数列通项公式的完整求法-还有例题详解

1 一 一 观察法观察法 例例 1 根据数列的前 4 项 写出它的一个通项公式 1 9 99 999 9999 2 3 17 16 4 10 9 3 5 4 2 2 1 1 4 5 2 2 1 3 2 1 5 4 4 3 3 2 2 1 解 1 变形为 101 1 102 1 103 1 104 1 通项公式为 110 n n a 2 1 2 2 n n nan 3 1 2 n an 4 点评 关键是找出各项与项数 n 的关系 1 1 1 n n a n n 二 公式法 二 公式法 当已知条件中有 a和 s的递推关系时 往往利用公式 nn a 来求数列的通项公式 n 1 1 1 2 nn s n ssnnN 例例 1 已知数列 an 是公差为 d 的等差数列 数列 bn 是公比为 q 的 q R 且 q 1 的等比数列 若 函数 f x x 1 2 且 a1 f d 1 a3 f d 1 b1 f q 1 b3 f q 1 1 求数列 a n 和 b n 的通 项公式 解 1 a 1 f d 1 d 2 2 a 3 f d 1 d 2 a3 a1 d2 d 2 2 2d d 2 an a1 n 1 d 2 n 1 又 b1 f q 1 q2 b3 f q 1 q 2 2 q2 由 q R 且 q 1 得 q 2 bn b qn 1 4 2 n 1 2 2 1 3 2 q q b b 例例 2 等差数列是递减数列 且 48 12 则数列的通项公式是 n a 432 aaa 432 aaa A B C D 122 nan42 nan122 nan102 nan 解析解析 设等差数列的公差位 d 由已知 123 48 3 333 a daada 解得 又是递减数列 2 4 3 d a n a2 d8 1 a 2 1 8nan 故选 D 102 n 例例 3 已知等比数列的首项 公比 设数列的通项为 n a1 1 a10 q n b 求数列的通项公式 21 nnn aab n b 解析解析 由题意 又是等比数列 公比为 321 nnn aab n aq 2 故数列是等比数列 q aa aa b b nn nn n n 21 321 n b 1 2 11321 qqqaqaaab 1 1 1 qqqqqb nn n 点评 当已知数列为等差或等比数列时 可直接利用等差或等比数列的通项公式 只需求得首项及公 差公比 例 4 已知无穷数列的前项和为 并且 求的通项 n an n S 1 nn aSnN n a 公式 解析 又 1 nn Sa 111nnnnn aSSaa 1 1 2 nn aa 1 1 2 a 1 2 n n a 反思 利用相关数列与的关系 与提设条件 n a n S 11 aS 1nnn aSS 2 n 建立递推关系 是本题求解的关键 跟踪训练 1 已知数列的前项和 满足关系 试证数列 n an n S 1 lg n S n 1 2 n 是等比数列 n a 例 5 已知数列前 n 项的和为 s a 3 求这个数列的通项公式 n a n 2 3 n 分析 用 a替换 s s n2 得到数列项与项的递推关系来求 nn1 n 解 a a 3 a 6 1 2 3 1 1 s a 3 nN n 2 3 n s a 3 n2 且 nN 1 n 2 3 1 n 得 a a a n 2 3 n 2 3 1 n a a 即 3 n2 且 nN 2 1 n 2 3 1 n 1 n n a a 数列是以 a 6 公比 q 为 3 的等比数列 n a 1 a a q 63 23 n1 1 n 1 n n 例 6 已知正项数列中 s a 求数列的通项公式 n a n 2 1 n n a 1 n a 分析 用 s s n2 替换 a得到数列与的递推关系来求较易 n1 n nn s 1n s 3 解 s a a a a 1 n 2 1 n n a 1 1 2 1 1 1 1 a 1 又 a s s n2 且 nN nn1 n s s s n 2 1 n1 n 1n s 1 n s 2s s s nn1 n 1n s 1 n s s s n1 n 1n s 1 n s s s 1 n2 且 nN n 2 1 n 2 数列是以 a 1 为首项 公差为 1 的等差数列 2 n s 2 1 s 1 n 1 1 n 即 s n 2 n n 当 n2 时 s s a n1 nn n1 n 将 n 1 代入上式得 a n n1 n 练习 数列前 n 项和为 已知 5 3 求 n a n S n a n S nN n a 三三 累加法 累加法 求形如 f n 的递推数列的通项公式的基本方法 其中 f n 能求前 n 项和即可 1n a n a 利用求通项公式的方法称为累加法 累加法是求型如 1211 nnn aaaaaa 的递推数列通项公式的基本方法 可求前项和 1 nn aaf n f nn 例 1 已知数列中 求这个数列的通项公式 n a 11 29 21 2 nn aaannnN 分析 由已知 得 注意到数列的递推公式的形式与等 1 21 nn aan 1 21 nn aan n a 差数列的递推公式类似 因而 可累加法求数列的通项 解 数列中 可得 n a 11 29 21 2 nn aaannnN 21 32 43 1 221 23 1 241 21 2 nn aa aa aa aannnN 以上各式相加 1 1 2 2 2 1 2 234 1 282 n n n aa aan annnN 2 3 1 2n 1 整理得且 将 n 1 代入上式得 2 28 n an 4 练习 已知数列中 求 n a 11 3 2 n nn aaanN n a 例例 2 已知数列 6 9 14 21 30 求此数列的一个通项 解 易知 12 1 naa nn 3 12 aa 5 23 aa 7 34 aa 12 1 naa nn 各式相加得 12 753 1 naan 5 2 Nnnan 点评 一般地 对于型如类的通项公式 只要能 1 nfaa nn 2 1 nfff 进行求和 则宜采用此方法求解 例例 3 若在数列中 求通项 n a3 1 anaa nn 1n a 解析解析 由得 所以 naa nn 1 naa nn 1 1 1 naa nn 2 21 naa nn 1 12 aa 将以上各式相加得 又所以 1 2 1 1 nnaan3 1 a n a3 2 1 nn 例 4 已知无穷数列的的通项公式是 若数列满足 n a 1 2 n n a n b 1 1b 求数列的通项公式 1 n n b 解析 1 1 1b 1 1 2 n nn bb 1 n 1211 nnn bbbbbb 1 2 1 1 2 n 1 1 2 2 n 反思 用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 1 nn aaf n 跟踪训练 3 已知 求数列通项公式 1 1 2 a 1 1 2 n nn aa nN n a 3 3 累乘法 累乘法 求形如 的递推数列通项公式的基本方法 其中可求前 n 项 1n a g n n ag n 积即可 利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法 累 32 1 121 0 2 n nn n aaa aaan a aa 乘法是求型如 的递推数列通项公式的基本方法 数列可求前项积 1 nn ag n a g nn 5 例 1 若满足求这个数列的通项公式 1 1 1 1 n n an anN an 分析 由知数列不是等比数列 但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似 1 1 n n an an n a 因而 可累加法求数列的通项 解 1 1 1 1 n n an anN an 2 1 3 2 1 1 2 2 3 1 2 n n a a a a an nN an 且 以上各式相乘得 1 1231 234 n an an 1 n a n 2 n 且nN 将 n 1 代入上式得 1 n a n 变式练习 设是首项为 1 的正数组成的数列 且 n a 22 11 1 0 12 nnnn nanaaan 则它的通项公式为 n a 例例 2 在数列 中 1 n 1 n 求的表达式 n a 1 a 1 n a n a n a 解 由 n 1 n 得 1 n a n a 1 1 n n a a n n 1 a an 1 2 a a 2 3 a a 3 4 a a 1 n n a a 所以 nn n11 4 3 3 2 2 1 n an 1 例例 3 已知数列中 前项和与的关系是 试求通项公式 n a 3 1 1 an n S n a nn annS 12 n a 解析 首先由易求的递推公式 nn annS 12 12 32 32 12 1 1 n n a a anan n n nn 将上面 n 1 个等式相乘得 5 1 12 52 1 2 2 1 a a n n a a n n 6 12 12 1 12 12 3 57 32 12 12 13 72 52 32 1 nn a nnnnn nnn a a n n 点评 一般地 对于型如 n 类的通项公式 当的值可以求得时 1 n af n a 2 1 nfff 宜采用此方法 例四 已知 求数列通项公式 1 1a 1 nnn an aa nN n a 解析 又有 1 nnn an aa 1 1 n n an an 32 1 121 0 2 n nn n aaa aaan a aa 1 当时 满足 23n 12n 1 n1n 1 1a n an n an 反思 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 1 nn ag n a 跟踪训练 4 已知数列满足 则 n a 1 1a 1231 23 1 2 nn aaaanan 的通项公式是 n a 4 4 构造新数列 构造新数列 通过变换递推关系 可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式 的方法 待定系数法待定系数法 例题 5 已知数列中满足 求数列的通项公 n a 1 1a 1 23 nn aanN n a 式 分析 将一阶线性递推关系形如可转化为 1 0 1 nn aAaB ABAB 为常数 的一个新的等比数列或消常数项转化为 1 1 1 11 1 n nn n B a BB A aA aA B AA a A 即 的一个等比数列 21 211 1 nn nnnn nn aa aaA aaA aa 即 解法 1 数列中 n n a1 1 a32 1 nn aa1 3 23 1 nn aa 2 3 3 1 n n a a 数列是以首项 公比为 2 的等比数列 3 3 1 n n a a 23 1 a 7 1 1 223 n n a 23 n n anN 解法 2 数列中 n a1 1 a32 1 nn aa 32 12 nn aa 得 nnnn aaaa 12 2 2 1 12 nn nn aa aa 又 21 231aa 数列是以首项公比为 2 的等比数列 1nn aa 21 2 aa 再利用累加法可求数列的通项公式 1 11 2 2 2 nn nnnn aaaa 即 以下解法略 可求得 23 n n anN 倒数法 倒数法 例题 6 已知数列中满足 求数列的通项 n a 1 1a 1 31 n n n a a a n a 分析 可将形如一阶分式递推公式 A B C 为满足条件的常数 等式两边取倒数 1 n n n Ca a AaB 得 又可利用求形如 A B 为常数 的方法来求数列的通 1 11 nn BA aC aC 1 nn aA aB 项 解 数列 中 n a 1 1a 1 31 n n n a a a 即 1 11 3 nn aa 1 11 3 nn aa 数列是以公差为 3 的等差数列 1 n a 1 1 1 a 11 1 1 3 32 nn nn aa 即 1 32 n a n nN 变式练习 知数列中满足 求数列的通项 n a 1 1a 1 2 31 n n n a a a 例题 7 已知数列中满足 求数列的通项公式 n a 1 1a 1 22 n nn aanN n a 分析 形如递推公式可转化为 1 1 1 n nn aq adqdd 为非零常数 q 若令 则转化为形如的方法来 1 1 1 nn nn aaq dd dd n n n a b d 1 nn aAaB AB 为常数 求数列的通项 提示 将转化为 解法略 1 22 n nn aanN 1 1 1 222 nn nn aa 另外 数列通项求法还有数学归纳猜想法 可以先求出数列的前 n 项 然后观察前 n 项的规律 再进行归纳 猜想出通项 最后予以证明 例如 数列满足 a1 4 4 n 2 求 n a n a 1 4 n a 理科要求 解略 还有对数变换法 例如 形如 n a 可转化为问题解决 当然还 1 0 0 01 p nnn aCaaCpp 且 1 lglglg nn apaC 8 有特征方程法等等 六 待定系数法 六 待定系数法 例例 10 设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和 若 c1 2 c2 4 c3 7 c4 12 n c 求通项公式 cn 解 设 1 1 n n bqdnac 1 3 2 2 1 1 1 2 123 72 4 2 n n nc a b d q bqda bqda bqda ba 例例 11 已知数列中 n c b b c 1 1 b b cbc nn 1 1 其中 b 是与 n 无关的常数 且 求出用 n 和 b 表示的 an的关系式 1 b 解析 递推公式一定可表示为 的形式 由待定系数法知 1 nn cbc b b b 1 1 1 1 1 2 1 22 b b cb b b c b b b nn 故数列是首项为 公比为的等比数列 故 2 1b b cn 11 2 2 2 1 b b b b cb 1 111 2 1 2 1 1 2 2 2 b bb c b b b b b b b c n n n n n 点评 用待定系数法解题时 常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式 一般地 若数列 为等差数列 则 b 为常数 若数列为等比数列 则 n acbnan cnbnsn 2 n a 1 n n Aqa 1 0 qAqAAqs n n 七 辅助数列法七 辅助数列法 例例 12 已知数的递推关系为 且求通项 n a12 1 nn aa1 1 a n a 解 令则辅助数列是公比为 2 的等12 1 nn aa 1 21 1 nn aa1 nn ab n b 比数列 即 1 1 n n qbb nn n qaa2 1 1 1 1 12 n n a 例例 13 在数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 9 解析解析 在两边减去 得 nnn aaa 3 1 3 2 12 1 n a 3 1 112nnnn aaaa 是以为首项 以为公比的等比数列 nn aa 1 1 12 aa 3 1 由累加法得 1 1 3 1 n nn aa n a 112211 aaaaaaa nnnn 2 3 1 n 3 3 1 n 11 3 1 3 1 1 3 1 1 1 n 1 3 1 1 4 3 1 n1 3 1 4 3 4 7 n 例例 14 已知数列 中且 求数列的通项公式 n a1 1 a 1 1 n n n a a aNn 解 设 则 1 1 n n n a a a1 111 1 nn n n aa a a n n a b 1 1 1 nn bb 故 是以为首项 1 为公差的等差数列 n b1 1 1 1 a bnnbn 1 1 nb a n n 11 点评 这种方法类似于换元法 主要用于已知递推关系式求通项公式 五 构造新数列 类型 1 1 nfaa nn 解法 把原递推公式转化为 利用累加法 逐差相加法 求解 1 nfaa nn 例 1 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 解 由条件知 1 11 1 11 2 1 nnnnnn aa nn 分别令 代入上式得个等式累加之 即 1 3 2 1 nn 1 n 1342312 nn aaaaaaaa 所以 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn n aan 1 1 1 2 1 1 a nn an 1 2 31 1 2 1 10 类型 2 nn anfa 1 解法 把原递推公式转化为 利用累乘法 逐商相乘法 求解 1 nf a a n n 例 2 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 解 由条件知 分别令 代入上式得个等式累乘之 即 1 1 n n a a n n 1 3 2 1 nn 1 n 13 4 2 3 1 2 n n a a a a a a a a n n 1 4 3 3 2 2 1 na an1 1 又 3 2 1 a n an 3 2 例 3 已知 求 3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n n a 解 1 23 13 223 123 2 2 3 1 2 3 2 1 3 1 1 3 a n n n n an 34 375 26 3 31 348 531 nn nnn 变式 2004 全国 I 已知数列 an 满足 a1 1 n 2 则 1321 1 32 nn anaaaa an 的通项 1 n a 1 2 n n 解 由已知 得 用此式减去已知式 得 nnn naanaaaa 13211 1 32 当时 即 又 2 n nnn naaa 1nn ana 1 1 1 12 aa 将以上 n 个式子相乘 得n a a a a a a a a a n n 13 4 2 3 1 2 1 4 3 1 1 2 n an 2 n 类型 3 其中 p q 均为常数 qpaa nn 1 0 1 ppq 解法 待定系数法 把原递推公式转化为 其中 再利用换元法转 1 tapta nn p q t 1 化为等比数列求解 例 4 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 解 设递推公式可以转化为即 故递推32 1 nn aa 2 1 tata nn 32 1 ttaa nn 11 公式为 令 则 且 所以 3 23 1 nn aa3 nn ab43 11 ab2 3 3 11 n n n n a a b b 是以为首项 2 为公比的等比数列 则 所以 n b4 1 b 11 224 nn n b32 1 n n a 变式 2006 重庆 文 14 在数列中 若 则该数列的通项 n a 11 1 23 1 nn aaan n a key 32 1 n n a 类型 4 其中 p q 均为常数 或 n nn qpaa 1 0 1 1 qppq 其中 p q r 均为常数 1 n nn aparq 解法 一般地 要先在原递推公式两边同除以 得 引入辅助数列 其 1 n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 n b 中 得 再待定系数法解决 n n n q a b q b q p b nn 1 1 例 5 已知数列中 求 n a 6 5 1 a 1 1 2 1 3 1 n nn aa n a 解 在两边乘以得 1 1 2 1 3 1 n nn aa 1 2 n 1 2 3 2 2 1 1 n n n n aa 令 则 解之得 n n n ab 21 3 2 1 nn bb n n b 3 2 23 所以 nn n n n b a 3 1 2 2 1 3 2 类型 5 递推公式为 其中 p q 均为常数 nnn qapaa 12 解 特征根法 对于由递推公式 给出的数列 方程 nnn qapaa 12 21 aa n a 叫做数列的特征方程 0 2 qpxx n a 若是特征方程的两个根 21 x x 当时 数列的通项为 其中 A B 由决定 即把 21 xx n a 1 2 1 1 nn n BxAxa 21 aa 和 代入 得到关于 A B 的方程组 2121 xxaa2 1 n 1 2 1 1