高数中的重要定理与公式及其证明(二)

在这里 没有考不上的研究生 跨考魔鬼集训营 01 高数中的重要定理与公式及其证明 二 高数中的重要定理与公式及其证明 二 考研数学中最让考生头疼的当属证明题 而征服证明题的第一关就是教材 上种类繁多的定理证明 如果本着严谨的对待数学的态度 一切定理的推导过 程都是应该掌握的 但考研数学毕竟不是数学系的考试 很多时候要求没有那 么高 而有些定理的证明又过于复杂 硬要要求自己掌握的话很多时候可能是 又费时又费力 最后还弄得自己一头雾水 因此 在这方面可以有所取舍 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下 这些证明过程 或是直接 的考点 或是蕴含了重要的解题思想方法 在复习的初期 先掌握这些证明过 程是必要的 6 定积分比较定理 定积分比较定理 如果在区间上恒有 则有 a b 0f x 0 b a f x dx 推论 推论 如果在区间上恒有 则有 a b f xg x bb aa f x dxg x dx 设是函数在区间上的最大值与最小值 则有 Mm和 f x a b b a m baf x dxM ba 点评点评 定积分比较定理在解题时应用比较广 定积分中值定理也是它的推 论 掌握其证明过程 对理解及应用该定理很有帮助 具体的证明过程教材上 有 7 定积分中值定理 定积分中值定理 设函数在区间上连续 则在积分区间上至少存在一点使得下式 f x a b a b 成立 b a f x dxfba 点评点评 微积分的两大中值定理之一 定积分比较定理和闭区间上连续函数 的推论 在证明题中有重要的作用 考研真题中更是有直接用到该定理证明方 法的题目 重要性不严而喻 具体证明过程见教材 在这里 没有考不上的研究生 跨考魔鬼集训营 02 8 变上限积分求导定理 变上限积分求导定理 如果函数在区间上连续 则积分上限的函数在 f x a b x a xf x dx 上可导 并且它的导数是 a b x a d xf x dxf x axb dx 设函数 则有 u x v x F xf t dt F xf u x u xf v x v x 点评点评 不说了 考试直接就考过该定理的证明 具体证明过程见教材 9 牛顿 牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 如果函数在区间上连续 则有 其中是 f x a b b a f x dxF bF a F x 的原函数 f x 点评点评 微积分中最核心的定理 计算定积分的基础 变上限积分求导定理 的推论 具体证明过程见教材 10 费马引理 费马引理 设函数在点的某领域内有定义 并且在处可导 如果对任意的 f x 0 x 0 U x 0 x 有 那么 0 xU x 00 f xf xf xf x 或 0 0fx 点评点评 费马引理是罗尔定理的基础 其证明过程中用到了极限的保号性 是很重要的思想方法 具体证明过程见教材 11 罗尔定理 罗尔定理 如果函数满足 f x 1 在闭区间上连续 a b 2 在开区间上可导 a b 3 在区间端点处的函数值相等 即 f af b 那么在内至少存在一点 使得 a b ab 0f 点评点评 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理是一脉相承的三大定 理 它们从形式上看是由特殊到一般 后面的定理包含前面的定理 但实际上 却是相互蕴含 可以相互推导的 这几个定理的证明方法也就是与中值有关的 在这里 没有考不上的研究生 跨考魔鬼集训营 03 证明题主要的证明方法 中值定理的证明是高数中的难点 一定要多加注意 具体证明过程见教材 12 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数满足 f x 1 在闭区间上连续 a b 2 在开区间上可导 a b 那么在内至少存在一点 使得 a b ab f bf a f ba 点评点评 同上 13 柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数和