(0.7)《信号分析与处理》备课教案(第三章)(3)

信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦104 上次课的回顾 上次课的回顾 着重讲解了傅立叶变换的八个性质 通过灵活利用性质 着重讲解了傅立叶变换的八个性质 通过灵活利用性质 不仅能够加深理解傅立叶变换的本质 同时也可以大大简化不仅能够加深理解傅立叶变换的本质 同时也可以大大简化 计算 在对性质进行分析和解释的基础上 用较多的例题予计算 在对性质进行分析和解释的基础上 用较多的例题予 以说明和印证 以说明和印证 需要注意的是 灵活运用性质的前提是必须牢记典型和需要注意的是 灵活运用性质的前提是必须牢记典型和 常用信号的傅立叶变换 常用信号的傅立叶变换 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦105 3 4 3 4 卷积定理卷积定理 卷积定理是傅立叶变换的另一个重要特性 在信号与系卷积定理是傅立叶变换的另一个重要特性 在信号与系 统的分析中占有很重要的地位 这个特性是以时域卷积和频统的分析中占有很重要的地位 这个特性是以时域卷积和频 域卷积两个定理的形式表现出来的 域卷积两个定理的形式表现出来的 一 时域卷积定理一 时域卷积定理 如果如果 那么那么 例例1 1 如图所示系统冲激响应 如图所示系统冲激响应及激励输入及激励输入的波形 试的波形 试 th te 利用傅立叶变换的时域卷积定理 求在利用傅立叶变换的时域卷积定理 求在作用下系统的零状作用下系统的零状 te 态响应态响应 tr 解 根据信号的时域分析理论 系统的零状态响应解 根据信号的时域分析理论 系统的零状态响应应为 应为 tr thtetr 直接按时域求卷积的方法 可得 直接按时域求卷积的方法 可得 式式 3 4 1 3 4 1 2 0 2 2 1 2 2 t t t A tr 如果令如果令的傅氏变换为的傅氏变换为 即 即 tr jR trFjR 由于 由于 2 2 a SAtAgFteFjE 2 2 a SAtAgFthFjH 所以 根据傅立叶变换的时域卷积定理 有 所以 根据傅立叶变换的时域卷积定理 有 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦106 2 2 2 22 aaa SASASA jHjEthteFtrFjR 则有 则有 1 jRFtr 查教材查教材P89P89页表页表3 23 2 通过简单换算即得 通过简单换算即得如式如式 3 4 1 3 4 1 tr 下图表明了时域卷积定理 及时域与频域对应的运算关系 下图表明了时域卷积定理 及时域与频域对应的运算关系 例例2 2 已知函数 已知函数的傅立叶变换为的傅立叶变换为 求 求 tf 2 sin 2 F tf 解 令解 令 则 则 2sin 2 a SP 2 PPPF 因为因为的原函数的原函数为宽度为宽度 高度为 高度为1 1的矩形脉的矩形脉 P tp2 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦107 冲冲 即 即 2 tg 2 tgtp 2 a S 根据傅立叶变换的时域卷积定理 有 根据傅立叶变换的时域卷积定理 有 tfFFtptPFPP 所以 所以 22 tgtgtptptf 对照对照例例 1 1 的的式式 3 4 1 3 4 1 可得 可得 2 0 2 2 1 2 22 t t t tgtgtf 图形如右图所示 图形如右图所示 tf 二 频域卷积定理二 频域卷积定理 如果如果 那么那么 其中 其中 duuFuFjFjF 2121 例例 3 3 如图所示余弦函数 如图所示余弦函数 以及矩 以及矩 cos 01 t tAtf 形脉冲函数形脉冲函数 试求 试求的频谱函数的频谱函数 22 tgtf 21 tftftf jF 解 根据频域卷积定理 可得 解 根据频域卷积定理 可得 2 1 2121 jFjFtftfFtfFjF tf 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦108 因为因为 cos 0001 AAtAFjF 2 22 a StgFjF 所以所以 2 2 1 2 1 00 00 21 aa a SASA SA jFjFjF 时域与频域对应的运算关系如下图所示 时域与频域对应的运算关系如下图所示 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦109 例例4 4 试求 试求的频谱函数的频谱函数 2 sin t t tf jF 解 因为 解 因为 所以 所以tttSasin 2 tStf a 又因 又因 2 2 a S tg 对称性对称性 2tSa 2 2 2 22 ggf 线性特性线性特性 tSa 2 g 根据频域卷积定理 可得 根据频域卷积定理 可得 2 2 1 2 1 2222 2 gggg tSFtSFtStSFtSFtfFjF aaaaa 实际上 对照实际上 对照例例 1 1 的的式式 3 4 1 3 4 1 可得 可得 2 0 2 2 1 2 22 gg 所以 所以 2 0 2 2 1 2 22 ggjF 频谱图如右图所示 频谱图如右图所示 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦110 3 5 3 5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 一 正 余弦的傅里叶变换一 正 余弦的傅里叶变换 二 一般周期信号的傅里叶变换二 一般周期信号的傅里叶变换 设有一个周期函数设有一个周期函数 周期为 周期为 角频率为 角频率为 tfTT 或或 则其傅立叶变换存在 具体如下式 则其傅立叶变换存在 具体如下式 f 2 T 2 所示 所示 3 5 0 3 5 0 上述式子表明上述式子表明 周期信号的傅立叶变换 周期信号的傅立叶变换 频谱密度频谱密度 由无由无 穷多个冲激函数组成 这些冲激函数位于信号的各谐波频率穷多个冲激函数组成 这些冲激函数位于信号的各谐波频率 处 其强度等于傅立叶复系数的处 其强度等于傅立叶复系数的倍 倍 2 1 0 n n 2 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦111 例如 对于如图所示的例如 对于如图所示的周期性周期性脉冲函数脉冲函数 其周期为 其周期为 tf 1 T 角频率角频率 则可求得其傅立叶复系数 则可求得其傅立叶复系数及傅立叶变换的及傅立叶变换的 1 2 T n F 频谱函数频谱函数如下 如下 jF 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 n S T E dteE T dtetf T F a tjn T T tjn n 当当 可得到频谱的各次谐波谱线 可得到频谱的各次谐波谱线 2 1 0 n n a n a n n n n SE n n S T E nFtfFjF 2 2 2 2 1 同样令同样令 得到傅立叶变换的频谱图 得到傅立叶变换的频谱图 2 1 0 n 由图中可见 由图中可见 和和在图形上具有相同的包络线 在图形上具有相同的包络线 n F jF 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦112 且都是离散频谱 但它们之间也有明显的区别 傅立叶复系且都是离散频谱 但它们之间也有明显的区别 傅立叶复系 数数代表了各频谱分量的幅度 它们是有限值 而傅立叶变代表了各频谱分量的幅度 它们是有限值 而傅立叶变 n F 换的频谱函数换的频谱函数则代表频谱密度 它们是位于则代表频谱密度 它们是位于处的冲处的冲 jF n 激函数 其强度为激函数 其强度为 n F 2 例例1 1 周期信号 周期信号如图所示 求其傅立叶变换如图所示 求其傅立叶变换 tf jF 解 解 由图中可知 信由图中可知 信 号号的周期的周期 tf4 T 则其角频率为 则其角频率为 24 22 T 则 则 22 1 1 4 1 11 1 2 2 2 1 1 2 n S dtedtetf T F a tjn T T tjn n 所以 所以 n a n a n n nn S nn S nFtfFjF 2 2 2 22 1 2 2 另外 如果一个周期为另外 如果一个周期为 角频率为 角频率为的周期性信号的周期性信号 T tf 其傅立叶级数存在 且为 其傅立叶级数存在 且为 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦113 其中 其中 3 5 1 3 5 1 n tjn ne Ftf dtetf T F T T tjn n 2 2 1 如果从该信号中截取一个周期 可得到一个非周期信号如果从该信号中截取一个周期 可得到一个非周期信号 那么其傅立叶变换与 那么其傅立叶变换与的傅立叶级数之间的关系是的傅立叶级数之间的关系是 0 tf tf 怎么样呢 怎么样呢 因为 因为 3 5 2 3 5 2 dtetfdtetf dtetftfFjF T T tj T T tj tj 2 2 2 2 0 000 比较式比较式 3 5 1 3 5 1 和式和式 3 5 2 3 5 2 可得 可得 3 5 3 3 5 3 n n jF T F 1 0 例例2 2 已知 已知 周期函数 周期函数与函数与函数有如下有如下 11 tfFF 2 tf 1 tf 图所示的关系 求图所示的关系 求 22 tfFF 解 由图中可见 解 由图中可见 为周期函数 且其周期为周期函数 且其周期 角频率 角频率 2 tf2 T 则截取一个周期之内的信号可以用下式表示 则截取一个周期之内的信号可以用下式表示 T 2 110 tftftf 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦114 对该式两边进行傅立叶变换可得 对该式两边进行傅立叶变换可得 110 FFF 则由式则由式 3 5 3 3 5 3 可得 可得 2 1 1 110 FFF T Fn 所以 所以 n n nn n nnFnF nFFnFF 2 11 112 3 6 3 6 抽样信号的傅里叶变换与取样定理抽样信号的傅里叶变换与取样定理 抽样信号抽样信号 就是从一连续信号就是从一连续信号中 每隔一定时间中 每隔一定时间 tf 间隔抽取一个样本数值 所得到的一系列样本值构成的序列 间隔抽取一个样本数值 所得到的一系列样本值构成的序列 抽取样本的过程称之为抽取样本的过程称之为 抽样抽样 或或 取样取样 采样采样 抽样过程可以在时域中进行 也可以在频域中进行 在解决抽样过程可以在时域中进行 也可以在频域中进行 在解决 许多实际技术问题的过程中 常需要对连续信号进行抽样 许多实际技术问题的过程中 常需要对连续信号进行抽样 而后变成抽样信号来处理 随着数字技术及计算机科学的迅而后变成抽样信号来处理 随着数字技术及计算机科学的迅 速发展 连续信号的抽样问题具有越来越重要的意义 速发展 连续信号的抽样问题具有越来越重要的意义 抽样定理抽样定理论述了在一定条件下 一个连续信号完全可以论述了在一定条件下 一个连续信号完全可以 用用离散样本值离散样本值表示 这些样本值包含了该连续表示 这些样本值包含了该连续信号的全部信信号的全部信 息 利用这些样本值可以恢复原信号 息 利用这些样本值可以恢复原信号 可以说 抽样定理可以说 抽样定理在在 连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁 为其互为转换提 为其互为转换提 供了理论依据 供了理论依据 本节的重点是时域抽样和时域抽样定理 本节的重点是时域抽样和时域抽样定理 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦115 一 信号的抽样一 信号的抽样 所谓所谓 抽样抽样 就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列从从连续信号连续信号 ts 中中 抽取抽取 一系列一系列离散样本值离散样本值的过程 这样得到的离散的过程 这样得到的离散 tf 信号称为信号称为抽样抽样信号信号 冲激抽样冲激抽样 若若是周期为是周期为的冲激函数序列的冲激函数序列 则这样对连续 则这样对连续 ts s T t s T 信号信号进行抽样 称之为进行抽样 称之为冲激抽样冲激抽样 tf 即 即 n sT nTtts s 由于由于是周期函数 则其傅立叶变换为 是周期函数 则其傅立叶变换为 ts 其中 其中 n sn nStsFS 2 s s T 2 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦116 又由于又由于在在中为中为 根据冲激函数性 根据冲激函数性 s T ts 2 2 SS TT t 质 有 质 有 所以所以 s T T tjn s n T dtet T S s s s 1 1 2 2 n s sn sn n T nStsFS 2 2 如果连续信号如果连续信号是带限信号 即是带限信号 即的频谱只在区间的频谱只在区间 tf tf 为有限值 而在其余区间数值为为有限值 而在其余区间数值为0 0 mm 则因为 则因为 tstftfs 所以 所以 n s sn s s n sn s ss nF T nF T nS T F SFtstfFtfFF 1 1 2 2 1 2 1 根据上述分析和图形 可以看出原信号根据上述分析和图形 可以看出原信号的频谱的频谱 tf F 与经与经抽样后的抽样信号抽样后的抽样信号的频谱的频谱之间的关系 之间的关系 ts tfs s F 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦117 1 1 在 在中保留了中保留了 形状上维持不变 形状上维持不变 s F F 2 2 与与两者在幅度上只相差一个系数两者在幅度上只相差一个系数 s F F s T1 上面在画取样信号上面在画取样信号的频谱时 设定的频谱时 设定 这时其这时其 tfs ms 2 频谱频谱不发生混叠不发生混叠 因此能设法从 因此能设法从中取出中取出 即 即从从 s F F 中恢复原始信号中恢复原始信号 否则 否则将发生将发生 频谱混叠频谱混叠 现象 现象 tfs tf 而无法恢复而无法恢复原始信号原始信号 tf 二 时域取样定理二 时域取样定理 如果抽样间隔如果抽样间隔不够小 以至达到不够小 以至达到 则在频谱 则在频谱 s T ms 2 以以为周期进行重复的为周期进行重复的频谱图上 将会发生频谱图上 将会发生 F s s F 重叠现象 具体如下图所示 因此 从重叠现象 具体如下图所示 因此 从中取出的中取出的 F s F 任一个周期都是失真了的任一个周期都是失真了的 当然也就无法据此恢复出原 当然也就无法据此恢复出原 F 信号信号 tf 信号分析与处理信号分析与处理 教案教案 第三章 傅里叶变换第三章 傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系上海大学机自学院自动化系 朱晓锦朱晓锦11