2016高考复习第九章 解析几何 9.5椭 圆

中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 9 5 椭椭 圆圆 1 椭圆的概念 在平面内与两定点 F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定 点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中 a 0 c 0 且 a c 为常数 1 若 a c 则集合 P 为椭圆 2 若 a c 则集合 P 为线段 3 若 ab 0 x2 a2 y2 b2 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 图形 范围 a x a b y b b x b a y a 对称性对称轴 坐标轴 对称中心 原点 顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 轴长轴 A1A2的长为 2a 短轴 B1B2的长为 2b 焦距 F1F2 2c 离心率 e 0 1 c a 性质 a b c 的关 系 c2 a2 b2 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点 F1 F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点 P 与两焦点 F1 F2构成 PF1F2的周长为 2a 2c 其中 a 为椭圆的长半轴长 c 为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率 e 越大 椭圆就越圆 4 方程 mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 2 已知椭圆的焦点在 y 轴上 若椭圆 1 的离心率为 则 m 的值是 x2 2 y2 m 1 2 A B C D 2 3 4 3 5 3 8 3 答案 D 解析 由题意知 a2 m b2 2 c2 m 2 e m 1 2 c2 a2 1 4 m 2 m 1 4 8 3 3 2013 广东 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F 1 0 离心率等于 则 C 的方程是 1 2 A 1B 1 x2 3 y2 4 x2 4 y2 3 C 1D 1 x2 4 y2 2 x2 4 y2 3 答案 D 解析 由题意知 c 1 e 所以 a 2 b2 a2 c2 3 故所求椭圆方程为 1 c a 1 2 x2 4 y2 3 4 如果方程 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆 那么实数 k 的取值范围是 答案 0 1 解析 将椭圆方程化为 1 x2 2 y2 2 k 焦点在 y 轴上 2 即 k0 0 kb 0 的两焦点为 F1 F2 以 F1F2为边作正三角形 若椭圆恰好平分 x2 a2 y2 b2 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 正三角形的另两条边 则椭圆的离心率为 答案 1 3 解析 设过左焦点 F1的正三角形的边交椭圆于 A 则 AF1 c AF2 c 有 2a 1 33 c e 1 c a 2 1 33 题型一 椭圆的定义及标准方程 例 1 1 已知圆 x 2 2 y2 36 的圆心为 M 设 A 为圆上任一点 且点 N 2 0 线段 AN 的 垂直平分线交 MA 于点 P 则动点 P 的轨迹是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 2 已知椭圆以坐标轴为对称轴 且长轴是短轴的 3 倍 并且过点 P 3 0 则椭圆的方程为 3 已知椭圆的中心在原点 以坐标轴为对称轴 且经过两点 P1 1 P2 632 则椭圆的方程为 思维启迪 1 题主要考虑椭圆的定义 2 题要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况 3 可以用待定系数法求解 答案 1 B 2 y2 1 或 1 x2 9 y2 81 x2 9 3 1 x2 9 y2 3 解析 1 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上 故 PA PN 又 AM 是圆的半径 PM PN PM PA AM 6 MN 由椭圆定义知 P 的轨迹是椭圆 2 若焦点在 x 轴上 设方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 椭圆过 P 3 0 1 即 a 3 32 a2 02 b2 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 又 2a 3 2b b 1 方程为 y2 1 x2 9 若焦点在 y 轴上 设方程为 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 椭圆过点 P 3 0 1 即 b 3 02 a2 32 b2 又 2a 3 2b a 9 方程为 1 y2 81 x2 9 所求椭圆的方程为 y2 1 或 1 x2 9 y2 81 x2 9 3 设椭圆方程为 mx2 ny2 1 m 0 n 0 且 m n 椭圆经过 P1 P2点 P1 P2点坐标适合椭圆方程 则Error Error 两式联立 解得Error Error 所求椭圆方程为 1 x2 9 y2 3 思维升华 1 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法 利用椭圆的定义定形状时 一定 要注意常数 2a F1F2 这一条件 2 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦 点所在位置 然后再根据条件建立关于 a b 的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有 两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为 mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 过点 且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为 35 y2 25 x2 9 2 已知 P 是椭圆 1 上一点 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 若 F1PF2 60 x2 100 y2 36 则 PF1F2的面积为 答案 1 1 2 12 y2 20 x2 43 解析 1 方法一 椭圆 1 的焦点为 0 4 0 4 即 c 4 y2 25 x2 9 由椭圆的定义知 2a 解得 a 2 3 0 2 5 4 2 3 0 2 5 4 2 5 由 c2 a2 b2可得 b2 4 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 所以所求椭圆的标准方程为 1 y2 20 x2 4 方法二 因为所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同 所以其焦点在 y 轴上 且 y2 25 x2 9 c2 25 9 16 设它的标准方程为 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 因为 c2 16 且 c2 a2 b2 故 a2 b2 16 又点 在所求椭圆上 所以 1 35 5 2 a2 3 2 b2 即 1 5 a2 3 b2 由 得 b2 4 a2 20 所以所求椭圆的标准方程为 1 y2 20 x2 4 2 根据椭圆的定义 得 PF1 PF2 20 在 PF1F2中 由余弦定理 得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos 60 256 2 得 PF1 PF2 48 S PF1F2 PF1 PF2 sin 60 12 1 23 题型二 椭圆的几何性质 例 2 1 在 Rt ABC 中 AB AC 1 如果一个椭圆通过 A B 两点 它的一个焦点为点 C 另一个焦点在 AB 上 求这个椭圆的离心率 2 如图 焦点在 x 轴上的椭圆 1 的离心率 e F A 分别 x2 4 y2 b2 1 2 是 椭圆的一个焦点和顶点 P 是椭圆上任意一点 求 的最大值和 PF PA 最小值 思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用 解题 1 的关键是根据题意求出 a c 的 值 解题 2 的关键是表示出 根据椭圆的性质确定变量的取值范围 PF PA 解 1 设椭圆的焦半径为 c 设另一个焦点为 F 如图所示 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 AB AC 1 ABC 为直角三角形 1 1 4a 则 a 2 2 2 4 设 FA x Error Error x 1 2 4c2 c e 2 2 2 2 6 4 c a63 2 设 P 点坐标为 x0 y0 由题意知 a 2 e c 1 b2 a2 c2 3 c a 1 2 所求椭圆方程为 1 x2 4 y2 3 2 x0 2 y0 33 又 F 1 0 A 2 0 1 x0 y0 PF 2 x0 y0 PA x x0 2 y x x0 1 x0 2 2 PF PA 2 02 0 1 4 2 0 1 4 当 x0 2 时 取得最小值 0 PF PA 当 x0 2 时 取得最大值 4 PF PA 思维升华 1 求椭圆的离心率的方法 直接求出 a c 来求解 e 通过已知条件列方程组 解出 a c 的值 构造 a c 的齐次式 解出 e 由已知条件得出关于 a c 的二元齐次方程 然后转化为关于 离心率 e 的一元二次方程求解 通过取特殊值或特殊位置 求出离心率 2 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式 例如 a x a b y b 0 eb 0 的一个顶点为 B 0 4 离心率 e 直线 l 交椭圆于 x2 a2 y2 b2 5 5 M N 两点 1 若直线 l 的方程为 y x 4 求弦 MN 的长 2 如果 BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F 求直线 l 方程的一般式 思维启迪 直线与圆锥曲线的关系问题 一般可以直接联立方程 设而不求 把方程组转 化成关于 x 或 y 的一元二次方程 利用根与系数的关系及弦长公式求解 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 解 1 由已知得 b 4 且 即 c a 5 5 c2 a2 1 5 解得 a2 20 a2 b2 a2 1 5 椭圆方程为 1 x2 20 y2 16 则 4x2 5y2 80 与 y x 4 联立 消去 y 得 9x2 40 x 0 x1 0 x2 40 9 所求弦长 MN x2 x1 1 12 40 2 9 2 椭圆右焦点 F 的坐标为 2 0 设线段 MN 的中点为 Q x0 y0 由三角形重心的性质知 2 BF FQ 又 B 0 4 2 4 2 x0 2 y0 故得 x0 3 y0 2 即得 Q 的坐标为 3 2 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x1 x2 6 y1 y2 4 且 1 1 x2 1 20 y2 1 16 x2 2 20 y2 2 16 以上两式相减得 0 x1 x2 x1 x2 20 y1 y2 y1 y2 16 kMN y1 y2 x1 x2 4 5 x1 x2 y1 y2 4 5 6 4 6 5 故直线 MN 的方程为 y 2 x 3 6 5 即 6x 5y 28 0 思维升华 1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆 方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问 题常常用 点差法 解决 往往会更简单 2 设直线与椭圆的交点坐标为 A x1 y1 B x2 y2 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 则 AB 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 k 为直线斜率 1 1 k2 y1 y2 2 4y1y2 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 已知椭圆 G 1 a b 0 的离心率为 右焦点为 2 0 斜率为 1 x2 a2 y2 b2 6 32 的直线 l 与椭圆 G 交于 A B 两点 以 AB 为底边作等腰三角形 顶点为 P 3 2 1 求椭圆 G 的方程 2 求 PAB 的面积 解 1 由已知得 c 2 解得 a 2 2 c a 6 33 又 b2 a2 c2 4 所以椭圆 G 的方程为 1 x2 12 y2 4 2 设直线 l 的方程为 y x m 由Error Error 消去 y 得 4x2 6mx 3m2 12 0 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1b 0 的左焦点为 x2 a2 y2 b2 F1 上顶点为 B2 右顶点为 A2 过点 A2作 x 轴的垂线交直线 F1B2于 点 P 若 PA2 3b 则椭圆 C 的离心率为 2 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 c 0 x2 a2 y2 b2 F2 c 0 若椭圆上存在点 P 使 则该椭圆的离心率的取值范围为 a sin PF1F2 c sin PF2F1 思维启迪 椭圆的离心率利用方程思想 只需利用题目条件得到 a b c 的一个关系式即可 若 得到的关系式含 b 可利用 a2 b2 c2转化为只含 a c 的关系式 解析 1 由题设知 B2O PA2 F1O F1A2 b 3b e c a c 1 3 1 2 2 依题意及正弦定理 得 注意到 P 不与 F1F2共线 PF2 PF1 a c 即 PF2 2a PF2 a c 1 1 2a PF2 c a 2a PF2 c a 2a a c 即 e 1 e 1 2 2 2 1 e 又 0 e 1 因此 1 eb 0 上点的坐标为 P x y 时 则 x a 这往往在 x2 a2 y2 b2 求与点 P 有关的最值问题中特别有用 也是容易被忽略而导致求最值错误的原因 A 组 专项基础训练 时间 40 分钟 一 选择题 1 已知椭圆 C 的短轴长为 6 离心率为 则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 4 5 A 9B 1 C 1 或 9D 以上都不对 答案 C 解析 Error Error 解得 a 5 b 3 c 4 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 a c 9 或 a c 1 2 设 F1 F2分别是椭圆 1 的左 右焦点 P 为椭圆上一点 M 是 F1P 的中点 x2 25 y2 16 OM 3 则 P 点到椭圆左焦点的距离为 A 4B 3C 2D 5 答案 A 解析 由题意知 OM PF2 3 1 2 PF2 6 PF1 2 5 6 4 3 已知椭圆 1 的焦距为 4 则 m 等于 x2 10 m y2 m 2 A 4B 8 C 4 或 8D 以上均不对 答案 C 解析 由Error Error 得 2 mb 0 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦点分别是 x2 a2 y2 b2 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 A B C D 2 1 4 5 5 1 25 答案 B 解析 由题意知 AF1 a c F1F2 2c F1B a c 且三者成等比数列 则 F1F2 2 AF1 F1B 即 4c2 a2 c2 a2 5c2 所以 e2 所以 e 1 5 5 5 5 已知圆 M x2 y2 2mx 3 0 m 0 的半径为 2 椭圆 C 1 的左焦点为 F c 0 x2 a2 y2 3 若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切 则 a 的值为 A B 1 C 2D 4 3 4 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 答案 C 解析 圆 M 的方程可化为 x m 2 y2 3 m2 则由题意得 m2 3 4 即 m2 1 mb 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 焦距为 2c 若直线 y x2 a2 y2 b2 x c 与椭圆 的一个交点 M 满足 MF1F2 2 MF2F1 则该椭圆的离心率等于 3 答案 1 3 解析 由直线方程为 y x c 3 知 MF1F2 60 又 MF1F2 2 MF2F1 所以 MF2F1 30 MF1 MF2 所以 MF1 c MF2 c 3 所以 MF1 MF2 c c 2a 3 即 e 1 c a3 7 已知椭圆 1 a b 0 的离心率等于 其焦点分别为 A B C 为椭圆上异于长轴端 x2 a2 y2 b2 1 3 点的任意一点 则在 ABC 中 的值等于 sin A sin B sin C 答案 3 解析 在 ABC 中 由正弦定理得 因为点 C 在椭圆上 所以由椭 sin A sin B sin C CB CA AB 圆定义知 CA CB 2a 而 AB 2c 所以 3 sin A sin B sin C 2a 2c 1 e 8 椭圆 y2 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P 为椭圆上一动点 若 F1PF2为钝角 x2 4 则点 P 的横坐标的取值范围是 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 答案 2 6 3 2 6 3 解析 设椭圆上一点 P 的坐标为 x y 则 x y x y F1P 3 F2P 3 F1PF2为钝角 0 F1P F2P 即 x2 3 y2 0 y2 1 代入 得 x2 3 1 0 x2 4 x2 4 x2 2 x2 3 4 8 3 解得 xb 0 的离心率为 其中左焦点 F 2 0 x2 a2 y2 b2 2 2 1 求椭圆 C 的方程 2 若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A B 且线段 AB 的中点 M 在圆 x2 y2 1 上 求 m 的值 解 1 由题意 得Error Error 解得Error Error 椭圆 C 的方程为 1 x2 8 y2 4 2 设点 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 线段 AB 的中点为 M x0 y0 由Error Error 消去 y 得 3x2 4mx 2m2 8 0 96 8m2 0 2 mb 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P a b 满足 PF2 F1F2 x2 a2 y2 b2 1 求椭圆的离心率 e 2 设直线 PF2与椭圆相交于 A B 两点 若直线 PF2与圆 x 1 2 y 2 16 相交于 3 M N 两点 且 MN AB 求椭圆的方程 5 8 解 1 设 F1 c 0 F2 c 0 c 0 因为 PF2 F1F2 所以 2c a c 2 b2 整理得 2 2 1 0 解得 1 舍 或 c a c a c a c a 1 2 所以 e 1 2 2 由 1 知 a 2c b c 3 可得椭圆方程为 3x2 4y2 12c2 直线 PF2的方程为 y x c 3 中小学一对一课外辅导专家中小学一对一课外辅导专家 A B 两点的坐标满足方程组Error Error 消去 y 并整理 得 5x2 8cx 0 解得 x1 0 x2 c 8 5 得方程组的解Error Error Error Error 不妨设 A c c B 0 c 8 5 3 3 53 所以 AB c 8 5c 2 3 3 5 c 3c 2 16 5 于是 MN AB 2c 5 8 圆心 1 到直线 PF2的距离 3 d 3 3 3c 2 3 2 c 2 因为 d2 2 42 MN 2 所以 2 c 2 c2 16 3 4 整理得 7c2 12c 52 0 得 c 舍 或 c 2 26 7 所以椭圆方程为 1 x2 16 y2 12 B 组 专项能力提升 时间 30 分钟 1 2013 四川 从椭圆 1 a b 0 上一点 P 向 x 轴作垂线 垂足恰为左焦点 F1 A 是椭 x2 a2 y2 b2 圆与 x 轴正半轴的交点 B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点 且 AB OP O 是坐标原点 则 该椭圆的离心率是 A B C D 2 4 1 2 2 2 3 2 答案 C 解析 由题意可设 P c y0 c 为半焦距 kOP kAB