2018初中数学竞赛勾股定理

初中数学竞赛专题选讲 勾股定理 一 内容提要一 内容提要 1 勾股定理及逆定理 ABC 中 C Rt a2 b2 c2 2 勾股定理及逆定理的应用 作已知线段 a 的 倍23 5 计算图形的长度 面积 并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等 3 勾股数的定义 如果三个正整数 a b c 满足等式 a2 b2 c2 那么这三个正整数 a b c 叫 做一组勾股数 4 勾股数的推算公式 罗士琳法则 罗士琳是我国清代的数学家 1789 1853 任取两个正整数 m 和 n m n 那么 m2 n2 2mn m2 n2是一组勾股数 如果 k 是大于 1 的奇数 那么 k 是一组勾股数 2 1 2 k 2 1 2 k 如果 k 是大于 2 的偶数 那么 k 是一组勾股数 1 2 2 K 1 2 2 K 如果 a b c 是勾股数 那么 na nb nc n 是正整数 也是勾股数 5 熟悉勾股数可提高计算速度 顺利地判定直角三角形 简单的勾股数有 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 二 例题二 例题 例 1 已知线段 a a a 2a 3a a 55 求作线段a a 5 分析一 a 2a 5 2 5a 22 4aa a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边 5 分析二 a 5 2 49 2 aa a 是以 3a 为斜边 以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边 5 作图 略 例 2 四边形 ABCD 中 DAB 60 B D Rt BC 1 CD 2 求对角线 AC 的长 解 延长 BC 和 AD 相交于 E 则 E 30 CE 2CD 4 2 1 D AB C E 在 Rt ABE 中 设 AB 为 x 则 AE 2x 根据勾股定理 x2 52 2x 2 x2 3 25 在 Rt ABC 中 AC 22 1 x1 3 25 21 3 2 例 3 已知 ABC 中 AB AC B 2 A 求证 AB2 BC2 AB BC 证明 作 B 的平分线交 AC 于 D 则 A ABD BDC 2 A C AD BD BC 作 BM AC 于 M 则 CM DM AB2 BC2 BM2 AM2 BM2 CM2 AM2 CM2 AM CM AM CM AC AD AB BC 例 4 如图已知 ABC 中 AD BC AB CD AC BD 求证 AB AC 证明 设 AB AC BD CD 分别为 b c m n 则 c n b m c b m n AD BC 根据勾股定理 得 AD2 c2 m2 b2 n2 c2 b2 m2 n2 c b c b m n m n c b c b m n c b c b c b m n c b 0 c b c b m n 0 c b m n c b 0 即 c b AB AC 例 5 已知梯形 ABCD 中 AB CD AD BC 求证 AC BD 证明 作 DE AC DF BC 交 BA 或延长线于点 E F ACDE 和 BCDF 都是平行四边形 DE AC DF BC AE CD BF 作 DH AB 于 H 根据勾股定理 AH FH 22 DHAD 22 DHDF AD BC AD DF AH FH EH BH DE BD 22 EHDH 2 BHDH DE BD 即 AC BD 例 6 已知 正方形 ABCD 的边长为 1 正方形 EFGH 内接于 ABCD AE a AF b 且 B C A D M c b n m A B C D j AB C D E F H A B C D F G H E SEFGH 3 2 求 的值 ab 2001 年希望杯数学邀请赛 初二 年希望杯数学邀请赛 初二 解 根据勾股定理 a2 b2 EF2 SEFGH 3 2 4S AEF SABCD SEFGH 2ab 3 1 得 a b 2 3 1 ab 3 3 三 练习三 练习 1 以下列数字为一边 写出一组勾股数 7 8 9 10 11 12 2 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值 252 242 52 122 22 158 22 15 25 3 ABC 中 AB 25 BC 20 CA 15 CM 和 CH 分别是中线和高 那么 S ABC CH MH 4 梯形两底长分别是 3 和 7 两对角线长分别是 6 和 8 则 S梯形 5 已知 ABC 中 AD 是高 BE AB BE CD CF AC CF BD 求证 AE AF 6 已知 M 是 ABC 内的一点 MD BC ME AC MF AB 且 BD BF CD CE 求证 AE AF 7 在 ABC 中 C 是钝角 a2 b2 bc 求证 A 2 B 8 求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数 用反证法 9 已知直角三角形三边长均为整数 且周长和面积的数值相等 求各边长 10 等腰直角三角形 ABC 斜边上一点 P 求证 AP2 BP2 2CP2 11 已知 ABC 中 A Rt M 是 BC 的中点 E F 分别在 AB AC ME MF 求证 EF2 BE2 CF2 12 Rt ABC 中 ABC 90 C 60 BC 2 D 是 AC 的中点 从 D 作 DE AC 0 5 A B C E F D E A B C M D F 与 CB 的延长线交于点 E 以 AB BE 为邻边作矩形 ABEF 连结 DF 则 DF 的长是 2002 年希望杯数学邀请赛 初二试题年希望杯数学邀请赛 初二试题 13 ABC 中 AB AC 2 BC 边上有 100 个不同的点 p1 p2 p3 p100 记 mi APi2 BPi PiC I 1 2 100 则 m1 m2 m100 1990 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题 练习题参考答案练习题参考答案 3 150 12 35 4 24 作 CE BD 交 AB 延长线 E 5 利用勾股定理证明 AE AF 的平方都等于 m2 n2 AD2 6 利用勾股定理 AE2 AF2 7 作 CD AB 于 D bc a2 b2 BD2 AD2 BD AD BD AD b BD AD 8 用反证法 设 a b c 都是奇数 那么 a2 b2 c2也都是奇数 a2 b2是偶数 而 c2是奇数 这与 a2 b2 c2相矛盾 故这种假设不能成立 a b c 中至少有一个数是偶数 9 正整数解有 222 2 1 cba abcba 13 10 10 13 12 8 6 5 5 6 8 12 c b a 答 各边长是 5 12 13