高中物理中的临界与极值问题

高中物理中的临界与极值问题高中物理中的临界与极值问题 宝鸡文理学院附中 何治博 一 临界与极值概念一 临界与极值概念 所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中 随着条件的逐渐变化 数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生 即从一种状态变化为另一种状态发生质 的变化 如全反射 光电效应 超导现象 线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等 这种 物理现象恰好发生 或恰好不发生 的过度转折点即是物理中的临界状态 与之相关的临界状 态恰好发生 或恰好不发生 的条件即是临界条件 有关此类条件与结果研究的问题称为临界 问题 它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映 极值问题则是指物理变化过 程中 随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值 也称端点值 时 会使得某物理量达到最大 或最小 的现象 有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为 极值问题 临界与极值问题虽是两类不同的问题 但往往互为条件 即临界状态时物理量往往 取得极值 反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态 除非该极值是单调 函数的边界值 因此从某种意义上讲 这两类问题的界线又显得非常的模糊 并非泾渭分明 高中物理中的临界与极值问题 虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出 但近年高考 试题中却频频出现 从以往的试题形式来看 有些直接在题干中常用 恰好 最大 至少 不相撞 不脱离 等词语对临界状态给出了明确的暗示 审题时 要抓住这些特定的 词语发掘其内含的物理规律 找出相应的临界条件 也有一些临界问题中并不显含上述常见的 临界术语 具有一定的隐蔽性 解题灵活性较大 审题时应力图还原习题的物理情景 周密 讨论状态的变化 可用极限法把物理问题或物理过程推向极端 从而将临界状态及临界条件显 性化 或用假设的方法 假设出现某种临界状态 分析物体的受力情况及运动状态与题设是否 相符 最后再根据实际情况进行处理 也可用数学函数极值法找出临界状态 然后抓住临界状 态的特征 找到正确的解题方向 从以往试题的内容来看 对于物理临界问题的考查主要集中 在力和运动的关系部分 对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分 二 常见临界状态及极值条件二 常见临界状态及极值条件 解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件 为了提高解题 速度 可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件 1 雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短 屋面倾角为 0 45 2 从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远 速度与斜面平行时刻 3 物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑 物体冲上固定斜面时恰好不再滑下 tg 4 物体刚好滑动 静摩擦力达到最大值 5 两个物体同向运动其间距离最大 最小 两物体速度相等 6 两个物体同向运动相对速度最大 最小 两物体加速度相等 7 位移一定的先启动后制动分段运动 在初 末速及两段加速度一定时欲使全程历时最短 中间无匀速段 位移一定的先启动后制动分段匀变速运动 在初速及两段加速度一定时 欲使动力作用时间最短 到终点时末速恰好为零 8 两车恰不相撞 后车追上前车时两车恰好等速 9 加速运动的物体速度达到最大 恰好不再加速时的速度 10 两接触的物体刚好分离 两物体接触但弹力恰好为零 11 物体所能到达的最远点 直线运动的物体到达该点时速度减小为零 曲线运动的物体轨 迹恰与某边界线相切 12 在排球场地 3 米线上方水平击球欲成功的最低位置 既触网又压界 13 木板或传送带上物体恰不滑落 物体到达末端时二者等速 14 线 杆 端物在竖直面内做圆周运动恰能到圆周最高点 最高点绳拉力为零 0v杆端 15 竖直面上运动的非约束物体达最高点 竖直分速度为零 16 细线恰好拉直 细线绷直且拉力为零 17 已知一分力方向及另一分力大小的分解问题中若第二分力恰为极小 两分力垂直 18 动态力分析的 两变一恒 三力模型中 双变力 极小 两个变力垂直 19 欲使物体在两个力的作用下 沿与成锐角的直线运动 已知为定值 则 1 F 2 F 1 F 1 F 最小时即恰好抵消在垂直速度方向的分力 2 F 1 F 20 渡河中时间最短 船速垂直于河岸 即船速与河岸垂直 相当于静水中渡河 21 船速大于水速的渡河中航程最短 斜逆航行 且船速逆向上行分速度与水速抵消 22 船速小于水速的渡河中航程最短 斜逆航行 且船速与合速度垂直 23 圆柱体 滚上台阶最省力 使动力臂达最大值 2R 24 机车从静止匀加速启动过程持续的最长时间 te PP 25 损失动能最小 大 的碰撞 完全弹性 完全非弹性 碰撞 26 简谐运动速度最大 位移 恢复力 加速度 为零 27 受迫振动振幅恰好达最大 驱动力的频率与振动系统的固有频率相等 28 两个同相相干波源连线上振幅最大的点 两边距连线中点 反相波源时2 4 xn n 0 1 2 3 4 x 2n 1 29 只有机械能与电势能相互转化时 重力势能与电势能之和最小时 动能最大 30 粒子恰不飞出匀强磁场 圆形轨迹与磁场边界相切 31 纯电阻负载时电源输出功率最大 内外电阻阻值相等 32 滑动变阻器对称式接法中阻值达最大 滑至中点 33 倾斜安放的光滑导轨上的通电导体棒静止时 所加匀强磁场方向若垂直于斜面的情况下磁 感强度最小 34 光从介质射向空气时恰不射出 入射角等于临界角 35 刚好发生光电效应 入射光频率等于极限频率 36 带电粒子恰好被速度选择器选中 霍尔效应 等离子发电 电场力与洛力平衡 37 地面卫星 氢原子处于基态 时 势能最小 总能量最小 运动周期 角速度均最小 速度 向心力 加速度均最大 38 等量同性质点电荷连线的中垂线上场强最大的位置求解 三 临界与极值问题一般解法三 临界与极值问题一般解法 临界问题通常以定理 定律等物理规律为依据 分析所研 究问题的一般规律和一般解的形式及其变化情况 然后找出临界状态 临界条件 从而通过 临界条件求出临界值 再根据变化情况 直接写出条件 求解极值问题的方法从大的方面可 分为物理方法和数学方法 物理方法即用临界条件求极值 数学方法包括 1 利用矢量图 求极值 2 用正 余 弦函数求极值 3 抛物线顶点法求极值 4 用基本不等式求 极值 5 单调函数端点值法求极值 6 导数法求解 一般而言 用物理方法求极值简单 直观 形象 对构建物理模型及动态分析等方面的能力要求较高 而用数学方法求极值思路 严谨 对数学建模能力要求较高 若能将二者予以融合 则将相得亦彰 对增强解题能力大 有裨益 四 典型问题剖析四 典型问题剖析 例题例题 1 1 某屋顶横断面是一等腰三角形 ABC 横梁 AC 2L 定值 欲使雨水从屋顶面上流 下来时间最短 求屋面的倾斜角 摩擦忽略不计 雨水初速为 0 解析 解析 设倾斜角 AB s F mgsin ma a gsin s 当 45 时 等号成立 所以 45 雨水从屋顶 光滑 上流下所用的时间最短解法 2 解得当时 t 有最小值 2 1 sin cos2 L gt 0 45 例题例题 2 2 从倾角为 的固定长斜面顶点以初速度水平抛出一小 0 v 球 不计空气阻力求自抛出经多长时间小球离斜面最远 解法一 解法一 设经 t 秒小球距离斜面最远 此时速度必与斜面平行 则 所以 时小球距离斜面最远 0 y x v gt tg vv 0 v ttg g 解法二 解法二 小球远离斜面方向的初速度 远离斜面方向的加速度 0 sinvv 0离 gcosa 离 所以远离斜面的速度减小至零时相距最远 令 则 0va t 0离离 000 sin cos vvv ttg agg 离 离 时相距最远 解法三 解法三 球与斜面距离 22 00 1cos sin0 22 g Svta ttvt 离离 显然当时 距离最大 00 cos 2 2 v sinv ttg g g 解法四 解法四 解析法 选初速度方向为 x 轴正向 重力方向为 y 轴正向 则代表该斜面的直线方程 为 平抛物体轨迹方程为 设抛物线上任意一点到该直ytgx 2 2 0 2 g yx v 000 P xy 线距离 0000 2222 111 1 01 1 AxByCtgxy S ABtg 注意到 故 S 00 tgxy 2 00 2 0 cos sin0 2 g xx v 显然二次函数有极大致的条件为 即 2 0 0 2 0 sin cos 2 2 v xtg g g v 00 0 xv ttg vg 例题例题 3 3 一个质量为 3kg 的物体放在长木板上 当木板一端抬起使它与水平方向成 30 的固定 斜面时 物体正好可以沿斜面匀速下滑 当木板水平固定时 用多大的水平拉力能将该物体拉 动 解析 解析 在斜面上物体所受摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡 即 F mgsin30 而滑动摩擦力 f mgcos30 所以 tan30 在水平面上拉的时候压力大小等于重力大小 则水平面上的摩擦力 f mg mgtan30 所以拉力至少要达到这个值才能拉动物体 例题例题 4 1 1 某物体所受重力为 200 N 放在水平地面上 它与地面间的动摩擦因数是 0 38 它 与地面间的最大静摩擦力是 80 N 至少要用 N 的水平推力 才能将此物体推动 若 推动之后保持物体做匀速直线运动 水平推力应为 N 物体在地面上滑动过程中 若将水平推力减小为 50 N 直到物体再次静止前 它所受到的摩擦力为 N 物体静 止后 此 50 N 的水平推力并未撤去 物体所受的摩擦力大小为 N 解析 解析 从静止推物体时推力至少达到最大静摩擦力 80N 才可以推动物体 推动后当推力大小与 滑动摩擦力等值 200 0 38 76N 时物体将做匀速直线运动 在物体滑动过程中水平推力若 减小至 50N 物体受到的滑动摩擦力仍跟原来一样为 76N 物体静止后此 50N 的水平推力并未 撤去时物体受静摩擦力大小等于此时的水平推力大小 50N 例题例题 4 2 如图所示 U 形导线框固定在水平面上 右端放有质量为 m 的金属棒 ab ab 与导轨间的动摩擦因数为 它们围成的矩形边长分别 为 回路的总电阻为 R 从 t 0 时刻起 在竖直向上方向加一个 1 L 2 L 随时间均匀变化的匀强磁场 B kt k 0 那么在 t 为多大时 金属棒开 始移动 解析 解析 当磁场发生变化的时候 有感应电动势产生 在回路中就会产生感应电流 ab 棒会受到 安培力的作用 则 ab 有向左运动的趋势 则 ab 就会受到向右的静摩擦力的作用 当 ab 棒受 到安培力和静摩擦力的作用平衡时 由可知 回路中感应电动势是恒定的 12 EkL L t 电流大小也是恒定的 但由于安培力 F BIL B kt t 所以安培力将随时间而增大 所以 ab 受到的静摩擦力也增大 二者始终是等值反向的 只要安培力的大小没有超过最大静摩擦力 ab 就始终处于静止状态 当安培力大于最大静摩擦力之后 ab 就会运动起来 在静止到运动 之间就存在着一个从静止到运动的临界状态 此状态的临界条件就是安培力增大到等于最大静 摩擦力 此时有 12 1 22 12 kL LmgR ktLmgt Rk L L 所以 例题例题 4 3 如图 3 所示两根平行的金属导轨固定在同一水平面上 磁感应强度的匀强 磁场与导轨平面垂直 导轨电阻不计 导轨间距 两根质量均为电阻均 为的平行金属杆甲 乙可在导轨上垂直于导轨滑动 与导轨间的动摩擦因数均为 现有一与导轨平行大小为的水平恒力作用于甲杆使金属杆在导轨上滑动 b a L1 L2 F 图 5 已知 求 1 分析甲 乙二杆的运动的情况 2 杆运动很长时间后开始 则再 2 10mg s 经过 5 秒钟二杆间的距离变化了多少 解析 解析 1 金属杆甲在水平恒力 这里牛为甲杆所受的最大静摩擦0 5fmg 甲 力 作用下将向右加速运动并切割磁感线产生逆时针方向的感应电流 因而使甲杆同时受到水 平向左的安培阻力 乙杆中也因为有了电流而受到水平向右的安培动力 两个安培力等 值反向 开始时甲杆的切割速度较小故安培力 均较小 随的增大则回路中的感 应电流增大 所以两杆所受的安培力 均增大 故甲杆将向右作加速度减小的变加速 运动 当时乙杆也将开始向右作加速度逐渐增大的变加速运动 直到甲 乙 二杆的加速度相等时 此时甲乙两杆速度差最大 回路中动生电流最大即v 0 5 0 2 0 44 m BLvvv I R 总 每杆受安培力最大即0 50 2 440 Bmm vv FBI L 乙杆的加速度最大即 max 5 4 Bm Fmgv a m 乙 甲杆的加速度最小即 min 15 4 Bm FFmgv a m 甲 且两杆的加速度相等 即 所以 155 44 vv 40mv s 2 maxmin 5maa s 乙甲 甲乙两杆以共同的加速度 5 恒定的速度差 40 向右做匀加速直线运动 即甲相对 2 m s m s 乙将向右做匀速直线运动而远离 2 依据上述分析知运动很长时间后甲乙两杆将以共同的加速度 5及恒定的速度差 40 2 m s 向右做匀加速直线运动 亦即甲乙二杆间的相对运动速度为 因而此后经过 m s 40mv s 相 5 秒两杆间的距离将增加 40 5 200Lvtm A 相 例题例题 4 4 如图 5 所示 质量为的木块与水平地面的动摩擦因数 木块用轻绳kgM2 4 0 绕过光滑的定滑轮 轻绳另一端施一大小为 20N 的恒力 F 使木块沿地面向右做直线运动 定 滑轮离地面的高度 木块 M 可视为质点 问木块从较远处向右运动到离定cmh10 滑轮多远时加速度最大 最大加速度为多少 解析 解析 设当轻绳与水平方向成角 时 对 M 有 MaFMgF sin cos 整理得MaMgF sin cos 令 可知 当 A 取最大值时 a 最大 A sincos 利用三角函数知识有 其中 而 与此相对应的角为 sin 1 2 A 2 1 1 arcsin 2 max 1 A 8 21 1 1 arcsin90 2 所以加速度的最大值为 2 2 max 8 6 1 smg M F a 此时木块离定滑轮的水平距离为 cmhS25cot 说明 此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度 当木块达到一定值时 有可能使物体 脱离地面 此后物体将不在沿着水平面运动 因此 F M 必须满足 Mg 此题 sinF 所给数据满足上述条件 能够达到最大加速度 例题例题 4 54 5 如图 3 所示 质量为 m 1kg 的物块放在倾角为的斜面体上 斜面质量为 斜面与物块间的动摩擦因数为 地面光滑 现对斜面体施一水平推力 F 要使物体 m 相对斜面静止 试确定推力 F 的取值范围 图 3 解析 解析 此题有两个临界条件 当推力 F 较小时 物块有相对斜面向下运动的可能性 此时物体 受到的摩擦力沿斜面向上 当推力 F 较大时 物块有相对斜面向上运动的可能性 此时物体受 到的摩擦力沿斜面向下 找准临界状态 是求解此题的关键 1 设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为 F1 此时物块受力如图 4 所示 取 加速度的方向为 x 轴正方向 图 4 对物块分析 在水平方向有 竖直方向有 图 4 6 对整体有 代入数值得 2 设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为 F2 对物块分析 在水平方向有 竖直方向有 对整体有 代入数值得 综上所述可知推力 F 的取值范围为 例题例题 4 6 如图 4 6 所示 跨过定滑轮的轻绳两端 分别系着物体 A 和 B 物体 A 放在倾角为 的斜面上 已知物体 A 的质量为 m 物体 B 和斜面间动摩擦因数为 l R 如图 9 所示 因朝不同方向发射的 粒子 的圆轨迹都过 S 由此可知 某一圆轨迹在图中 N 左侧与 ab 相切 则此切点 P1 就是 粒子能打中的左侧最远点 为定 出 P1 点的位置 可作平行于 ab 的直线 cd cd 到 ab 的距离 为 R 以 S 为圆心 R 为半径 作弧交 cd 于 Q 点 过 Q 作 ab 的垂线 它与 ab 的交点即为 P1 再考虑 N 的右侧 任何 粒子在运动中离 S 的距离不可能超过 2R 以 2R 为半径 S 为圆 心作圆 交 ab 于 N 右侧的 P2 点 此即右侧能打到的最远点 由图中几何关系得 所求长度为 P1P2 NP1 NP2 代入数值得 P1P2 20cm 点评 本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小 其对应的轨迹半径也就确定 了 但由于入射速度的方向发生改变 从而改变了该粒子运动轨迹图 导致粒子的出射点位 置变化 在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图 对应的临界状态的速度 的方向 再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围 例题例题 31 1 阻性负载时电源最大输出功率的求解 解法一解法一 电源的输出功率为 r R rRRrrR R R rR RIP 4 4 2 2 2 2 22 出 当 R r 时 P 出有最大值 即 rR Pm 44 22 解法二解法二 电源输出功率为 因为 rR r rR R r 2 22 r R R RIP 出 R 0 Rr 0 rR r 为定值 所以当时 P 出有最大值 1 rR R rR r rR r rR R 即 r Pm 4 2 解法三解法三 电源输出功率为 显然当 时 0 rI 2 IIrIIuP 出2r2 r I P 出有最大值 即 r Pm 4 2 解法四解法四 电源输出功率为 r IrIr IrIIuP 出 因为 为定值 所以当时 0Ir 0Ir rIrI rIrI P 出有最大值 即 r Pm 4 2 解法五解法五 电源输出功率为 所以当 时 0 1u 2 u r u r u r IuP 出 2 1 2 r r u P 出有最大值 即 r Pm 4 2 解法六解法六 电源输出功率为 因为 r uu u r IuP u 出 0u 0u 为定值 所以当时 u u uu P 出有最大值 即 r Pm 4 2 解法七解法七 电源输出功率为 因为 1 u r R u r R u r r R u R IuP 出 0 u r R 0 u r R 为定值 所以当时 r R u r R u r R u r R u P 出有最大值 即 r Pm 4 2 解法八解法八 电源输出功率为 r R r R R rR RIP 2 2 2 2 2 2 出 因为 为定值 所以当时0R 0 2 R r 2 2 r R r R R r R 2 P 出有最大值 即 r Pm 4 2 解法九解法九 电源输出功率为 因为 且为定值 22 2 22 PI R Rrr R RR 出 0R 0 r R r Rr R 所以 当时输出功率最大 r R R r R r R R rR RIP 2 2 2 2 2 2 出 例例 题题 31 2 如图 电源的电动势 E 10V r 1 欧 5 欧 1 R 2 R 的最大值为 20 欧 求 取何值时消耗的功率最 2 R 2 R 大 取何值时消耗的功率最大 2 R 1 R 解析 解析 利用上题结论 将看成电源内阻的一部分 则 r r 的滑片从最右端向左 1 R 1 R 2 R 端滑动的过程中 上的输出功率在不断的增大当 r 时上功率达到最大 随后输 2 R 2 R 1 R 2 R 出功率开始减小 即 r 是临界条件 利用临界条件就有 1 欧 5 欧 6 欧 此时 2 R 1 R 2 R 上消耗的功率最大 2 R 消耗的功率 显然是的单调减函数 所以 1 R 22 11 122 10 5 5 1 E PR RrRR 2 R 当取端点值 即 0 时 瓦 2 R 2 R 1max 125 9 P 例题例题 32 阻值为的滑变采用对称式接法 求其阻值的最大值 0 R 解析 解析 R 因为 且 为定值 0 0 R R A 左左 R R 0R 左0 0RR 左0 RR 左 R左 0 R 所以 当时 R 最大 此时电阻 0 2 R R左 0 max 4 R R 例题例题 33 在倾角为 的斜面上 放置一段通有电流强度为 I 长度为 L 质量为 m 的导体 棒 a 通电方向垂直纸面向里 如图所示 棒与斜面间动摩擦因数 tan 欲使导体棒 静止在斜面上 应加匀强磁场 磁感应强度 B 最小值是多少 如果要求导体棒 a 静止在斜面 上且对斜面无压力 则所加匀强磁场磁感应强度又如何 解析 解析 1 设当安培力与斜面成 角时 B 最小 则由平衡条件得 mgsin FN BILcos FN mgcos BILsin 解得 当 90 时 2 当 FN 0 时 则 BIL mg BIL mg 由左手定则知 B 方向水平向左 例题例题 34 1 在水下 H 1m 深处有一点光源 求该点光源所能照亮的水面面积 S 水的折射率 n 4 3 解析解析 临界状态时 sinC 又因为 sinC 解得 R 所以照亮的 22 R RH 1 n 2 n1 H 水面面积为 S 2 R 2 2 n1 H 代值得 S 9 7 例题例题 34 2 半径为 r 厚度不计的圆形木的中心插一根钉子 如图所示 漂浮在水面上 调 节钉子在木板下方的长度 当水面下的钉长为 h 时 在水面上从木板 边缘刚好看不到钉尖 求水的折射率 解析 解析 调节钉子在木板下方的长度 当钉尖从水中发出的光射到水面 圆形木的边缘刚好发生 全发射时 即该光线与钉的夹角等于临界角 h r C 那么在水面上 从木板边缘刚好看不到钉尖 此时有 h hr n n C h r C 22 1 sin tan 例例题题 35 1 已知金属铯 钾 锌 银 铂发生光电效应的极限频率分别为4 55 14 10 Hz 5 38 8 07 11 5 15 3 如果照射光的频率 为 14 10 Hz 14 10 Hz 14 10 Hz 14 10 Hz 8 08 则上述五种金属一定能够发生光电效应的是 如果照射光的频率 14 10 Hz 从 8 08刚减小至某值时 只剩下其中一种金属产生光电效应现象 则该金属 14 10 Hz 0 是 0 解解析析 极限频率是该金属发生光电效应的最低频率 所以如果照射光的频率 为 8 08 则上述五种金属一定能够发生光电效应的是 铯 钾 锌 如果照射光的 14 10 Hz 频率从 8 08刚减小至某值时 只剩下其中一种金属产生光电效应现象 则该 14 10 Hz 0 金属是 铯 5 38 0 14 10 Hz 例例题题 35 2 在 X 射线管中 由阴极发射的电子被加速后打到阳极 会产生包括X 光在 内的各种能量的光子 其中光子能量的最大值等于电子的动能 已知阳极与阴极之间的 电势差 U 普朗克常数 h 电子电荷量 e 和光速 c 则可知该 X 射线管发出的 X 光的 最短波长为 最大频率为 解析 解析 依题意光子能量的最大值等于电子的动能 所以 则heu max eu h 所以发出 X 光的最短波长 min max chc eu 例例题题 36 速度选