2011高考数学课下练兵 立体几何中的向量方法 [理]

用心 爱心 专心 1 第七章第七章 第七节第七节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 理理 课下练兵场课下练兵场 命命 题题 报报 告告 难度及题号难度及题号 知识点知识点 容易题容易题 题号题号 中等题中等题 题号题号 稍难题稍难题 题号题号 利用空间向量证明利用空间向量证明 平行 垂直问题平行 垂直问题 1 11111 利用空间向量求异面利用空间向量求异面 直线所成角 线面角直线所成角 线面角 2 2 3 34 4 6 6 7 7 8 8 利用空间向量求二面角利用空间向量求二面角 5 5 1010 1212 9 9 一 选择题一 选择题 1 1 若直线 若直线l l的方向向量为的方向向量为a a 平面 平面 的法向量为的法向量为n n 能使 能使l l 的是的是 A A a a 1 0 0 1 0 0 n n 2 0 0 2 0 0 B B a a 1 3 5 1 3 5 n n 1 0 1 1 0 1 C C a a 0 2 1 0 2 1 n n 1 01 0 1 1 D D a a 1 1 1 3 1 3 n n 0 3 1 0 3 1 解析 若解析 若l l 则 则a na n 0 0 而而 A A 中中a na n 2 2 B B 中中a na n 1 1 5 5 6 6 C C 中中a na n 1 1 只有 只有 D D 选项中选项中a na n 3 3 3 3 0 0 答案 答案 D D 2 2 若向量 若向量a a 1 1 2 2 b b 2 2 1 2 1 2 且 且a a与与b b的夹角余弦值为的夹角余弦值为 则 则 等于等于 8 8 9 9 A A 2 2 B B 2 2 C C 2 2 或或 D D 2 2 或 或 2 2 5 55 5 2 2 5 55 5 解析 解析 cos cos a a b b 2 2 或或 a a b b a a b b 6 6 3 3 2 2 5 5 8 8 9 9 2 2 5 55 5 答案 答案 C C 3 3 在正方体 在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 中 M M为为DDDD1 1的中点 的中点 O O为底面为底面ABCDABCD的中心 的中心 P P为棱为棱A A1 1B B1 1上任意上任意 一点 则直线一点 则直线OPOP与直线与直线AMAM所成的角是所成的角是 A A B B C C D D 6 6 4 4 3 3 2 2 解析 解析 特殊位置法特殊位置法 将将P P点取为点取为A A1 1 作 作OEOE ADAD于于E E 连接 连接A A1 1E E 则 则A A1 1E E为为OAOA1 1在平面在平面ADAD1 1 内的射影 又内的射影 又AMAM A A1 1E E AMAM OAOA1 1 即 即AMAM与与OPOP成成 90 90 角 或建系利用向量法 角 或建系利用向量法 用心 爱心 专心 2 答案 答案 D D 4 4 2009 2009 全国卷全国卷 已知正四棱柱已知正四棱柱ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 中 AAAA1 1 2 2ABAB E E为为AAAA1 1中点 则异面直中点 则异面直 线线BEBE与与CDCD1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 A A B B C C D D 1 10 0 1 10 0 1 1 5 5 3 3 1 10 0 1 10 0 3 3 5 5 解析 如图连结解析 如图连结A A1 1B B 则有 则有A A1 1B B CDCD1 1 A A1 1BEBE就是异面直线就是异面直线BEBE与与CDCD1 1所成角 设所成角 设ABAB 1 1 则则A A1 1E E AEAE 1 1 BEBE 2 A A1 1B B 2 由余弦定理可知 由余弦定理可知 cos cos A A1 1BEBE 2513 10 102 25 答案 答案 C C 5 5 2009 2009 滨州模拟滨州模拟 在正方体在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 点中 点E E为为BBBB1 1的中点 则平面的中点 则平面A A1 1EDED与平面与平面 ABCDABCD所成的锐二面角的余弦值为所成的锐二面角的余弦值为 A A B B C C D D 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 解析 以解析 以A A为原点建系 设棱长为为原点建系 设棱长为 1 1 则则A A1 1 0 0 1 0 0 1 E E 1 0 1 0 1 1 2 2 D D 0 1 0 0 1 0 1 A D 0 1 0 1 1 1 1 A E 1 0 1 0 1 1 2 2 设平面设平面A A1 1EDED的法向量为的法向量为 n n1 1 1 1 y y z z 则则Error Error n n1 1 1 2 2 1 2 2 平面平面ABCDABCD的一个法向量为的一个法向量为n n2 2 0 0 1 0 0 1 cos cos n n1 1 n n2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 即所成的锐二面角的余弦值为即所成的锐二面角的余弦值为 2 2 3 3 答案 答案 B B 6 6 2009 2009 浙江高考浙江高考 在三棱柱在三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 点中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 点D D是侧面是侧面 BBBB1 1C C1 1C C的中心 则的中心 则ADAD与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成角的大小是所成角的大小是 A A 30 30 B B 45 45 C C 60 60 D D 90 90 用心 爱心 专心 3 解析 如图 取解析 如图 取BCBC中点中点E E 连结 连结DEDE AEAE ADAD 依题意知三棱柱为正三棱柱 易得 依题意知三棱柱为正三棱柱 易得AEAE 平面平面BBBB1 1C C1 1C C 故 故 ADEADE为为ADAD与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成的角 所成的角 设各棱长为设各棱长为 1 1 则 则AEAE 3 3 2 2 DEDE tan tan ADEADE 1 1 2 2 A AE E D DE E 3 3 2 2 1 1 2 23 3 ADEADE 60 60 答案 答案 C C 二 填空题二 填空题 7 7 长方体 长方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 中 ABAB AAAA1 1 2 2 ADAD 1 1 E E为为CCCC1 1的中点 则异面直线的中点 则异面直线BCBC1 1与与AEAE 所成角的余弦值为所成角的余弦值为 解析 建立坐标系如图 解析 建立坐标系如图 则则A A 1 0 0 1 0 0 E E 0 2 1 0 2 1 B B 1 2 0 1 2 0 C C1 1 0 2 2 0 2 2 1 BC 1 0 2 1 0 2 1 AE 1 2 1 1 2 1 cos cos 1 BCAE A A 1 1 BCAE BCAE A A 3 30 0 1 10 0 答案 答案 30 10 8 8 正四棱锥 正四棱锥S S ABCDABCD中 中 O O为顶点在底面上的射影 为顶点在底面上的射影 P P为侧棱为侧棱SDSD的中点 且的中点 且SOSO ODOD 则直 则直 线线BCBC与平面与平面PACPAC所成的角是所成的角是 解析 如图 以解析 如图 以O O为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系O xyz O xyz 设设OD SO OA OB OC aOD SO OA OB OC a 则则A A a a 0 0 0 0 B B 0 0 a a 0 0 用心 爱心 专心 4 C C a a 0 0 0 0 P P 0 0 2 2 a a 则则CA 2 2a a 0 0 0 0 AP a a CB a a a a 0 0 a a 2 2 a a 2 2 设平面设平面PACPAC的法向量为的法向量为n n 可求得 可求得n n 0 1 1 0 1 1 则则 cos cos CB n n CB n CB n A A A A a a 2 2a a2 2 2 2 1 1 2 2 CB n n 60 60 直线直线BCBC与平面与平面PACPAC所成的角为所成的角为 90 90 60 60 30 30 答案 答案 30 30 9 9 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2 32 3 则这个三棱锥的侧面和底面所成二面 则这个三棱锥的侧面和底面所成二面 角的度数为角的度数为 解析 设一个侧面面积为解析 设一个侧面面积为S S1 1 底面面积为 底面面积为S S 则这个侧面在底面上射影的面积为 则这个侧面在底面上射影的面积为 由题 由题 S S 3 3 设得设得 设侧面与底面所成二面角为 设侧面与底面所成二面角为 则 则 coscos S S1 1 S S 2 2 3 3 1 1 3 3S S S S1 1 S S 3 3S S1 1 1 1 2 2 60 60 答案 答案 60 60 三 解答题三 解答题 1010 2009 2009 包头模拟包头模拟 如图 四棱锥如图 四棱锥P P ABCDABCD的底面是矩形 侧面的底面是矩形 侧面PADPAD是正三角形 且侧是正三角形 且侧 面面PADPAD 底面底面ABCDABCD E E为侧棱为侧棱PDPD的中点 的中点 1 1 求证 求证 PBPB 平面平面EACEAC 2 2 若若ADAD ABAB 试求二面角 试求二面角A A PCPC D D的正切值 的正切值 解 法一 解 法一 1 1 证明 连接证明 连接BDBD交交ACAC于点于点O O 连接 连接OEOE 在 在 PDBPDB中 中 OEOE PBPB 又 又OEOE 平平 面面AECAEC PBPB 平面平面AECAEC 故 故PBPB 平面平面AECAEC 用心 爱心 专心 5 2 2 设设ADAD ABAB PDPD PAPA a a 侧面侧面PADPAD 底面底面ABCDABCD 又又CDCD ADAD CDCD 侧面侧面PADPAD AEAE DCDC 又又 PADPAD为正三角形 且为正三角形 且E E为为PDPD中点 中点 AEAE PDPD 故 故 AE AE 平面平面PDCPDC 在等腰在等腰 PDCPDC中 作中 作DMDM PCPC 则 则M M为为PCPC的中点 的中点 再作再作ENEN DMDM交交PCPC于点于点N N 则 则ENEN PCPC 连接 连接ANAN 则则 ANEANE为二面角为二面角A PC DA PC D的平面角 的平面角 在在RtRt PDCPDC中 中 DMDM 2 2 a a 所以 所以ENEN 2 4 a a 在等边在等边 PADPAD中 中 AEAE 3 2 a a 所以 所以tantan ANEANE 6 AE EN 法二 法二 1 1 证明 如图建立空间直角坐标系证明 如图建立空间直角坐标系O xyzO xyz 其中 其中O O为为ADAD的中点 设的中点 设 PA AD PD aPA AD PD a ABAB b b 则则P P 0 0 0 0 a a D D 0 0 0 0 E E 0 0 a a B B b b 0 0 3 3 2 2 a a 2 2 a a 4 4 3 3 4 4 a a 2 2 连接连接BDBD交交ACAC于点于点F F 则 则F F 0 0 0 0 b b 2 2 EF a a PB b b a a 2 2EF a a 4 4 b b 2 2 3 3 4 4 a a 2 2 3 3 2 2 EF PB 又 又EFEF 平面平面AECAEC 且 且PBPB 平面平面AECAEC PBPB 平面平面EACEAC 2 2 设设PAPA ADAD PDPD ABAB a a 则则P P 0 0 0 0 a a A A 0 0 0 0 C C a a 0 0 D D 0 0 0 0 3 3 2 2 a a 2 2 a a 2 2 a a 2 2 AC a a a a 0 0 PC a a a a a a 2 2 3 3 2 2 用心 爱心 专心 6 PD 0 0 a a a a 2 2 3 3 2 2 设设n n1 1 x x1 1 y y1 1 z z1 1 是平面是平面PACPAC的法向量 的法向量 则则 1 1 0 0 nAC nPC 即即Error 令令z z1 1 1 1 解得 解得x x1 1 y y1 1 n n1 1 1 1 3 33 33 3 设设n n2 2 x x2 2 y y2 2 z z2 2 是平面是平面PCDPCD的法向量 的法向量 则则 1 1 0 0 nAC nPD 即即Error 令令z z2 2 1 1 解得 解得x x2 2 y y2 2 0 0 n n2 2 0 1 0 1 3 33 3 cos cos n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 1 1 7 7 设所求二面角的平面角为设所求二面角的平面角为 则则 coscos sinsin tantan 1 1 7 7 6 6 7 76 6 1111 2010 2010 江苏苏北三市模拟江苏苏北三市模拟 如图 在四棱锥如图 在四棱锥P P ABCDABCD中 底面中 底面ABCDABCD为直角梯形 为直角梯形 ABAB CDCD BADBAD 90 90 PAPA 平面平面ABCDABCD ABAB 1 1 ADAD 2 2 PAPA CDCD 4 4 1 1 求证 求证 BDBD PCPC 2 2 求二面角求二面角B B PCPC A A的余弦值 的余弦值 解析 解析 1 1 证明 以证明 以A A为原点 建立如图所示空间直为原点 建立如图所示空间直 角坐标系 角坐标系 则则B B 0 1 0 0 1 0 C C 2 4 0 2 4 0 D D 2 0 0 2 0 0 P P 0 0 4 0 0 4 PC 2 42 4 4 4 BD 2 2 1 0 1 0 PC BD 4 4 4 4 0 0 所以所以PCPC BDBD 2 2 易证易证BD 为平面为平面PACPAC的法向量 的法向量 BD 2 2 1 0 1 0 设平面设平面PBCPBC的法向量的法向量n n a a b b c c 用心 爱心 专心 7 PB 0 1 0 1 4 4 BC 2 3 0 2 3 0 所以所以 0 0 n PB n BC A A A A Error 所以平面所以平面PBCPBC的法向量的法向量n n 6 4 1 6 4 1 cos cos BD n BC n A A 1 12 2 4 4 5 5 5 53 3 1 16 6 2 26 65 5 2 26 65 5 因为平面因为平面PACPAC和平面和平面PBCPBC所成的角为锐角 所成的角为锐角 所以二面角所以二面角B B PCPC A A的余弦值为的余弦值为 1 16 6 2 26 65 5 2 26 65 5 1212 2009 2009 湖北五市调研湖北五市调研 如图甲 直角梯形如图甲 直角梯形ABCDABCD中 中 ABAB CDCD DABDAB 点 点M M N N分别分别 2 2 在在ABAB CDCD上 且上 且MNMN ABAB MCMC CBCB BCBC 2 2 MBMB 4 4 现将梯形 现将梯形ABCDABCD沿沿MNMN折起 使平面折起 使平面 AMNDAMND与平面与平面MNCBMNCB垂直垂直 如图乙如图乙 1 1 求证 求证 ABAB 平面平面DNCDNC 2 2 当当DNDN的长为何值时 二面角的长为何值时 二面角D D BCBC N N的大小为的大小为 30 30 解 法一 解 法一 1 1 证明 证明 MBMB NCNC MBMB 平面平面DNCDNC NCNC 平面平面DNCDNC MBMB 平面平面DNCDNC 同理同理MAMA 平面平面DNCDNC 又 又MAMA MBMB M M 且 且MAMA MBMB MABNCD ABMAB 平平面面 平平面面 平平面面 ABAB 平面平面DNCDNC 2 2 过过N N作作NHNH BCBC交交BCBC延长线于延长线于H H 平面平面AMNDAMND 平面平面MNCBMNCB DNDN MNMN DNDN 平面平面MBCNMBCN 从而 从而DHDH BCBC DHNDHN为二面角为二面角D BC ND BC N的平面角 的平面角 由由MBMB 4 4 BCBC 2 2 MCBMCB 90 90 知知 MBCMBC 60 60 用心 爱心 专心 8 CNCN 4 2cos60 3 4 2cos60 3 NHNH 3sin60 3sin60 3 3 3 由条件知 由条件知 tan tan NHDNHD 3 3 DN NH DNDN NHNH 33 333 3232 A A 法二 如图 以点法二 如图 以点