2010年高中数学高考复 习必备精品：解三角形旧人教版

用心 爱心 专心 解三角形解三角形 一 一 课标要求课标要求 1 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决 一些简单的三角形度量问题 2 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题 二 二 命题走向命题走向 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化 三角形形状的判断 三角形内三角函数 的求值以及三角恒等式的证明问题 立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题 今后高考的命题会以正弦定理 余弦定理为知识框架 以三角形为主要依托 结合实际应用 问题考察正弦定理 余弦定理及应用 题型一般为选择题 填空题 也可能是中 难度的解 答题 三 三 要点精讲要点精讲 1 直角三角形中各元素间的关系 如图 在 ABC 中 C 90 AB c AC b BC a 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 锐角三角函数定义 sinA cosB c a cosA sinB c b tanA b a 2 斜三角形中各元素间的关系 如图 6 29 在 ABC 中 A B C 为其内角 a b c 分别表示 A B C 的对边 1 三角形内角和 A B C 2 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2 sinsinsin R 为外接圆半径 3 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 3 三角形的面积公式 1 2 1 aha 2 1 bhb 2 1 chc ha hb hc分别表示 a b c 上的高 2 2 1 absinC 2 1 bcsinA 2 1 acsinB 3 sin 2 sinsin 2 CB CBa sin 2 sinsin 2 AC ACb sin 2 sinsin 2 BA BAc 4 2R2sinAsinBsinC R 为外接圆半径 5 R abc 4 6 csbsass 2 1 cbas 7 r s 4 解三角形 由三角形的六个元素 即三条边和三个内角 中的三个元素 其中至少 有一个是边 求其他未知元素的问题叫做解三角形 广义地 这里所说的元素还可以包括三 用心 爱心 专心 角形的高 中线 角平分线以及内切圆半径 外接圆半径 面积等等 解三角形的问题一般 可分为下面两种情形 若给出的三角形是直角三角形 则称为解直角三角形 若给出的三角 形是斜三角形 则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是 设 ABC 的三边为 a b c 对应的三个角为 A B C 1 角与角关系 A B C 2 边与边关系 a b c b c a c a b a b c b c b 3 边与角关系 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin R 为外接圆半径 余弦定理 c2 a2 b2 2bccosC b2 a2 c2 2accosB a2 b2 c2 2bccosA 它们的变形形式有 a 2R sinA b a B A sin sin bc acb A 2 cos 222 5 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用上述公式和上述变换方法外 还要注意三角形自身的特 点 1 角的变换 因为在 ABC 中 A B C 所以 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 2 三角形边 角关系定理及面积公式 正弦定理 余弦定理 r 为三角形内切圆半径 p 为周长之半 3 在 ABC 中 熟记并会证明 A B C 成等差数列的充分必要条件是 B 60 ABC 是正三角形的充分必要条件是 A B C 成等差数列且 a b c 成等 比数列 四 四 典例解析典例解析 题型 1 正 余弦定理 2009 岳阳一中第四次月考 已知 ABC中 ABa ACb 0a b 15 4 ABC S 3 5ab 则BAC A 30 B 150 C 0 150 D 30 或 0 150 答案 C 例 1 1 在 ABC中 已知 0 32 0 A 0 81 8 B 42 9 acm 解三角形 2 在 ABC中 已知20 acm 28 bcm 0 40 A 解三角形 角度精确到 0 1 边长 精确到 1cm 解析 1 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 用心 爱心 专心 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 2 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 0 0 B 0 180 所以 0 64 B 或 0 116 B 当 0 64 B时 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当 0 116 B时 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 点评 应用正弦定理时 1 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两 解的情形 2 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 1 在 ABC 中 已知2 3 a 62 c 0 60 B 求 b 及 A 2 在 ABC 中 已知134 6 acm 87 8 bcm 161 7 ccm 解三角形 解析 1 222 2cos bacacB 22 2 3 62 2 2 3 62 cos 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求A可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 3 2 1 8 3 6 a c 即 0 0 A 0 90 0 60 A 2 由余弦定理的推论得 cos 222 2 b ca A bc 222 87 8161 7134 6 2 87 8 161 7 0 5543 0 56 20 A cos 222 2 cab B ca 222 134 6161 787 8 2 134 6 161 7 0 8398 用心 爱心 专心 0 32 53 B 0000 180 180 56 2032 53 CA B 0 90 47 点评 应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围 题型 2 三角形面积 例 3 在 ABC中 sincosAA 2 2 AC 2 AB 3 求Atan的值和 ABC的面积 解法一 先解三角方程 求出角 A 的值 2 1 45cos 2 2 45cos 2cossin A AAA 又0180 A 4560 105 AA 13 tantan 4560 23 13 A 4 62 60sin45cos60cos45sin 6045sin 105sinsin A SACABA ABC 1 2 1 2 23 26 4 3 4 26sin 解法二 由sincosAA 计算它的对偶关系式sincosAA 的值 sincosAA 2 2 0cos 0sin 1800 2 1 cossin2 2 1 cos sin 2 AAA AA AA 2 3 cossin21 cos sin 2 AAAA sincosAA 6 2 得 sin A 26 4 用心 爱心 专心 得 cos A 26 4 从而 sin264 tan23 cos426 A A A 以下解法略去 点评 本小题主要考查三角恒等变形 三角形面积公式等基本知识 着重数学考查运算 能力 是一道三角的基础试题 两种解法比较起来 你认为哪一种解法比较简单呢 例 4 2009 湖南卷文 在锐角ABC 中 1 2 BCBA 则 cos AC A 的值等于 AC的取值范围为 答案 2 3 2 解析 设 2 AB 由正弦定理得 12 sin2sin2coscos ACBCACAC 由锐角ABC 得0290045 又01803903060 故 23 3045cos 22 2cos 2 3 AC 例 5 2009 浙江理 本题满分 14 分 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 且 满足 2 5 cos 25 A 3AB AC I 求ABC 的面积 II 若6bc 求a的值 解 1 因为 2 5 cos 25 A 2 34 cos2cos1 sin 255 A AA 又由 3AB AC 得cos3 bcA 5bc 1 sin2 2 ABC SbcA 2 对于5bc 又6bc 5 1bc 或1 5bc 由余弦定理得 222 2cos20abcbcA 2 5a 例 6 2009 全国卷 理 在ABC 中 内角 A B C 的对边长分别为a b c 已知 用心 爱心 专心 22 2acb 且sincos3cossin ACAC 求 b 分析 此题事实上比较简单 但考生反应不知从何入手 对已知条件 1 22 2acb 左侧是 二次的右侧是一次的 学生总感觉用余弦定理不好处理 而对已知条件 2 sincos3cossin ACAC 过多的关注两角和与差的正弦公式 甚至有的学生还想用现在 已经不再考的积化和差 导致找不到突破口而失分 解法一 在ABC 中sincos3cossin ACAC 则由正弦定理及余弦定理有 222222 3 22 abcbca ac abbc AA化简并整理得 222 2 acb 又由已知 22 2acb 2 4bb 解得40 bb 或舍 解法二 由余弦定理得 222 2cosacbbcA 又 22 2acb 0b 所以2 cos2bcA 又sincos3cossinACAC sincoscossin4cossinACACAC sin 4cossinACAC 即sin4cossinBAC 由正弦定理得sinsin b BC c 故4 cosbcA 由 解得4b 评析 从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查 在备考中应注意总结 提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力 另外提醒 两纲中明确不再 考的知识和方法了解就行 不必强化训练 题型 4 三角形中求值问题 例 7 ABC 的三个内角为ABC 求当 A 为何值时 cos2cos 2 BC A 取得最 大值 并求出这个最大值 解析 由 A B C 得 所以有 cos sin B C 2 2 A 2 B C 2 A 2 cosA 2cos cosA 2sin 1 2sin2 2sin 2 sin 2 B C 2 A 2 A 2 A 2 A 2 1 2 3 2 当 sin 即 A 时 cosA 2cos取得最大值为 A 2 1 2 3 B C 2 3 2 点评 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式 通过三 用心 爱心 专心 角函数的性质求得结果 例 8 2009 浙江文 本题满分 14 分 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 且 满足 2 5 cos 25 A 3AB AC I 求ABC 的面积 II 若1c 求a的值 解 5 3 1 5 52 21 2 cos2cos 22 A A 又 0 A 5 4 cos1sin 2 AA 而3 5 3 cos bcAACABACAB 所以 5 bc 所以ABC 的面积为 2 5 4 5 2 1 sin 2 1 Abc 由 知5 bc 而1 c 所以5 b 所以5232125cos2 22 Abccba 点评 本小题主要考察三角函数概念 同角三角函数的关系 两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式 考察应用 分析和计算能力 题型 5 三角形中的三角恒等变换问题 例 9 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边长 已知 a b c 成等比数 列 且 a2 c2 ac bc 求 A 的大小及 c Bbsin 的值 分析 因给出的是 a b c 之间的等量关系 要求 A 需找 A 与三边的关系 故可用 余弦定理 由 b2 ac 可变形为 c b2 a 再用正弦定理可求 c Bbsin 的值 解法一 a b c 成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC 中 由余弦定理得 cosA bc acb 2 222 bc bc 2 2 1 A 60 在 ABC 中 由正弦定理得 sinB a Absin b2 ac A 60 ac b c Bb 60sinsin 2 sin60 2 3 解法二 在 ABC 中 由面积公式得 2 1 bcsinA 2 1 acsinB b2 ac A 60 bcsinA b2sinB c Bbsin sinA 2 3 评述 解三角形时 找三边一角之间的关系常用余弦定理 找两边两角之间的关系常用 正弦定理 例 10 在 ABC 中 已知 A B C 成等差数列 求 用心 爱心 专心 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 的值 解析 因为 A B C 成等差数列 又 A B C 180 所以 A C 120 从而 2 CA 60 故 tan3 2 CA 由两角和的正切公式 得3 2 tan 2 tan1 2 tan 2 tan CA CA 所以 2 tan 2 tan33 2 tan 2 tan CACA 3 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 点评 在三角函数求值问题中的解题思路 一般是运用基本公式 将未知角变换为已知 角求解 同时结合三角变换公式的逆用 题型 6 正 余弦定理判断三角形形状 例 11 在 ABC 中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC 的形状一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 答案 C 解析 2sinAcosB sin A B sin A B 又 2sinAcosB sinC sin A B 0 A B 点评 本题考查了三角形的基本性质 要求通过观察 分析 判断明确解题思路和变形 方向 通畅解题途径 例 12 2009 四川卷文 在ABC 中 AB 为锐角 角ABC 所对的边分别为 abc 且 510 sin sin 510 AB I 求AB 的值 II 若21ab 求abc 的值 解 I AB 为锐角 510 sin sin 510 AB 22 2 53 10 cos1 sin cos1 sin 510 AABB 2 53 105102 cos coscossinsin 5105102 ABABAB 用心 爱心 专心 0AB 4 AB II 由 I 知 3 4 C 2 sin 2 C 由 sinsinsin abc ABC 得 5102abc 即2 5ab cb 又 21ab 221bb 1b 2 5ac 题型 7 正余弦定理的实际应用 例 13 2009 辽宁卷理 如图 A B C D 都在同一个与 水平面垂直的平面内 B D 为两岛上的两座灯塔 的塔顶 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 0 75 0 30 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的 仰角均 为 0 60 AC 0 1km 试探究图中 B D 间距 离与另 外哪两点间距离相等 然后求 B D 的距离 计算结果精确到 0 01km 2 1 414 6 2 449 解 在 ABC 中 DAC 30 ADC 60 DAC 30 所以 CD AC 0 1 又 BCD 180 60 60 60 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线 所以 BD BA 在 ABC 中 ABCsin C BCAsin AAB 即 AB 20 623 15sin ACsin60 因此 BD km33 0 20 623 北 20 10 A B C 用心 爱心 专心 故 B D 的距离约为 0 33km 点评 解三角形等内容提到高中来学习 又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换 要求的降低 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展 但也不可太难 只要掌握基本知识 概念 深刻理解其中基本的数量关系即可过关 2 2009 宁夏海南卷理 本小题满分 12 分 为了测量两山顶 M N 间的距离 飞机沿 水平方向在 A B 两点进行测量 A B M N 在同一个铅垂平面内 如示意图 飞机 能够测量的数据有俯角和 A B 间的距离 请设计一个方案 包括 指出需要测量的 数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写出计算 M N 间的距离的步骤 解 方案一 需要测量的数据有 A 点到 M N 点的俯角 B 点到 M N 的俯角 22 A B 的距离 d 如图所示 第一步 计算 AM 由正弦定理 2 12 sin sin d AM 第二步 计算 AN 由正弦定理 2 21 sin sin d AN 第三步 计算 MN 由余弦定理 22 11 2cos MNAMANAMAN 方案二 需要测量的数据有 A 点到 M N 点的俯角 1 1 B 点到 M N 点的俯角 2 2 A B 的距离 d 如 图所示 第一步 计算 BM 由正弦定理 1 12 sin sin d BM 第二步 计算 BN 由正弦定理 1 21 sin sin d BN 11 用心 爱心 专心 第三步 计算 MN 由余弦定理 22 22 2c