例 引导大家学习建立数学模型的方法 下表给出了某地区玉米在不同生长阶段的高度数据 用心 爱心 专心 生长 阶段 12345678910111213141516 植株 高度 cm 0 670 851 281 752 272 753 694 716 367 739 9112 75 16 5520 127 35 32 55 生长 阶段 171819202122232425262728293031 植株 高度 cm 37 55 44 75 53 38 71 61 83 89 97 46 112 73 135 12 153 6 160 32 167 05 174 9 177 87 180 19 180 79 1 作出函数图象 近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系 2 利用得出的关系式列表 3 与表中实际数据比较 说出关系式给出的一些信息 解 1 作出函数图形 如图所示 函数的图形近似于 S 形 以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图象 但我们仔细观察 第 1 个生长阶段至第 25 个生长阶段图象后会发现 它与我们比较熟悉的指数函数的图象相 象 下面我们来考虑给出第 1 至第 25 个生长阶段的一个指数函数关系式 假设指数函数为 y ae bx 并且通过点 2 0 85 和 23 112 73 把这两个点的坐标代入函数关系式 解方 程组得 a 0 534 b 0 233 因此 用指数函数近似得到的关系式为 y f x 0 534e 0 233x 2 由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下 生长阶 段 x 12345678910111213 植株高 度 f x 0 67 0 85 1 07 1 36 1 71 2 16 2 733 44 4 345 486 928 74 11 03 生长阶 段 x 141516171819202122232425 植株高 13 9317 58 22 2 28 0235 3744 66 56 37 71 16 89 84113 41143 17180 73 用心 爱心 专心 度 f x 3 从表中我们可以清楚地看出 第 1 到第 6 个生长阶段与实际得到的数据相差很小 后面除第 23 生长阶段外的其它生长阶段数据相差较大 这个指数函数在玉米生长后几个阶段增长较快 与实际数据中稳定于某一数值附近不符 要得到效果更好的关系式 我们需要更多的数学知识 人们在实际生活中发现生物种群的增长也有类似玉米株高生长的 S 形曲线 如 SARS 非典型肺炎 病的传播 时间与病例