奥数训练专题——容斥原理

1 8 容斥原理容斥原理 1 某班学生手中分别拿红 黄 蓝三种颜色的小旗 已知手中有红旗的共有人 手中有黄 34 旗的共有人 手中有蓝旗的共有人 其中手中有红 黄 蓝三种小旗的有 人 而手中只 26186 有红 黄两种小旗的有 人 手中只有黄 蓝两种小旗的有 人 手中只有红 蓝两种小旗的 94 有 人 那么这个班共有多少人 3 2 某班有人 其中人爱打篮球 人爱打排球 人爱踢足球 人既爱打篮球又爱踢 422617199 足球 人既爱打排球又爱踢足球 没有一个人三种球都爱好 也没有一个人三种球都不 4 爱好 问 既爱打篮球又爱打排球的有几人 3 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动 其中有 24 人参加了数学小组 20 人参加了语 文小组 参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 3 5 倍 又是 3 项 活动都参加人数的 7 倍 既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数 的 2 倍 既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人 求参加文艺小组的人数 6 级 4 五年级三班学生参加课外兴趣小组 每人至少参加一项 其中有 25 人参加自然兴趣小组 35 人参加美术兴趣小组 27 人参加语文兴趣小组 参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人 参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人 参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人 语文 美术 自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人 求这个班的学生人数 6 级 5 光明小学组织棋类比赛 分成围棋 中国象棋和国际象棋三个组进行 参加围棋比赛的有 人 参加中国象棋比赛的有人 参加国际象棋比赛的有人 同时参加了围棋和中国象 425533 棋比赛的有人 同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人 同时参加了中国象棋和国际象 1810 棋比赛的有 人 其中三种棋赛都参加的有 人 问参加棋类比赛的共有多少人 6 级 95 6 新年联欢会上 共有 90 人参加了跳舞 合唱 演奏三种节目的演出 如果只参加跳舞的人 数三倍于只参加合唱的人数 同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人 只参加演奏的 比同时参加演奏 跳舞但没有参加合唱的人多 4 人 50 人没有参加演奏 10 人同时参加了跳 舞和合唱但没有参加演奏 40 人参加了合唱 那么 同时参加了演奏 合唱但没有参加跳舞 的有多少人 2 8 7 五年级三班有 46 名学生参加三项课外活动 其中 24 人参加了绘画小组 20 人参加了合唱 小组 参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3 5 倍 又是三项活 动都参加人数的 7 倍 既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的 2 倍 既参加绘画小组又参加合唱小组的有 10 人 求参加朗诵小组的人数 8 六年级 100 名同学 每人至少爱好体育 文艺和科学三项中的一项 其中 爱好体育的 55 人 爱好文艺的 56 人 爱好科学的 51 人 三项都爱好的 15 人 只爱好体育和科学的 4 人 只爱好体育和文艺的 17 人 问 有多少人只爱好科学和文艺两项 只爱好体育的有多少人 9 在某个风和日丽的日子 个同学相约去野餐 每个人都带了吃的 其中 个人带了汉堡 106 个人带了鸡腿 个人带了芝士蛋糕 有 个人既带了汉堡又带了鸡腿 个人既带了鸡腿又 6431 带了芝士蛋糕 个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕 问 三种都带了的有几人 只带了一种的 2 有几个 9 盛夏的一天 有个同学去冷饮店 向服务员交了一份需要冷饮的统计表 要可乐 雪碧 10 橙汁的各有 人 可乐 雪碧都要的有 人 可乐 橙汁都要的有 人 雪碧 橙汁都要的 532 有 人 三样都要的只有 人 证明其中一定有 人这三种饮料都没有要 211 10 全班有个学生 其中人会骑自行车 人会游泳 人会滑冰 这三个运动项目没有 2517138 人全会 至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了 但又都不是优秀 若全班有 个人 6 数学不及格 那么 数学成绩优秀的有几个学生 有几个人既会游泳 又会滑冰 11 在一个自助果园里 只摘山莓者两倍于只摘李子者 摘了草莓 山莓和李子的人数比只摘 李子的人数多 个 只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多 人 个人没有摘草莓 3450 个人摘了山莓和李子但没有摘草莓 总共有人摘了李子 如果参与采摘水果的总人数是 1160 你能回答下列问题吗 100 有 人摘了山莓 有 人同时摘了三种水果 有 人只摘了山莓 有 人摘了李子和草莓 而没有摘山莓 有 人只摘了草莓 3 8 12 五年级一班共有人 每人参加一个兴趣小组 共有 五个小组 若参 36ABCDE 加组的有人 参加组的人数仅次于组 参加组 组的人数相同 参加组的人数 A15BACDE 最少 只有 人 那么 参加组的有多少人 4B 13 五一班有 28 位同学 每人至少参加数学 语文 自然课外小组中的一个 其中仅参加数 学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数 没有同学仅参加语文或仅参加自然小组 恰 有 6 个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组 仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组 全参加的人数的 5 倍 并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为 0 的偶数 那么仅参加数学 和语文小组的人有多少人 14 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛 比赛一共只有三个项目 已知参加长跑 跳高 标枪三个项目的人数分别为 10 15 20 人 长跑 跳高 标枪每一项的的参加选手中人中都 有五分之一的人还参加了别的比赛项目 求这所学校一共派出多少人参加比赛 图形中的重叠问题图形中的重叠问题 1 把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条 已知焊接部分长 厘米 焊接后这根铁 38534 条有多长 2 把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条 已知焊接部分长 厘米 焊接后这根铁 23373 条有多长 3 两张长 厘米 宽 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状 把它放在桌面上 覆盖面积有多 42 少平方厘米 4 如图 一张长 厘米 宽 厘米 另一个正方形边长为 厘米 它们中间重叠的部分是一个 866 边长为 厘米的正方形 求这个组合图形的面积 4 厘 3 2厘 厘 4 厘 厘 厘 3 6 4 6 8 4 8 5 一个长方形长厘米 宽 厘米 另一个长方形长厘米 宽 厘米 它们中间重叠的部分 128106 是一个边长 厘米的正方形 求这个组合图形的面积 4 6 三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上 如图 三个纸片共同重叠的面积是平方 5010 厘米 三个纸片盖住桌面的总面积是厘米 问 图中阴影部分面积之和是多少 100 7 如图 三角形纸板 正方形纸板 圆形纸板的面积相等 都等于 60 平方厘米 阴影部分的 面积总和是 40 平方厘米 3 张板盖住的总面积是 100 平方厘米 3 张纸板重叠部分的面积是多 少平方厘米 8 如图所示 分别是面积为 的三张不同形状的纸片 ABC122816 它们重叠在一起 露在外面的总面积为 若与 与的公共部分 38ABBC 的面积分别为 这三张纸片的公共部分为 求与公共 87ABC3AC 部分的面积是多少 容斥原理在数论问题中的应用容斥原理在数论问题中的应用 1 在的全部自然数中 不是 的倍数也不是 的倍数的数有多少个 1 10035 2 在自然数中 能被 或 中任一个整除的数有多少个 1 100 35 3 在前个自然数中 能被 或 整除的数有多少个 10023 4 在从 1 至 1000 的自然数中 既不能被 5 除尽 又不能被 7 除尽的数有多少个 10 6 4 8 12 C BA 10 A B C 5 8 5 求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数 5 以 105 为分母的最简真分数共有多少个 它们的和为多少 7 分母是 385 的最简真分数有多少个 并求这些真分数的和 8 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中 恰好是 3 5 7 中两个数的倍数的数共有 个 9 在从 1 到 1998 的自然数中 能被 2 整除 但不能被 3 或 7 整除的数有多少个 10 50 名同学面向老师站成一行 老师先让大家从左至右按 1 2 3 49 50 依次报数 再让报数是 4 的倍数的同学向后转 接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转 问 现在面向老 师的同学还有多少名 11 有 2000 盏亮着的电灯 各有一个拉线开关控制着 现按其顺序编号为 1 2 3 2000 然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下 再将编号为 3 的倍数的灯线拉一 下 最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下 三次拉完后 亮着的灯有多少盏 12 写有 1 到 100 编号的灯 100 盏 亮着排成一排 每一次把编号是 3 的倍数的灯拉一次开关 第二次把编号是 5 的倍数的灯拉一次开关 那么亮着的灯还有多少盏 13 在游艺会上 有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券 按奖券标签号发放奖品的 规则如下 1 标签号为 2 的倍数 奖 2 支铅笔 2 标签号为 3 的倍数 奖 3 支铅笔 3 标签号既是 2 的倍数 又是 3 的倍数可重复领奖 4 其他标签号均奖 1 支铅笔 那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支 6 8 14 在一根长木棍上 有三种刻度线 第一种刻度线将木棍分成十等份 第二种将木棍分成十 二等份 第三种将木棍分成十五等份 如果沿每条刻度线将木棍锯断 则木棍总共被锯成 段 15 一根 101 厘米长的木棒 从同一端开始 第一次每隔 2 厘米画一个刻度 第二次每隔 3 厘 米画一个刻度 第三次每隔 5 厘米画一个刻度 如果按刻度把木棒截断 那么可以截出 段 16 一根米长的木棍 从左端开始每隔 2 厘米画一个刻度 涂完后再从左端开始每隔 3 厘 1 8 米画一个刻度 再从左端每隔 5 厘米画一个刻度 再从左端每隔 7 厘米画一个刻度 涂过按刻 度把木棍截断 一共可以截成多少段小木棍 容斥原理中的最值问题容斥原理中的最值问题 1 将 1 13 这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 13 个区域中 然 后把每个圆内的 7 个数相加 最后把四个圆的和相加 问 和最大是多少 2 如图 5 条同样长的线段拼成了一个五角星 如果每条线段上恰有 1994 个点被染成红色 那么在这个五角星上红色点最少有多少个 3 某班共有学生 48 人 其中 27 人会游泳 33 人会骑自行车 40 人会打乒乓球 那么 这个 班至少有多少学生这三项运动都会 7 8 4 某班有名学生 参加语文竞赛的有人 参加数学竞赛的有人 参加英语竞赛的有 502823 人 每人最多参加两科 那么参加两科的最多有 人 20 5 60 人中有的人会打乒乓球 的人会打羽毛球 的人会打排球 这三项运动都会的人 2 3 3 4 4 5 有人 问 这三项运动都不会的最多有多少人 22 6 图书室有 100 本书 借阅图书者需在图书上签名 已知这 100 本书中有甲 乙 丙签名的 分别有 33 44 和 55 本 其中同时有甲 乙签名的图书为 29 本 同时有甲 丙签名的图书 为 25 本 同时有乙 丙签名的图书为 36 本 问这批图书中最少有多少本没有被甲 乙 丙中的任何一人借阅过 7 甲 乙 丙都在读同 一本故事书 书中有 100 个故事 每个人都从某一个故事开始 按