【创新设计】高考数学 第十一篇 第8讲 二项分布与正态分布限时训练 新人教A版

1 第第 8 8 讲讲 二项分布与正态分布二项分布与正态分布 A 级 基础演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2011 湖北 如图 用K A1 A2三类不同的元件连 接成一个系统 当K正常工作且A1 A2至少有一个 正常工作时 系统正常工作 已知K A1 A2正常工 作的概率依次为 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 A 0 960 B 0 864 C 0 720 D 0 576 解析 P 0 9 1 1 0 8 2 0 864 答案 B 2 2011 广东 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军 乙 队需要再赢两局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概率为 A B C D 3 4 2 3 3 5 1 2 解析 问题等价为两类 第一类 第一局甲赢 其概率P1 第二类 需比赛 2 局 1 2 第一局甲负 第二局甲赢 其概率P2 故甲队获得冠军的概率为P1 P2 1 2 1 2 1 4 3 4 答案 A 3 在 4 次独立重复试验中 随机事件A恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率 则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是 A 0 4 1 B 0 0 4 C 0 0 6 D 0 6 1 解析 设事件A发生的概率为p 则 Cp 1 p 3 Cp2 1 p 2 解得p 0 4 故选 A 1 42 4 答案 A 4 设随机变量X服从正态分布N 2 9 若P X c 1 P X c 1 则c等于 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 2 由正态分布的定义 知其函数图象关于x 2 对称 于是 2 c 2 c 1 c 1 2 答案 B 2 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2013 台州二模 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设的 5 个问题中 选手若能连续 正确回答出两个问题 即停止答题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率 都是 0 8 且每个问题的回答结果相互独立 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一 轮的概率等于 解析 由已知条件第 2 个问题答错 第 3 4 个问题答对 记 问题回答正确 事件为 A 则P A 0 8 P P 1 P A P A P A 0 128 A A A AA 答案 0 128 6 设随机变量X服从正态分布N 0 1 如果P X 1 0 8413 则P 1 X1 1 P X 1 1 0 841 3 0 158 7 X N 0 1 0 P X1 0 158 7 P 1 X 1 1 P X1 0 682 6 P 1 X 0 P 1 X 1 0 341 3 1 2 答案 0 341 3 三 解答题 共 25 分 7 12 分 设在一次数学考试中 某班学生的分数X N 110 202 且知试卷满分 150 分 这个班的学生共 54 人 求这个班在这次数学考试中及格 即 90 分以上 的人数和 130 分 以上的人数 解 由题意得 110 20 P X 90 P X 110 20 P X P X 2P X 0 682 6 1 P X 0 158 7 P X 90 1 P X 0 682 6 2P X 1 P X 0 158 7 54 0 158 7 9 人 即 130 分以上的人数约为 9 人 8 13 分 2012 重庆 甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者 3 获胜 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 1 3 乙每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响 1 2 1 求甲获胜的概率 2 求投篮结束时甲的投球次数 的分布列与期望 解 设Ak Bk分别表示甲 乙在第k次投篮投中 则 P Ak P Bk k 1 2 3 1 3 1 2 1 记 甲获胜 为事件C 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的 概率计算公式知 P C P A1 P A2 P A3 P A1 P P P A2 P P P A1B1A1B1A2B2A1B1A1B1A2 P P A3 B2 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 1 3 1 9 1 27 13 27 2 的所有可能值为 1 2 3 由独立性 知 P 1 P A1 P B1 A1 1 3 2 3 1 2 2 3 P 2 P A2 P B2 A1B1A1B1A2 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 2 9 P 3 P 2 2 A1 B1 A2 B2 2 3 1 2 1 9 综上知 的分布列为 123 P 2 3 2 9 1 9 从而E 1 2 3 次 2 3 2 9 1 9 13 9 B 级 能力突破 时间 30 分钟 满分 45 分 一 选择题 每小题 5 分 共 10 分 1 2013 金华模拟 已知三个正态分布密度函数 i x 4 e x R R i 1 2 3 的图象如图所示 则 1 2 i x i 2 2 2i A 1 2 3 1 2 3 B 1 2 3 1 2 3 C 1 2 3 1 2 3 D 1 2 3 1 2 3 解析 正态分布密度函数 2 x 和 3 x 的图象都是关于同一条直线对称 所以其平 均数相同 故 2 3 又 2 x 的对称轴的横坐标值比 1 x 的对称轴的横坐标值 大 故有 1 2 3 又 越大 曲线越 矮胖 越小 曲线越 瘦高 由图 象可知 正态分布密度函数 1 x 和 2 x 的图象一样 瘦高 3 x 明显 矮胖 从而可知 1 2 3 答案 D 2 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动 质点每次移动一个单位 移动的方向为向 上或向右 并且向上 向右移动的概率都是 质点P移动五次后位于点 2 3 的概率是 1 2 A 5 B C 5 1 2 2 5 1 2 C C 3 D C C 5 3 5 1 2 2 5 3 5 1 2 解析 由于质点每次移动一个单位 移动的方向为向上或向右 移动五次后位于点 2 3 所以质点P必须向右移动两次 向上移动三次 故其概率为 C 3 2 C5 C5 故选 B 3 5 1 2 1 2 3 5 1 2 2 5 1 2 答案 B 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 3 2013 湘潭二模 如果X B 20 p 当p 且P X k 取得最大值时 k 1 2 解析 当p 时 P X k C k 20 k C 20 显然当k 10 时 P X k 1 2k20 1 2 1 2 k20 1 2 取得最大值 答案 10 4 2013 九江一模 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方 的入口处 小 1 球将自由下落 小球在下落的过程中 将 3 次遇到黑 色障碍物 最后落入A袋或B袋中 已知小球每次遇到黑色障碍物时 5 向左 右两边下落的概率都是 则小球落入A袋中的概率为 1 2 解析 记 小球落入A袋中 为事件A 小球落入B袋中 为事件B 则事件A的对立 事件为B 若小球落入B袋中 则小球必须一直向左落下或一直向右落下 故P B 3 3 从而P A 1 P B 1 1 2 1 2 1 4 1 4 3 4 答案 3 4 三 解答题 共 25 分 5 12 分 2012 湖南 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随 机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 如下表所示 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及 以上 顾客数 人 x3025y10 结算时间 分钟 人 11 522 53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55 1 确定x y的值 并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望 2 若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算 且各顾客的结算相互独立 求该 顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟的概率 注 将频率视为概率 解 1 由已知得 25 y 10 55 x 30 45 所以x 15 y 20 该超市所有顾客一 次购物的结算时间组成一个总体 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体 的一个容量为 100 的简单随机样本 将频率视为概率得 P X 1 P X 1 5 P X 2 P X 2 5 15 100 3 20 30 100 3 10 25 100 1 4 P X 3 20 100 1 5 10 100 1 10 X的分布列为 X11 522 53 P 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 X的数学期望为 E X 1 1 5 2 2 5 3 1 9 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 2 记A为事件 该顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟 Xi i 1 2 为该顾客前面 第i位顾客的结算时间 则 P A P X1 1 且X2 1 P X1 1 且X2 1 5 P X1 1 5 且X2 1 6 由于各顾客的结算相互独立 且X1 X2的分布列都与X的分布列相同 所以 P A P X1 1 P X2 1 P X1 1 P X2 1 5 P X1 1 5 P X2 1 3 20 3 20 3 20 3 10 3 10 3 20 9 80 故该顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟的概率为 9 80 6 13 分 2012 山东 现有甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为 命 3 4 中得 1 分 没有命中得 0 分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 每命中一次得 2 2 3 分 没有命中得 0 分 该射手每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射 击 1 求该射手恰好命中一次的概率 2 求该射手的总得分X的分布列及数学期望E X 解 1 记 该射手恰好命中一次 为事件A 该射手射击甲靶命中 为事件B 该 射手第一次射击乙靶命中 为事件C 该射手第二次射击乙靶命中 为事件D 由题意 知P B P C P D 3 4 2 3 由于A B C D C D B D B C 根据事件的独立性和互斥性 得 P A P B C D C D B D B C P B P C P D C D B D B C P B P P P P C P P P P D C D B D B C 3 4 1 2 3 1 2 3 1 3 4 2 3 1 2 3 1 3 4 1 2 3 2 3 7 36 2 根据题意 知X的所有可能取值为 0 1 2 3 4 5 根据事件的独立性和互斥性 得 P X 0 P B C D 1 P B 1 P C 1 P D 1 3 4 1 2 3 1 2 3 1 36 P X 1 P B P B P P C D C D 7 3 4 1 2 3 1 2 3 1 12 P X 2 P C D P C P D B D B C B D B C 1 3 4 2 3 1 2 3 1 3 4 1 2 3 2 3 1 9 P X 3 P BC BD P BC P BD D C