2015新课标1理

2015 新课标 1 一 选择题 12 5 1 设复数 z 满足 则 1 1 z i z z A 1 B C 23 D 2 解析 由得 1 1 z i z 1 11 1 111 i ii zz iii 知识点 共轭复数的模 2 sin20 cos10 cos160 sin10 A B C D 3 2 3 2 1 2 1 2 解析 由 1 in sincoscossin cos sin30 2 及cos得原式 3 设命题 则为 2 2npnN n p A B C D 2 2nnN n 2 2nnN n 2 2nnN n 2 2nnN n 解析 根据特称命题的否定为全称命题 故选 C 4 投篮测试中 每人投 3 次 至少投中 2 次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概率为 0 6 且 各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为 A 0 648 B 0 432 C 0 36 D 0 312 解析 故选 A 223 3 0 60 60 4320 2160 648PC 5 已知是双曲线 C 上一点 是 C 的两个焦点 若 则 00 M xy 2 2 1 2 x y 12 F F1 2 0MFMF 的取值范围是 0 y A B C D 33 33 33 66 2 2 2 2 33 2 3 2 3 33 解析 22 00 2 2 120 20 0 222 1200 3 1 0 3 3 1 2 133 03 333 xy MFMFM x y MFMFMxyyy A 若则点在以原点为圆心 半焦距c 得y 如图易知点在圆的内部从而即 故选 8 6 4 2 2 4 6 8 105510 1 i 1 i1 i 10 8 6 4 2 2 4 6 151055 F1F2 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周 八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四 分之一 米堆底部的弧长为 8 尺 米堆的高为 5 尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知 1 斛 米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算堆放的米约有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 解析 2 116 28 4 11320 522 433 RR R B 由得 从而V 故选 7 设 D 为 ABC 所在平面内一点 则3BCCD A B 14 33 ADABAC 14 33 ADABAC C D 41 33 ADABAC 41 33 ADABAC 解析 44 33 14 33 ADABBDABBCCDABBCABACAB ABACA 故选 8 函数的部分图象如图所示 则的单调递减区间为 cosf xx f x A B 13 44 kkkZ 13 2 2 44 kkkZ C D 13 44 kkkZ 13 2 2 44 kkkZ 解析 如图 51 1 2 244 T TD 所以易知选1 5 4 1 4 0 y x 9 执行下面的程序框图 如果输入的 t 0 01 则输出的 n A 5 B 6 C 7 D 8 解析 1111 1 2422 nn S N 7 此时 不满足 S t 结束循环 输出 n 7 故选 C 10 的展开式中 的系数为 5 2 xxy 52 x y A 10 B 20 C 30 D 60 解析 53 22522252 5 5221 53 30 xxyxxyxxyx y yC CC 的展开式中只有C中含有 易知x的系数为故选 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为 r 组成一个几何体 该几何体三视图中的正视图和 俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 16 20 则 r A 1 B 2 C 4 D 8 一 一 一 2r r 解析 该几何体直观图如图所示 其表面积 S 为 22 222 2 2222542016 222 2 rrr rrrrrr rB 故选 12 设函数 其中 若存在唯一的整数 使得0 n S n a n a 2 243 nnn aaS 求的通项公式 n a 设 求数列 的前 n 项和 n b 1 1 nn a a n b 解 22 111 22 111 22 1111 1 2 1111 243243 24 2 2 243 3 0 21 nnnnnn nnnnn nnnnnnnn nn n n aaSaaS aaaaa aaaaaaaa aa aaaaa an 由可知 相减可得即 由已知得 裂项相减法 n b 1 1 nn a a 1111 21232 2123nnnn 设数列 的前 n 项和为 则 n b n T 12 1111111 235572123 nn Tbbb nn 3 23 n n 18 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为菱形 ABC 120 E F 是平面 ABCD 同一侧两点 BE 平面 ABCD DF 平面 ABCD BE 2DF AE EC 证明 平面 AEC 平面 AFC 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 解析 设 GB 1 则 AG 3 由 EAC 是等腰直角三角形 得 EG AE 36 在 Rt AEB 中 BE 从而 DF FG EF 2 2 2 6 2 3 2 2 由 所以 EG FG 222 EGFGEF 易知 EGF 是二面角的平面角 从而平面 AEC 平面 AFC 如图建立空间坐标系 由 可得 A 0 0 E 1 0 F 1 0 32 2 2 C 0 0 1 1 3AE 32CF 3 2 2 故 cos AE CF 3 3 AE CF AECF 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 3 3 19 本小题满分 12 分 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费 x 单位 千元 对年销售量 y 单位 ton 和年利润 z 单位 千元 的影响 对近 8 年的宣传费和年销售量 i 1 2 8 数 i x i y 据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 一 一 一 一 t 一 一 一 一 一 一 56 54 525048 4446 4240383634 620 600 580 560 540 520 500 480 G D A B C G D A B C E F G D C B A x y z E F xyw 8 2 1 i i xx 8 2 1 i i ww 8 1 ii i xxyy 8 1 ii i wwyy 46 656 36 8289 81 61469108 8 表中 i w i xw 8 1 1 8 i i w 根据散点图判断 与哪个适宜作为年销售量 y 关于宣传费 x 的回归方yabx ycdx 程类型 给出判断即可 不必说明理由 根据 的判断结果及表中数据 建立 y 关于 x 的回归方程 已知这种产品的年利润 z 与 x y 的关系为 z 0 2y x 根据 的结果回答下列问题 年宣传费 x 49 时 年销售量及年利润的预报值是多少 年宣传费 x 为何值时 年利润的预报值最大 附 对于一组数据 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估 1122 nn u vu vu v vu 计分别为 A 1 2 1 n ii i n i i uuvv uu AA vu 解析 由散点图可以判断 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 ycdx 8 1 8 2 1 108 8 68 1 6 563686 8100 6 100 668 100 668 ii i i i xy yy d cyd y yxyx AA A 令先建立关于的线性回归方程 由于 所以y关于的线性回归方程为 因此关于的回归方程为 由 当 x 49 时 年销售量 y 的预报值 576 6 100 668 49y 年利润 z 的预报值 0 20 2 100 668 13 620 12 13 6 6 8 46 24 2 46 24 zyxxx xx xxz 所以当即时取得最大值 故年宣传费为千元时年利润的预报值最大 20 本小题满分 12 分 2 xOyC 0 4 x lykxa aM N OPMOPN 在直角坐标系中 曲线 y 与直线交于两点 当k 0时 分别求C 在点M 和N 处的切线方程 y轴上是否存在点P 使得当k变动时 总有说明理由 解析 2 2 2 2 2 x a a Nayxaa Myaa xa Nyaa xa 不妨设M 2在处的导数值为 所以在处的切线方程 同理 在处的切线方程 112212 2 1212 1212 12 12 1212 12 0 440 4 4 2 0 Pbx yN xyPMPNk k ykxaCxkxaxk x xa kx xabxxk abybyb kk xxx xa bakkPNPMOPMOPN P 设为符合题意的点 M直线 的斜率分别为 将代入到的方程得 得x 从而 当时 有 则直线与的倾斜角互补 故 所以Y轴上存在点 使其满足题意 112212 0 Pbx yN xyPMPNk k设为符合题意的点 M直线 的斜率分别为 21 本题满分 12 分 3 1 ln 4 min f xxaxg xx f x m nm nxh x 已知函数 当为何值时 x轴为曲线y 的切线 用表示中的最小值 设函数h x m i n f x g讨论零点的个数 解析 3 00 000 2 0 0 1 0 0 0 0 4 30 13 24 3 4 xax yf xxxf xfx xa xa axyf x 设曲线与轴相切于点则即 解得 因此 当时 轴为曲线的切线 1 ln0 min 0 1 55 110 1min 1 1 10 44 1 5 10 1min 1 1 10 4 1 0 1ln0 01 xxxh xf xg xg x h x xafahfgg xh x afhfgf xh x xg xxf x 当时 g从而 故在 无零点 当时 若则 故是的零点 若则 故不是的零点 当时 所以只需考虑在 上的零点个数 2 30 30101 15 0 1 44 01 001 0 01 33 21 01 33334 aafxxaf x ffa f x af x aa af x aaaa f 若或则 在 无零点 故在 上单调 所以当a 3时 在 有一个零点 当时 在 没有零点 若 3 则在 单调递减 在 单调递增 故在 上 当x 时 取得最小值 即 3 0 0 01 34 a faf x 若 即在 上无零点 3 0 01 34 a fa f x 若 即 在 上有唯一零点 315 0 0 1 3444 53 01 44 5 301 4 a faffa af x af x 若 1一 一 一 一 一 0 x 1 一 一 一 一 一 一 一 一一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 3 1 25 3 0 0 0 75 请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 3 ABO CEACB 如图 是圆的直径 AC 是圆O 的切线 BC 交圆O 于点E 若D 是AC 的中点 证明 D E是圆O 的切线 若O A 求的大小 解析 如图 利用平行关系证明 ODE ODA 设 CE 1 AE x 由已知 AB 2 3 BE 又由 Rt ABC 利用射影定理 2 12x E D O AB C E D O A B C E O A B C 22242 12 120 3 60 AECE BExxxx xACB 所以即 可得 所以 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 中直线 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极 22 12 2 121CxCxy 轴建立极坐标系 求 的极坐标方程 1 C 2 C 3232 4 CRCCMN 若直线的极坐标方程为设与的交点为M N 求C的面积 解析 1 2 2 cos sin cos2 2 cos4 sin40 xy C C 因为 所以的极坐标系方程为 的极坐标系方程为 22 1212 22 2 cos4 sin40 3 240 4 2 2 2 22 1 1 2 MN C MN 将 代入到得 解得 故 即 由于C的半径为 所以的面积为 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 12