奥数比的应用

第十四周第十四周 比的应用 一 比的应用 一 专题简析专题简析 我们已经学过比的知识 都知道比和分数 除法其实是一回事 所有比与分数能互相 转化 运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易 化繁为简 例题例题 1 1 甲数是乙数的 乙数是丙数的 甲 乙 丙三数的比是 2 3 4 5 思路导航思路导航 甲 乙两数的比 2 3 乙 丙两数的比 4 5 甲 乙 丙三数的比 8 12 15 答 甲 乙 丙三数的比是 8 12 15 练习练习 1 1 1 甲数是乙数的 乙数是丙数的 甲 乙 丙三数的比是 4 5 5 8 2 甲数是乙数的 甲数是丙数的 甲 乙 丙三数的比是 4 5 4 9 3 甲数是丙数的 乙数是丙数的 2 甲 乙 丙三数的比是 3 7 1 2 例题例题 2 2 光明小学将五年级的 140 名学生 分成三个小组进行植树活动 已知第一小组和第二小 组人数的比是 2 3 第二小组和第三小组人数的比是 4 5 这三个小组各有多少人 思路导航思路导航 先求出三个小组人数的连比 再按求出的连比进行分配 一 二两组人数的比 2 3 二 三两组人数的比 4 5 一 二 三组人数的比 8 12 15 总份数 8 12 15 35 第一组 140 32 人 8 35 第二组 140 48 人 12 35 第三组 140 60 人 15 35 答 第一小组有 32 人 第二小组有 48 人 第三小组有 60 人 练习练习 2 2 1 某农场把 61600 公亩耕地划归为粮田与棉田 它们之间的比是 7 2 棉田与其他作物 面积的比 6 1 每种作物各是多少公亩 2 黄山小学六年级的同学分三组参加植树 第一组与第二组的人数的比是 5 4 第二组 与第三组人数的比是 3 2 已知第一组的人数比二 三组人数的总和少 15 人 六年 级参加植树的共有多少人 3 科技组与作文组人数的比是 9 10 作文组与数学组人数的比是 5 7 已知数学组与 科技组共有 69 人 数学组比作文组多多少人 例题例题 3 3 甲 乙两校原有图书本数的比是 7 5 如果甲校给乙校 650 本 甲 乙两校图书本数 的比就是 3 4 原来甲校有图书多少本 思路导航思路导航 由甲 乙两校原有图书本数的比是 7 5 可知 原来甲校图书的本数是两校图 书总数的 由于甲校给了乙校 650 本 这时甲校的图书占两校图书总数 7 7 5 的 甲校给乙校的 650 本图书 相当于两校图书总数的 3 3 4 7 7 5 3 3 4 13 84 650 2450 本 7 7 5 3 3 4 7 7 5 答 原来甲校有图书 2450 本 练习练习 3 3 1 小明读一本书 已读的和未读的页数比是 1 5 如果再读 30 页 则已读和未读的页 数之比为 3 5 这本书共有多少页 2 甲 乙两包糖的重量比是 4 1 从甲包取出 130 克放入乙包后 甲 乙两包糖的重量 比为 7 5 原来甲包有多少克糖 3 五年级三个班举行数学竞赛 一班参加比赛的占全年级参赛总人数的 二班与三班参 1 3 加比赛人数的比是 11 13 二班比三班少 8 人 一班有多少人参加了数学竞赛 例题例题 4 4 从前有个农民 临死前留下遗言 要把 17 头牛分给三个儿子 其中大儿子分得 二儿 1 2 子分得 小儿子分得 但不能把牛卖掉或杀掉 三个儿子按照老人的要求怎么也不好分 1 3 1 9 后来一位邻居顺利地把 17 头牛分完了 你知道这到底是怎么回事吗 思路导航思路导航 因为 1 就是说三兄弟并未将全部牛分完 所以我们求出三 1 2 1 3 1 9 17 18 17 18 个儿子分牛头数的连比 最后再按比例分配 三个儿子分牛头数的连比 9 6 2 1 2 1 3 1 9 总份数 9 6 2 17 三个儿子各分得牛的头数 17 9 头 9 17 17 6 头 6 17 17 2 头 2 17 答 大儿子分得 9 头 二儿子分得 6 头 小儿子分得 2 头 练习练习 4 4 1 图书室取出一批书 按照一年级得 二年级得 三年级得 正好是 41 本 各年级 1 2 1 3 1 7 各得多少本 2 古罗马富豪约翰逊再临终前 对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱 如果生下来是个男孩 就把遗产的三分之二给儿子 母亲拿三分之一 如果生下来的是女孩就把遗产的三分 之一给女儿 三分之二给母亲 结果他的妻子生了双胞胎 一男一女 这是他没 有预料到的 求出接近于遗嘱条件 把遗产分给三个继承人的比 1 从儿子 母亲 女儿所得的比例来看 他们三人所得的遗产的比是 2 从母亲至少得遗产的 来看 儿子 母亲 女儿所得遗产的比是 1 3 3 甲 乙 丙三人共做零件 900 个 甲做总数的 30 乙比丙多做 三人各做多少个 1 3 例题例题 5 5 两个相同的瓶子装满酒精溶液 一个瓶中酒精与水的体积之比是 3 1 另一个瓶中酒 精与水的体积之比是 4 1 若把两瓶酒精溶液混合 混合液中酒精与水的体积之比是多少 思路导航思路导航 抓住两个瓶子相同的关系 分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几 再解答 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3 1 3 3 4 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4 1 4 4 5 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 3 4 4 5 31 20 水占一个瓶子容积的比 2 31 20 9 20 混合液中酒精与水的比 31 9 31 20 9 20 答 混合液中酒精与水的比是 31 9 练习练习 5 5 1 两块一样重的合金 一块合金中铜与锌的比是 2 5 另一块合金中铜与锌的比是 1 3 现将两块合金合成一块 求出锌合金中铜与锌的比 2 将一条公路平均分给甲 乙两个工程队修筑 甲队已修的与剩下的比是 2 1 乙队 已修的与剩下的比是 5 2 这条公路已修了全长的几分之几 3 光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的 照这样的速度计算 全年可超产 5 8 1000 台 这个工厂上半年生产电视机多少台 答案 答案 练练 1 1 1 4 5 8 2 4 5 9 3 6 35 14 练练 2 2 1 棉田 粮田 其他 21 6 1 21 6 1 28 粮田 61600 46200 公亩 21 28 棉田 61600 13200 公亩 6 28 其他 61600 2200 公亩 1 28 2 第一 二 三组人数的比是 15 12 8 15 12 8 15 15 12 8 105 人 3 科技组 作文组 数学组的人数的比是 9 10 14 69 9 14 14 10 12 人 练练 3 3 1 30 144 页 3 3 5 1 1 5 2 130 480 克 4 4 1 7 7 5 4 4 1 3 8 13 11 11 13 1 48 人 1 3 1 3 练练 4 4 1 一 二 三年级的比是 21 14 6 1 2 1 3 1 7 21 14 6 41 一年级 41 21 本 21 41 二年级 41 14 本 14 41 三年级 41 6 本 6 41 2 1 儿子 母亲 2 1 母亲 女儿 2 1 从儿子 母亲 女儿所得的比来看 三人所得遗产的比是 4 2 1 2 对立遗嘱人的愿望可解释为 他要给母亲至少留下 遗产 因此母亲应得 余 1 3 1 3 下的 按 4 1 分给儿子和女儿 儿子 母亲 女儿所得的比是 8 5 2 2 3 3 甲 900 30 270 个 1 3 4 乙 900 270 360 个 4 3 4 丙 900 270 360 270 个 练练 5 5 1 把一块合金的质量看作 1 铜一共是 2 5 2 1 1 3 15 28 锌一共是 2 15 28 41 28 新合金中铜与锌的比是 15 41 15 28 41 28 2 1 2 2 2 1 1 2 5 5 2 29 42 3 1000 2 1 2500 台 5 8 5 8 第十五周第十五周 比的应用 二 比的应用 二 专题简析 专题简析 比是反映数量关系的一种常见形式 也是解数学题的一种重要工具 有了它 我们处 理倍数关系 解答分数应用题就方便灵活得多 在这一讲 我们讲探讨稍复杂的比是应用 题 例题例题 1 1 甲 乙两个学生放学回家 甲要比乙多走甲 乙两个学生放学回家 甲要比乙多走 的路 而乙走的时间比甲少的路 而乙走的时间比甲少 求甲 求甲 1 1 5 5 1 1 1 11 1 乙两人速度的比 乙两人速度的比 思路导航思路导航 因为 速度 路程 时间 所以 甲 乙速度的比 甲路程 甲时间 乙路程 乙时间 1 甲 乙路程的比 1 1 6 5 1 5 2 甲 乙时间的比 1 1 11 10 1 11 3 甲 乙速度的比 12 11 6 11 5 10 答 甲 乙速度的比是 12 11 练习练习 1 1 1 小明和小芳各走一段路 小明走的路程比小芳多 小芳用的时间比小明多 求小 1 5 1 8 明和小芳速度的比 27 20 2 甲走的路程比乙多 乙用的时间比甲多 求甲 乙的速度比 5 3 1 3 1 4 3 一个人步行每小时走 5 千米 如果骑自行车每 1 千米比步行少用 8 分钟 这个人骑 自行车的速度和步行速度的比是多少 3 1 例题例题 2 2 制造一个零件 甲需制造一个零件 甲需 6 6 分钟 乙需分钟 乙需 5 5 分钟 丙需分钟 丙需 4 54 5 分钟 现在有分钟 现在有 15901590 个零件的个零件的 制造任务分配给他们三个人 要求在相同的时间内完成 每人应该分配到多少个零件 制造任务分配给他们三个人 要求在相同的时间内完成 每人应该分配到多少个零件 思路导航思路导航 先求出工作效率的比 然后根据同一时间内 工作总量的比等于工作效率的 比进行解答 甲 乙 丙工作效率的比 15 18 20 1 6 1 5 1 4 5 总份数 15 18 20 53 甲 1590 450 个 15 53 乙 1590 540 个 18 53 丙 1590 600 个 20 53 答 甲 乙 丙分配到的零件分别是 450 个 540 个 600 个 练习练习 2 2 1 加工一个零件 甲需 3 分钟 乙需 3 5 分钟 丙需 4 分钟 现在有 1825 个零件需要 甲 乙 丙三人加工 如果规定用同样的时间完成任务 那么各应加工多少个 700 600 525 2 甲 乙 丙三人在同一时间里共制造 940 个零件 甲制造一个零件需 5 分钟 比乙制 造一个零件所用的时间多 25 丙制造一个零件所用的时间比甲少 甲 乙 丙各 2 5 制造了多少个零件 240 300 400 3 加工某种零件要三道工序 专做第一 二 三道工序的工人每小时分别能完成零件 48 个 32 个 28 个 现有 118 名工人 要使每天三道工序完成的零件个数相同 每 道工序应安排多少工人 28 42 48 例题例题 3 3 两个服装厂一个月内生产服装的数量是两个服装厂一个月内生产服装的数量是 6 6 5 5 两厂西服价格的比是 两厂西服价格的比是 1111 1010 已知 已知 两厂这个月内总产值为两厂这个月内总产值为 69606960 万元 两厂的产值各是多少万元 万元 两厂的产值各是多少万元 思路导航思路导航 因为产值 价格 产量 所以 甲产值 乙产值 甲价格 甲产量 乙价格 乙产量 两厂的产值比为 11 6 10 5 66 50 甲厂产值为 6960 3960 元 66 66 50 乙厂产值为 6960 3000 元 50 66 50 答 两厂的产值分别是 3960 万元和 3000 万元 练习练习 3 3 1 甲 乙两个长方形长的比是 4 5 宽的比是 3 2 面积的和是 242 平方厘米 求甲 乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米 132 110 2 苹果和梨的单价的比是 6 5 王大妈买的苹果和梨的重量的比是 2 3 共花去 18 元 王大妈买苹果和梨各花了多少元 8 10 3 大 小两种苹果 其单价比是 5 4 重量比是 2 3 把两种苹果混合 成为 100 千 克的混合苹果 单价为每千克 4 40 元 大 小两种苹果原来每千克各是多少元 5 4 例题例题 4 4 A A B B 两种商品的价格比是两种商品的价格比是 7 7 3 3 如果它们的价格分别上涨 如果它们的价格分别上涨 7070 元 它们的价格比元 它们的价格比 就是就是 7 7 4 4 这两种商品原来的价格各是多少元 这两种商品原来的价格各是多少元 思路导航 解法一 解法一 因为 A B 两种商品涨价的数值相同 所以涨价后两种商品价格差不变 由于价格 差不变 所以价格差对应的份数也应该相同 原价格比 7 3 21 9 现价格比 7 4 28 16 这样前后项的差都是 12 价格涨了 28 21 7 份 是 70 元 70 28 21 10 元 A 10 21 210 元 B 10 9 90 元 解法二解法二 由于两种商品的价格差不变 选两种商品的价格差做单位 1 进行解答 1 原来 A 商品的价格是价格差的几倍 7 7 3 7 4 2 后来 A 商品的价格是价格差的几倍 7 7 4 7 3 3 A B 两种商品的价格差是 70 120 元 7 3 7 4 4 原来 A 商品的价格是 120 7 3 7 210 元 5 原来 B 商品的价格是 120 7 3 3 90 元 答 A B 两种商品原来的价格分别是 210 元和 90 元 练习练习 4 4 用两种思路解答下列应用题 1 甲 乙两个建筑队原有水泥重量的比是 4 3 甲队给乙队 54 吨水泥后 甲 乙两队 水泥重量的比是 3 4 原来甲队有水泥多少吨 216 2 甲书架上的书是乙书架上的 两书架上各增加 154 本后 甲书架上的书是乙书架上 4 7 的 甲 乙两书架上原来各有多少本书 56 98 5 6 兄弟两人 每年收入的比是 4 3 每年支出的比是 18 13 从年初到年底 他们都结余 720 元 他们每年的收入各是多少元 7200 5400 例题例题 5 5 如图是甲 乙 丙三地的线路图 已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是如图是甲 乙 丙三地的线路图 已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是 1 1 2 2 王刚以每小时 王刚以每小时 4 4 千米的速度从甲地步行到丙地 李华同时以每小时千米的速度从甲地步行到丙地 李华同时以每小时 1010 千米的速度从千米的速度从 乙地骑自行车去丙地 他比王刚早乙地骑自行车去丙地 他比王刚早 1 1 小时到达丙地 甲 乙两地相距多少千米 小时到达丙地 甲 乙两地相距多少千米 甲 丙 乙 思路导航思路导航 解法一解法一 根据路程的比和速度的比求出时间的比 从而求出王刚和李华所用的时间 再求 出各自所走的路程 王刚和李华所用时间的比 5 4 1 4 2 10 王刚所用的时间 1 5 4 5 5 小时 甲地到丙地的路程 4 5 20 千米 甲 乙两地的路程 20 1 2 60 千米 解法二解法二 如果李华每小时行 4 2 8 千米 他将与王刚同时到达丙地 现在他每小时多行 10 8 2 千米 在王刚从甲地到丙地的这段时间内 李华比应行的路程多行了 10 1 10 千米 据此 可求出王刚从甲地到丙地的时间 王刚从甲地到丙地的时间 10 1 10 4 2 5 小时 甲 乙两地的路程 4 5 1 2 60 千米 解法三 解法三 如果王刚每小时行 10 2 5 千米 就能和李华同时到达 由此可见 王刚走完 甲地到丙地的路程 用每小时 4 千米的速度和每小时 5 千米的速度相比 所用的 时间相差 1 小时 再根据 1 千米的路程 两种速度所用的时间相差 1 4 1 5 小时 最后求出甲地到丙地的路程 1 20 甲地到丙地的路程 1 20 千米 1 4 1 10 2 甲 乙两地的路程 20 1 2 60 千米 答 甲 乙两地相距 60 千米 练习练习 5 5 1 一辆汽车在甲 乙两站间行驶 往返一次共用去 4 小时 停车时间不算在内 汽车 去时每小时行 45 千米 返回时每小时行 30 千米 甲 乙两地相距多少千米 72 甲做 3000 个零件比乙做 2400 个零件多用 1 小时 甲 乙工作效率的比是 6 5 甲 乙 每小时各做多少个 乙 3000 2400 1 100 个 甲 120 5 6 2 下图是甲 乙 丙三地的路线图 已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的比是 2 3 一辆货车以每小时 40 千米的速度从甲地开往丙地 一辆客车同时以每小时 50 千米的速度从乙地开往丙地 客车比火车迟 1 小时到达丙地 求甲 乙两地的路程 500 甲 丙 乙 答案 答案 练练 1 1 1 小明与小芳路程的比是 1 1 6 5 1 5 小明与小芳时间的比是 1 1 8 9 1 8 小明与小芳速度的比是 27 20 6 8 5 9 2 甲 乙路程的比是 1 1 4 3 1 3 甲 乙时间的比是 1 1 1 4 5 1 4 甲 乙速度的比是 5 3 4 4 3 5 3 1 骑自行车每行 1 千米用的时间为 60 5 8 4 分钟 2 骑车与步行的速度的比是 5 3 1 60 4 练练 2 2 1 甲 乙 丙效率的比是 28 25 21 1 3 1 3 5 1 4 总份数 28 25 21 73 甲应加工的个数 1825 700 个 28 73 乙应加工的个数 1825 600 个 25 73 丙应加工的个数 1825 525 个 21 73 2 1 5 1 25 4 分钟 2 5 1 3 分钟 2 5 3 12 15 20 1 5 1 4 1 3 4 12 15 20 47 5 甲 940 240 个 12 47 乙 940 300 个 15 47 丙 940 400 个 20 47 3 1 14 21 24 1 48 1 32 1 28 2 14 21 24 59 3 第一道工序 118 28 名 14 59 第二道工序 118 42 名 21 59 第三道工序 118 48 名 24 59 练练 3 3 1 1 甲 乙两个长方形面积的比是 4 3 5 2 6 5 2 甲 乙两个长方形的面积分别是 甲 242 132 平方厘米 6