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文档简介

平面向量一、向量的概念及线性运算向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)如a,零向量长度等于零的向量;其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a,与a同向且模为1的向量,叫做向量a的单位向量,可记作a0.a0共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作ab相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等的向量如a相反向量与向量a反向且等长的向量,叫做a的相反向量记作a向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:abba;(2)结合律:(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|;(2)当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,a0(a)()a;()aaa;(ab)ab1、已知点A(6,2),B(1,14),则与共线的单位向量为 ;同向的单位向量为 。解:因为点A(6,2),B(1,14),所以(5,12),|13,与共线的单位向量为(5,12)(,)同向的为(,)2、(假期作业P11T2,7,10,11)3、(1)若点M是ABC所在平面内的一点,且满足53,则ABM与ABC的面积比为( )A. B. C. D.解析设AB的中点为D,由53,得3322,即32.如图所示,故C,M,D三点共线,且,也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35,则ABM与ABC的面积比为,选C.(2)设O在ABC的内部,且有230,则ABC的面积和AOC的面积之比为()A3 B. C2 D.解析:选A设AC,BC的中点分别为M,N,则已知条件可化为()2()0,即20,所以2,说明M,O,N共线,即O为中位线MN上的靠近N的三等分点,SAOCSANCSABCSABC,所以3.(3)设O在ABC的内部,D为AB的中点,且20,则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A3 B4 C5 D6解析D为AB的中点,则(),又20,O为CD的中点,又D为AB中点,SAOCSADCSABC,则4.4、(1)在ABC中,E,F分别为AC,AB的中点,BE与CF相交于G点,设a,b,试用a,b表示.解()()(1)(1)ab.又m ()(1m)a(1m)b,解得m,ab.(2)如图所示,在ABO中,AD与BC相交于点M,设a,b.试用a和b表示向量.解设manb,则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线,与共线存在实数t,使得t,即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.,消去t得,m12n,即m2n1. 7分又manbaanb,baab.又C、M、B三点共线,与共线 10分存在实数t1,使得t1,anbt1,消去t1得,4mn1.由得m,n,ab.12分5、(1)在ABC中,N是AC边上一点,且,P是BN上的一点,若m,则实数m的值为()A. B. C1 D3解析:选B如图,因为,所以,mm,因为B、P、N三点共线,所以m1,所以m.(2)如图所示,在ABC中,点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若m,n,则mn的值为_解析O是BC的中点,()又m,n,.M,O,N三点共线,1.则mn2.(3)已知平面内一点P及ABC,若,则点P与ABC的位置关系是()A点P在线段AB上 B点P在线段BC上 C点P在线段AC上 D点P在ABC外部解析:选C由得,即2,所以点P在线段AC上,选C.二、共线(平行)定理若,则A、B、C三点共线设a(x1,y1),b(x2,y2),abab(b0);abx1y2x2y106、已知a(1,0),b(2,1)求:(1)|a3b|;(2)当k为何实数时,kab与a3b平行,平行时它们是同向还是反向?解:(1)因为a(1,0),b(2,1),所以a3b(7,3),来源:Z.xx.k.Com故|a3b|.(2)kab(k2,1),a3b(7,3),因为kab与a3b平行,所以3(k2)70,即k.此时kab(k2,1),a3b(7,3),则a3b3(kab),即此时向量a3b与kab方向相反7、设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2,3e12e2, 8e12e2,求证:A、C、D三点共线;(2)如果e1e2,2e13e2,2e1ke2,且A、C、D三点共线,求k的值解:(1)证明:e1e2,3e12e2,8e12e2,4e1e2(8e12e2),与共线又与有公共点C,A、C、D三点共线(2)(e1e2)(2e13e2)3e12e2,A、C、D三点共线,与共线,从而存在实数使得,即3e12e2(2e1ke2),得解得,k.三、数量积1 两个向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a和b,作a,b,则AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b(2)范围:向量夹角a,b的范围是0,且a,bb,a(3)向量垂直:如果a,b,则a与b垂直,记作ab.2 向量在轴上的正射影向量a在向量b上的正射影(简称射影) 3 向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义:|a|b|cosa,b叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cosa,b(2)向量数量积的性质:如果e是单位向量,则aeea|a|cosa,e;abab0;aa|a|2,|a|;cosa,b (|a|b|0);|ab|a|b|.(3)数量积的运算律:交换律:abba.分配律:(ab)cacbc.对R,(ab)(a)ba(b)(4)数量积的坐标运算设a(a1,a2),b(b1,b2),则aba1b1a2b2; aba1b1a2b20;|a|; cos a,b.8、(投影)(假期作业P11T9)(2013江西高考)设,为单位向量。且,的夹角为,若,则向量在方向上的射影为 .解析:向量在方向上的射影为. 答案:9、(纯向量)(假期作业P11T4,5,6,8,12,13,14)10、(1)(夹角)(2013安徽高考)若非零向量满足,则夹角的余弦值为_.不妨设 则又解得,. (2)(长度)(2012课标全国)已知向量a,b夹角为45,且|a|1,|2ab|,则|b|_.a,b的夹角为45,|a|1,ab|a|b|cos 45|b|,|2ab|244|b|b|210,|b|3.(3)(垂直)(2013山东)已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若A,且,则实数的值为_解:由知0,即()()(1)A22(1)32940,解得.(4)(2013天津高考)在平行四边形ABCD中,AD1,BAD60 , E为CD的中点若1 , 则AB的长为_解析:由已知得,221|21|cos 60|21,|.(5)在平面四边形ABCD中,若AC,BD2,则()()()A1 B2 C3 D4【解析】由向量的加法和减法可知()()()()22541.(6)在矩形ABCD中,AB,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是_【解析】法一以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),F(x,2)故(,0),(x,2),(,1),(x,2),(,0)(x,2)x.又,x1,(1,2)(,1)(1,2)22.法二设x,则(x1).()(x)x22x,x.(1).()(1)2224.11、(坐标法)(假期作业P11T3,13,14,P20T21)12、(1)设xR,向量a(x,1),b(1,2),且ab,则|ab|()A.B.C2D10解:ab,ab0,x2,a(2,1),a25,b25,|ab|.(2)(2014山东高考) 已知向量. 若向量的夹角为,则实数( ) ABC0DB(3)(2013福建高考)在四边形ABCD中,则四边形的面积为()ABCD,.设对角线交于点O,则四边形的面积等于四个三角形的面积之和,即.(3) .(4)已知向量,与的夹角是45.(1)求;(2)若与同向,且,求.解:(1),整理得,解得或(舍),.(2)由(1)知,.又与同向,故可设,13、(向量与三角)已知向量a(sin ,cos 2sin ),b(1,2)(1)若ab,求tan 的值;(2)若|a|b|,0,求的值解:(1)因为ab,所以2sin cos 2sin ,于是4sin cos ,故tan .(2)由|a|b|,知sin2(cos 2sin )25,所以12sin 24sin25.从而2sin 22(1cos 2)4,即sin 2cos 21,于是sin.又由0,知2,所以2或2.因此或.14、已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin ,cos )(1)若|,求的值;(2)若(2)1,其中O为坐标原点,求sin cos 的值【解】A(1,0),B(0,1),C(2sin ,cos ),(2sin 1,cos ),(2sin ,cos 1)(1)|,化简得2sin cos ,所以tan ,5.(2)(1,0),(0,1),(2sin ,cos ),2(1,2),(2)1,2sin 2cos 1.(sin cos )2,sin cos .15、已知向量m,n.(1)若mn1,求cos的值;(2)记f(x)mn,在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2ac)cos Bbcos C,求函数f(A)的取值范围解(1)mnsin cos cos2sin sin,mn1,sin.cos12sin2,coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C,由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C,2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC)ABC,sin(BC)sin A0.cos B,0B,B.0A.,sin.又f(x)sin.f(A)sin.故函数f(A)的取值范围是.16、已知a(5cos x,cos x),b(sin x,2cos x),设函数f(x)ab|b|2.(1)当x,时,求函数f(x)的值域;(2)当x,时,若f(x)8,求函数f(x)的值;(3)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位,得到函数yg(x)的图象,求函数g(x)的表达式并判断奇偶性解(1)f(x)ab|b|25sin xcos x2cos2x

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