江苏省宜兴市2012届高三数学5月模拟卷苏教版

用心 爱心 专心1 20122012 年宜兴市高三数学模拟卷年宜兴市高三数学模拟卷 数学数学 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分 请把答案填写在答题卡相应位分 请把答案填写在答题卡相应位 置上 置上 1 已知集合 1 2 3A 0 2 3B 则AB 2 已知复数2zmi mR 若 1 1 z i 对应点在第二象限 则m的取值范围为 3 函数 1 1 x f x e 的定义域是 4 函数 32 31f xxx 的减区间为 5 若焦点在x轴上的椭圆 22 1 2 xy m 的离心率为 1 2 则m 6 某算法的伪代码如右 其输出的结果是 7 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆内投掷一点 若此点到圆心 的距离大于 1 2 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 1 4 则去打篮球 否则在家看 书 则小波周末不在家看书的概率为 8 函数 0 1 log0 9 c axbx f x xx 的图象如图所示 则abc 9 若二次函数 f x满足 22fxfx 且 01f aff 则实数a的取值范围是 10 设函数 3 32f xxx 若不等式 32sinfm 对于任意R 恒成立 则实数 m的取值范围是 11 如图 1 l 2 l 3 l是同一平面内的三条平行直线 1 l与 2 l间的 距离是1 2 l与 3 l间的距离是2 正三角形ABC的三顶点分别在 1 l 2 l 3 l上 则ABC 的边长是 12 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的 x358915 lgx 2ab ac 333ac 42ab 31abc 错误的一个的lgx的值应改正为 13 点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点 N是边BC的中点 则AN AM 的 最大值是 2 1 Ox y 0 1 100 1 2 2 S i While i SS i i ii End While Print S 用心 爱心 专心2 14 已知 a bR 且 22 3aabb 设 22 aabb 的最大值和最小值分别为M n 那么 Mm 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 ABC 的三个内角 A B C所对边分别为 a b c 向量 1 1m 3 coscos sinsin 2 nBCBC 且mn 求A的大小 现在给出下列三个条件 111a 22 2310cb 3345B 试从中再选择两个 条件以确定ABC 求出所确定的ABC 的面积 16 本小题满分 14 分 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是菱形 ACBDO 若ACPD 求证 AC 平面PBD 若平面PAC 平面ABCD 求证 PBPD 在棱PC上是否存在点M 异于点C 使得BM 平面PAD 若存在 求 PM PC 的值 若不存在 说明理由 17 本小题满分 14 分 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左 右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米 且2lr 假设该容器的建造 费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费 A B C D P 用心 爱心 专心3 用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c 3c 千元 设该容器的建造费用为y千元 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 求该容器的建造费用最小时的r 18 本小题满分 16 分 如图 已知椭圆 C 2 2 2 1 x y a 1a 的上顶点为A 离心率为 6 3 若不过点A的动直线 l与椭圆C相交于P Q 两点 且 0AP AQ 求椭圆C的方程 若直线 AP 的低利率为1 求直线 PQ 的方程 求证 直线l过定点 并求出该定点N的坐标 19 本小题满分 16 分 已知正项数列 n a的前n项和为 n S 且 1 2 nn n aS a nN 求证 数列 2 n S是等差数列 求解关于n的不等式 11 48 nnn aSSn 记数列 3 2 nn bS 12 111 n n T bbb 证明 131 1 21 n T nn A F P y Q l x O 用心 爱心 专心4 20 本小题满分 16 分 已知函数 yf x 的图像 如图所示 过点 0 2 1 5 2和点 2 0 且函数图像关于点 2 0对称 直线 1x 和3x 及0y 是它的渐近线 现要求根据给出的函 数图像研究函数 1 g x f x 的相关性质与图像 写出函数 yg x 的定义域 值域及单调递增区间 作函数 yg x 的大致图像 要充分反映由图像及条 件给出的信息 试写出 yf x 的一个解析式 并简述选择这个式子的理由 按给出理由的完整性及表 达式的合理 简洁程度分层给分 数学 附加题 21 选做题 从以下选做题 从以下 A A B B C C D D 四题中选择两题作答每题四题中选择两题作答每题 1010 分 分 A A 几何证明几何证明选讲选做题选讲选做题 已知PA是圆O O为圆心 的切线 切点为A PO交圆O于B C 两点 3AC PAB 300 求线段PB的长 科网 用心 爱心 专心5 B B 矩阵与变换矩阵与变换 设数列 n a n b满足 11 23 2 nnnnn aab bb 且满足 4 4 nn nn aa M bb 试 求二阶矩阵M C C 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 求直线 sin 4 2 被圆 4 截得的 弦长 D D 不等式不等式选讲选做题选讲选做题 已知a b c R 且a b c 2 a2 2b2 3c2 4 求a的取值范围 以下两题为必做题 每题以下两题为必做题 每题 1010 分 分 22 如图 正四棱柱ABCDA B C D 中 底面边长为 2 侧棱长为 3 E 为 BC 的中点 FG 分别为 CC DD 上的点 且 CF 2GD 2 求 C 到面 EFG 的距离 DA 与面 EFG 所成的角的正弦值 在直线 BB 上是否存在点 P 使得 DP 面 EFG 若 存在 找出点 P 的位置 若不存在 试说明理由 F G E D B A C CD AB 用心 爱心 专心6 23 如图 将圆分成n个区域 用3种不同颜色给每一个区域染色 要求相邻区域颜色互异 把不同的染色方法种数记为 n a 求 1234 a a a a及 n a与 1n a 2 n 的关系式 数列 n a的通项公式 n a 并证明 2 n an nN 2012 年宜兴市高三数学模拟卷答案 1 2 3 2 1 3 0 4 0 2 5 3 2 6 50 101 7 13 16 8 13 3 9 4a 或0a 10 4m 11 2 21 3 12 3abc 13 6 14 10 15 ABC 的三个内角 A B C的对边为 a b c 向量 1 1m 3 coscos sinsin 2 nBCBC 且mn 求A的大小 n 9 8 76 5 4 3 2 1 用心 爱心 专心7 现在给出下列三个条件 111a 22 2310cb 3345B 试从中再选择两个 条件以确定ABC 求出所确定的ABC 的面积 解析 I 因为mn 所以 3 coscossinsin0 2 BCBC 2 分 即 3 coscossinsin 2 BCBC 所以 3 cos 2 BC 4 分 因为ABC 所以cos cosBCA 所以 3 cos 30 2 AA 6 分 方案一 选择 可确定ABC 因为30 1 2 31 0Aacb 由余弦定理 得 222 31313 1 2 222 bbbb 整理得 2 62 2 2 2 bbc 10 分 所以 1162 131 sin2 22224 ABC SbcA 方案二 选择 可确定ABC 因为30 1 45 105AaBC 又 62 sin105sin 4560 sin45 cos60cos45 sin60 4 由正弦定理 sin1 sin10562 sinsin302 aC c A 所以 1162231 sin1 22224 ABC SacB 注意 选择 不能确定三角形 16 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是菱形 ACBDO 若ACPD 求证 AC 平面PBD 若平面PAC 平面ABCD 求证 PBPD 在棱PC上是否存在点M 异于点C 使得BM 平面PAD A B C D P 用心 爱心 专心8 若存在 求 PM PC 的值 若不存在 说明理由 解析 证明 因为 底面ABCD是菱形 所以 AC BD 因为 AC PD PD BDD 所以 AC 平面PBD 证明 由 可知AC BD 因为 平面PAC 平面ABCD 平面PAC 平面ABCD AC BD 平面ABCD 所以 BD 平面PAC 因为 PO 平面PAC 所以 BD PO 因为 底面ABCD是菱形 所以 BO DO 所以 PB PD 解 不存在 下面用反证法说明 假设存在点M 异于点C 使得BM 平面PAD 在菱形ABCD中 BC AD 因为 AD 平面PAD BC 平面PAD 所以 BC 平面PAD 11 分 因为 BM 平面PBC BC 平面PBC BC BMB 所以 平面PBC 平面PAD 13 分 而平面PBC与平面PAD相交 矛盾 14 分 17 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米 且2lr 假设该容器的建 造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方 米建造费用为c 3c 千元 设该容器的建造费用为y千 元 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 求该容器的建造费用最小时的r 解 设容器的容积为 V 由题意知V r2l 4 3 r3 又V 80 3 故l 4 3 3 2 Vr r 80 3 2r 4 3 r 4 3 20 2 r r 由于l 2r 因此 0 r 2 所以建造费用y 2 rl 3 4 r2c 2 r 4 3 20 2 r r 3 4 r2c 因此y 4 c 2 r2 160 r 0 r 2 2 由 1 得y 8 c 2 r 160 2r 8 2 2 c r 20 3 2 r c 0 r 2 用心 爱心 专心9 由于c 3 所以c 2 0 当r3 20 2c 0 时 r 3 20 2c 令3 20 2c m 则m 0 所以y 8 2 2 c r r m r2 rm m2 当 0 m 2 即c 9 2 时 当r m时 y 0 当r 0 m 时 y 0 当r m 2 时 y 0 所以r m是函数y的极小值点 也是最小值点 当m 2 即 3 c 9 2 时 当r 0 2 时 y 0 函数单调递减 所以r 2 是函数y的最小值点 综合所述 当 3 c 9 2 时 建造费用最小时r 2 当c 9 2 时 建造费用最小时r 3 20 2c 18 如图 已知椭圆 C 2 2 2 1 x y a 1a 的上顶点为A 离心率为 6 3 若不过点A的动直线 l与椭圆C相交于P Q 两点 且 0AP AQ 求椭圆C的方程 求证 直线l过定点 并求出该定点N的坐标 解依题意有 22 6 3 3 2 1 c a a c ac 故椭圆C的方程为 2 2 1 3 x Cy 4 分 1 2 y 6 分 解法 1 由 0 AP AQ 知 APAQ 从而直线AP与坐标轴不垂直 由 0 1 A 可设直线AP的方程为 1ykx 直线 AQ 的方程为 1 1 0 yxk k A F P y Q l x O 用心 爱心 专心10 将 1ykx 代入椭圆C的方程 2 2 1 3 x y 并整理得 22 1 3 60kxkx 解得 0 x 或 2 6 1 3 k x k 因此P的坐标为 2 22 66 1 1 31 3 kk kk 即 2 22 61 3 1 31 3 kk kk 将上式中的k换成 1 k 得Q 2 22 63 33 kk kk 9 分 直线l的方程为 22 2 22 22 22 31 3 63 31 3 66 33 31 3 kk kk kk yx kk kk kk 化简得直线l的方程为 2 11 42 k yx k 12 分 因此直线l过定点 1 0 2 N 14 分 解法 2 由题直线l的斜率存在 则可设直线l的方程为 ykxm 0 1 Al 1m 代入椭圆C的方程 2 2 1 3 x y 并整理得 222 1 3 63 1 0kxmkxm 设直线l与椭圆C相交于 11 P x kxm 22 Q x kxm 两点 则 12 x x 是上述关于 x的方程两个不相等的实数解 从而 22222 6 4 1 3 3 1 12 31 0mkkmkm 2 1212 22 63 1 1 31 3 mkm xxx x kk 7 分 由 0 AP AQ 得 22 12121212 1 1 1 1 1 0 x xkxmkxmkx xk mxxm 2 22 22 3 1 6 1 1 1 0 1 31 3 mmk kk mm kk 用心 爱心 专心11 整理得 2 210 mm 2 1 1 0 mm 由 1m 知 1 2 m 此时 2 9 41 0k 因此直线l过定点 1 0 2 N 14 分 19 已知正项数列 n a的前n项和为 n S 且 1 2 nn n aS a nN 求证 数列 2 n S是等差数列 求解关于n的不等式 11 48 nnn aSSn 记数列 3 2 nn bS 12 111 n n T bbb 证明 131 1 21 n T nn 解 n n n S a a2 1 nnn Saa21 2 当 2 n 时 nnnnn SSSSS 21 1 2 1 化简得 1 2 1 2 nn SS 由 1 1 1 2 1 a a a 得 2 1 2 1 1Sa 数列 2 n S 是等差数列 由 I 知 nnSn 1 1 2 又由 84 11 nSSa nnn 得 84 11 nSSSS nnnn 84 22 1 nSS nn 即 841 n 4 9 n 又 Nn 不等式的解集为 2 1 当 2 n 时 nnnn nn n nn nnnnnbn 1 1 1 1 11 1 1 2 11 nnn Tn 1 2 3 1 1 1 3 1 2 2 1 1 2 1 1 11 112 11 1 1 2 11 nnn nn n nn nnnnnbn 1 1 1 1 11 3 1 2 1 1 nnn hTn 用心 爱心 专心12 故 n T n n 1 2 3 1 1 1 20 已知函数 yf x 的图像 如图所示 过点 0 2 1 5 2和点 2 0 且函数图像关于点 2 0对称 直线1x 和3x 及0y 是它的渐近线 现要求根据给出的函数图像研究函数 1 g x f x 的相关性质与图像 写出函数 yg x 的定义域 值域及单调递增区间 作函数 yg x 的大致图像 要充分反映由图像及条件给出的信息 试写出 yf x 的一个解析式 并简述选择这个式子的理由 按给出理由的完整性及表 达式的合理 简洁程度分层给分 解 1 定义域为 1 2 3 x xxxxR 2 分 值域为 0 0 3 分 函数的单调递增区间为 1 2 和 2 3 5 分 2 图像要求能反映出零点 1 0 和 3 0 渐近线2x 过定点 单调性正确 5 分 用心 爱心 专心13 3 结论可能各异如 3 2 1 3 x f x xx 2 2 2 2 3 2 2 1 x x x f x x x x 2 1 1 2tan 13 2 2 3 3 x x f xxx x x 等 层次一 函数图像能满足题意 但没有说明理由 4 分 层次二 函数图像能满足题意 能简述理由 渐近线 定点等部分内容 6 分 层次三 函数图像能满足题意 能说明过定点 渐近线 单调性及对称性 9 分 21 A 解 由圆周角性质可知 ACB PAB 0 30 BC为直径 BAC 0 90 ABC 0 60 APB 0 30 PB AB PB 1 3 3 330tan 0 ACAB 学 10 分 B 解 依题设有 2 3 0 2 n n aa bb 3 分 令 2 3 0 2 A 4 MA 5 分 2 2 32 34 12 0 20 20 4 A 8 分 4 MA 2 2 A 4 12 0 4 4 12 0 4 16 96 0 16 10 分 C 解 直线方程可以化为2 20 xy 2 分 圆的方程可以化 16 22 yx 5 分 圆心到直线的距离为 2 2 2 d 2 8 分 直线被圆长截得的弦长 2 22 rd 34 10 分 D 解 由 3 1 2 1 32 5 6 1324 22222 cbcba 3 分 用心 爱心 专心14 F G E D B A C CD AB 5 6 2 5 6 22 acb 5 分 2 520a 446 2 aa 8 分 042411 2 aa 2 11 2 a 10 分 22 解 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系 则 E