新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答

新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 1 页共 25 页 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 3 1 变化率与导数变化率与导数 练习练习 P6 在第 3 h 和 5 h 时 原油温度的瞬时变化率分别为和 3 它说明在第 3 h 附近 原油温度1 大约以 1 h 的速度下降 在第 5 h 时 原油温度大约以 3 h 的速率上升 练习练习 P8 函数在附近单调递增 在附近单调递增 并且 函数在附近比在附 h t 3 tt 4 tt h t 4 t 3 t 近增加得慢 说明 体会 以直代曲 的思想 练习练习 P9 函数的图象为 3 3 4 V r V 05 V 根据图象 估算出 0 6 0 3r 1 2 0 2r 说明 如果没有信息技术 教师可以将此图直接提供给学生 然后让学生根据导数的几何 意义估算两点处的导数 习题习题 1 1 A 组组 P10 1 在处 虽然 然而 0 t 1020 W tW t 10102020 W tW ttW tW tt tt 所以 企业甲比企业乙治理的效率高 说明 平均变化率的应用 体会平均变化率的内涵 2 所以 1 1 4 93 3 hhth t tt 1 3 3 h 这说明运动员在s 附近以 3 3 m s 的速度下降 1t 3 物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数在时的导数 s t5t 所以 5 5 10 ssts t tt 5 10 s 因此 物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m s 它在第 5 s 的动能 J 2 1 3 10150 2 k E 4 设车轮转动的角度为 时间为 则 t 2 0 ktt 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 2 页共 25 页 由题意可知 当时 所以 于是 0 8t 2 25 8 k 2 25 8 t 车轮转动开始后第 3 2 s 时的瞬时角速度就是函数在时的导数 t 3 2t 所以 3 2 3 2 25 20 8 t t tt 3 2 20 因此 车轮在开始转动后第 3 2 s 时的瞬时角速度为 20 1 s 说明 第 2 3 4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 5 由图可知 函数在处切线的斜率大于零 所以函数在附近单调递增 f x5x 5x 同理可得 函数在 0 2 附近分别单调递增 几乎没有变化 单调递减 f x4x 2 单调递减 说明 以直代曲 思想的应用 6 第一个函数的图象是一条直线 其斜率是一个小于零的常数 因此 其导数的图 fx 象如图 1 所示 第二个函数的导数恒大于零 并且随着的增加 的值也在增 fx x fx 加 对于第三个函数 当小于零时 小于零 当大于零时 大于零 并且随x fx x fx 着的增加 的值也在增加 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 x fx 说明 本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 习题习题 3 1 B 组组 P11 1 高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢 即速度 速度关于时间的导数刻画的是 速度变化的快慢 根据物理知识 这个量就是加速度 2 说明 由给出的的信息获得的相关信息 并据此画出的图象的大致形状 这个 v t s t s t 过程基于对导数内涵的了解 以及数与形之间的相互转换 3 由 1 的题意可知 函数的图象在点处的切线斜率为 所以此点附近曲 f x 1 5 1 线呈下降趋势 首先画出切线的图象 然后再画出此点附近函数的图象 同理可得 2 3 某点处函数图象的大致形状 下面是一种参考答案 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 3 页共 25 页 说明 这是一个综合性问题 包含了对导数内涵 导数几何意义的了解 以及对以直代曲 思想的领悟 本题的答案不唯一 1 2 导数的计算导数的计算 练习练习 P18 1 所以 27fxx 2 3 f 6 5 f 2 1 2 1 ln2 y x 2 x ye 3 4 4 106yxx 3sin4cosyxx 5 6 1 sin 33 x y 1 21 y x 习题习题 1 2 A 组组 P18 1 所以 2 SS rrS r rr rr 0 lim 2 2 r S rrrr 2 9 86 5h tt 3 3 2 13 34 r V V 4 1 2 2 1 3 ln2 yx x 1nxnx ynxex e 3 4 23 2 3sincoscos sin xxxxx y x 98 99 1 yx 5 6 2 x ye 2sin 25 4 cos 25 yxxx 5 由有 解得 82 2fxx 0 4fx 0 482 2x 0 3 2x 6 1 2 ln1yx 1yx 7 1 x y 8 1 氨气的散发速度 500 ln0 834 0 834tA t 2 它表示氨气在第 7 天左右时 以 25 5 克 天的速率减少 7 25 5 A 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 4 页共 25 页 习题习题 1 2 B 组组 P19 1 1 2 当越来越小时 就越来越逼近函数 h sin sinxhx y h cosyx 3 的导数为 sinyx cosyx 2 当时 所以函数图象与轴交于点 0y 0 x x 0 0 P 所以 x ye 0 1 x y 所以 曲线在点处的切线的方程为 Pyx 2 所以 上午 6 00 时潮水的速度为m h 上午 9 00 时潮水的速度 4sind tt 0 42 为m h 中午 12 00 时潮水的速度为m h 下午 6 00 时潮水的速度为0 63 0 83 m h 1 24 1 3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 练习练习 P26 1 1 因为 所以 2 24f xxx 22fxx 当 即时 函数单调递增 0fx 1x 2 24f xxx 当 即时 函数单调递减 0fx 1x 2 24f xxx 2 因为 所以 x f xex 1 x fxe 当 即时 函数单调递增 0fx 0 x x f xex 当 即时 函数单调递减 0fx 0 x x f xex 3 因为 所以 3 3f xxx 2 33fxx 当 即时 函数单调递增 0fx 11x 3 3f xxx 当 即或时 函数单调递减 0fx 1x 1x 3 3f xxx 4 因为 所以 32 f xxxx 2 321fxxx 当 即或时 函数单调递增 0fx 1 3 x 1x 32 f xxxx 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 5 页共 25 页 当 即时 函数单调递减 0fx 1 1 3 x 32 f xxxx 2 3 因为 所以 2 0 f xaxbxc a 2fxaxb 1 当时 0a 即时 函数单调递增 0fx 2 b x a 2 0 f xaxbxc a 即时 函数单调递减 0fx 2 b x a 2 0 f xaxbxc a 2 当时 0a 即时 函数单调递增 0fx 2 b x a 2 0 f xaxbxc a 即时 函数单调递减 0fx 2 b x a 2 0 f xaxbxc a 4 证明 因为 所以 32 267f xxx 2 612fxxx 当时 0 2 x 2 6120fxxx 因此函数在内是减函数 32 267f xxx 0 2 练习练习 P29 1 是函数的极值点 24 x x yf x 其中是函数的极大值点 是函数的极小值点 2 xx yf x 4 xx yf x 2 1 因为 所以 2 62f xxx 121fxx 令 得 1210fxx 1 12 x 当时 单调递增 当时 单调递减 1 12 x 0fx f x 1 12 x 0fx f x 所以 当时 有极小值 并且极小值为 1 12 x f x 2 11149 6 2 12121224 f 2 因为 所以 3 27f xxx 2 327fxx 令 得 2 3270fxx 3x 下面分两种情况讨论 当 即或时 当 即时 0fx 3x 3x 0fx 33x 注 图象形状不唯一 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 6 页共 25 页 当变化时 变化情况如下表 x fx f x x 3 3 3 3 3 3 fx 0 0 f x 单调递增54单调递减54 单调递增 因此 当时 有极大值 并且极大值为 54 3x f x 当时 有极小值 并且极小值为 3x f x54 3 因为 所以 3 6 12f xxx 2 123fxx 令 得 2 1230fxx 2x 下面分两种情况讨论 当 即时 当 即或时 0fx 22x 0fx 2x 2x 当变化时 变化情况如下表 x fx f x x 2 2 2 2 2 2 fx 0 0 f x 单调递减10 单调递增22单调递减 因此 当时 有极小值 并且极小值为 2x f x10 当时 有极大值 并且极大值为 222x f x 4 因为 所以 3 3f xxx 2 33fxx 令 得 2 330fxx 1x 下面分两种情况讨论 当 即时 当 即或时 0fx 11x 0fx 1x 1x 当变化时 变化情况如下表 x fx f x x 1 1 1 1 1 1 fx 0 0 f x 单调递减2 单调递增2单调递减 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 7 页共 25 页 因此 当时 有极小值 并且极小值为 1x f x2 当时 有极大值 并且极大值为 21x f x 练习练习 P31 1 在上 当时 有极小值 并且极小值为 0 2 1 12 x 2 62f xxx 149 1224 f 又由于 0 2f 2 20f 因此 函数在上的最大值是 20 最小值是 2 62f xxx 0 2 49 24 2 在上 当时 有极大值 并且极大值为 4 4 3x 3 27f xxx 3 54f 当时 有极小值 并且极小值为 3x 3 27f xxx 3 54f 又由于 4 44f 4 44f 因此 函数在上的最大值是 54 最小值是 3 27f xxx 4 4 54 3 在上 当时 有极大值 并且极大值为 1 3 3 2x 3 6 12f xxx 2 22f 又由于 155 327 f 3 15f 因此 函数在上的最大值是 22 最小值是 3 6 12f xxx 1 3 3 55 27 4 在上 函数无极值 2 3 3 3f xxx 因为 2 2f 3 18f 因此 函数在上的最大值是 最小值是 3 3f xxx 2 3 2 18 习题习题 1 3 A 组组 P31 1 1 因为 所以 21f xx 20fx 因此 函数是单调递减函数 21f xx 2 因为 所以 cosf xxx 0 2 x 1 sin0fxx 0 2 x 因此 函数在上是单调递增函数 cosf xxx 0 2 3 因为 所以 24f xx 20fx 因此 函数是单调递减函数 24f xx 4 因为 所以 3 24f xxx 2 640fxx 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 8 页共 25 页 因此 函数是单调递增函数 3 24f xxx 2 1 因为 所以 2 24f xxx 22fxx 当 即时 函数单调递增 0fx 1x 2 24f xxx 当 即时 函数单调递减 0fx 1x 2 24f xxx 2 因为 所以 2 233f xxx 43fxx 当 即时 函数单调递增 0fx 3 4 x 2 233f xxx 当 即时 函数单调递减 0fx 3 4 x 2 233f xxx 3 因为 所以 3 3f xxx 2 330fxx 因此 函数是单调递增函数 3 3f xxx 4 因为 所以 32 f xxxx 2 321fxxx 当 即或时 函数单调递增 0fx 1x 1 3 x 32 f xxxx 当 即时 函数单调递减 0fx 1 1 3 x 32 f xxxx 3 1 图略 2 加速度等于 0 4 1 在处 导函数有极大值 2 xx yfx 2 在和处 导函数有极小值 1 xx 4 xx yfx 3 在处 函数有极大值 3 xx yf x 4 在处 函数有极小值 5 xx yf x 5 1 因为 所以 2 62f xxx 121fxx 令 得 1210fxx 1 12 x 当时 单调递增 1 12 x 0fx f x 当时 单调递减 1 12 x 0fx f x 所以 时 有极小值 并且极小值为 1 12 x f x 2 11149 6 2 12121224 f 2 因为 所以 3 12f xxx 2 312fxx 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 9 页共 25 页 令 得 2 3120fxx 2x 下面分两种情况讨论 当 即或时 当 即时 0fx 2x 2x 0fx 22x 当变化时 变化情况如下表 x fx f x x 2 2 2 2 2 2 fx 0 0 f x 单调递增16单调递减16 单调递增 因此 当时 有极大值 并且极大值为 16 2x f x 当时 有极小值 并且极小值为 2x f x16 3 因为 所以 3 6 12f xxx 2 123fxx 令 得 2 1230fxx 2x 下面分两种情况讨论 当 即或时 当 即时 0fx 2x 2x 0fx 22x 当变化时 变化情况如下表 x fx f x x 2 2 2 2 2 2 fx 0 0 f x 单调递增22单调递减10 单调递增 因此 当时 有极大值 并且极大值为 22 2x f x 当时 有极小值 并且极小值为 2x f x10 4 因为 所以 3 48f xxx 2 483fxx 令 得 2 4830fxx 4x 下面分两种情况讨论 当 即或时 当 即时 0fx 2x 2x 0fx 22x 当变化时 变化情况如下表 x fx f x 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 10 页共 25 页 x 4 4 4 4 4 4 fx 0 0 f x 单调递减128 单调递增128单调递减 因此 当时 有极小值 并且极小值为 4x f x128 当时 有极大值 并且极大值为 128 4x f x 6 1 在上 当时 函数有极小值 并且极小值为 1 1 1 12 x 2 62f xxx 47 24 由于 1 7f 1 9f 所以 函数在上的最大值和最小值分别为 9 2 62f xxx 1 1 47 24 2 在上 当时 函数有极大值 并且极大值为 16 3 3 2x 3 12f xxx 当时 函数有极小值 并且极小值为 2x 3 12f xxx 16 由于 3 9f 3 9f 所以 函数在上的最大值和最小值分别为 16 3 12f xxx 3 3 16 3 在上 函数在上无极值 1 1 3 3 6 12f xxx 1 1 3 由于 1269 327 f 1 5f 所以 函数在上的最大值和最小值分别为 3 6 12f xxx 1 1 3 269 27 5 4 当时 有极大值 并且极大值为 128 4x f x 由于 3 117f 5 115f 所以 函数在上的最大值和最小值分别为 128 3 48f xxx 3 5 117 习题习题 3 3 B 组组 P32 1 1 证明 设 sinf xxx 0 x 因为 cos10fxx 0 x 所以在内单调递减 sinf xxx 0 因此 即 图略 sin 0 0f xxxf 0 x sin xx 0 x 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 11 页共 25 页 2 证明 设 2 f xxx 0 1 x 因为 1 2fxx 0 1 x 所以 当时 单调递增 1 0 2 x 1 20fxx f x 2 0 0f xxxf 当时 单调递减 1 1 2 x 1 20fxx f x 2 1 0f xxxf 又 因此 图略 11 0 24 f 2 0 xx 0 1 x 3 证明 设 1 x f xex 0 x 因为 1 x fxe 0 x 所以 当时 单调递增 0 x 10 x fxe f x 1 0 0 x f xexf 当时 单调递减 0 x 10 x fxe f x 1 0 0 x f xexf 综上 图略1 x ex 0 x 4 证明 设 lnf xxx 0 x 因为 1 1fx x 0 x 所以 当时 单调递增 01x 1 10fx x f x ln 1 10f xxxf 当时 单调递减 1x 1 10fx x f x ln 1 10f xxxf 当时 显然 因此 1x ln1 1 ln xx 由 3 可知 1 x exx 0 x 综上 图略ln x xxe 0 x 2 1 函数的图象大致是个 双峰 图象 类似 或 32 f xaxbxcxd 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 12 页共 25 页 的形状 若有极值 则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值 从图象上 能大致估计它的单调区间 2 因为 所以 32 f xaxbxcxd 2 32fxaxbxc 下面分类讨论 当时 分和两种情形 0a 0a 0a 当 且时 0a 2 30bac 设方程的两根分别为 且 2 320fxaxbxc 12 x x 12 xx 当 即或时 函数单调递 2 320fxaxbxc 1 xx 2 xx 32 f xaxbxcxd 增 当 即时 函数单调递减 2 320fxaxbxc 12 xxx 32 f xaxbxcxd 当 且时 0a 2 30bac 此时 函数单调递增 2 320fxaxbxc 32 f xaxbxcxd 当 且时 0a 2 30bac 设方程的两根分别为 且 2 320fxaxbxc 12 x x 12 xx 当 即时 函数单调递增 2 320fxaxbxc 12 xxx 32 f xaxbxcxd 当 即或时 函数单调递 2 320fxaxbxc 1 xx 2 xx 32 f xaxbxcxd 减 当 且时 0a 2 30bac 此时 函数单调递减 2 320fxaxbxc 32 f xaxbxcxd 1 4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 习题习题 1 4 A 组组 P37 1 设两段铁丝的长度分别为 则这两个正方形的边长分别为 两个正xlx 4 x 4 lx 方形的面积和为 2222 1 22 4416 xlx Sf xxlxl 0 xl 令 即 0fx 420 xl 2 l x 当时 当时 0 2 l x 0fx 2 l xl 0fx 因此 是函数的极小值点 也是最小值点 2 l x f x 所以 当两段铁丝的长度分别是时 两个正方形的面积和最小 2 l x a 第 2 题 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 13 页共 25 页 2 如图所示 由于在边长为的正方形铁片的四角截去a 四个边长为的小正方形 做成一个无盖方盒 所以无x 盖方盒的底面为正方形 且边长为 高为 2ax x 1 无盖方盒的容积 2 2 V xaxx 0 2 a x 2 因为 322 44V xxaxa x 所以 22 128V xxaxa 令 得 舍去 或 0V x 2 a x 6 a x 当时 当时 0 6 a x 0V x 6 2 a a x 0V x 因此 是函数的极大值点 也是最大值点 6 a x V x 所以 当时 无盖方盒的容积最大 6 a x 3 如图 设圆柱的高为 底半径为 hR 则表面积 2 22SRhR 由 得 2 VR h 2 V h R 因此 22 2 2 222 VV S RRRR RR 0R 令 解得 2 40 V S RR R 3 2 V R 当时 3 0 2 V R 0S R 当时 3 2 V R 0S R 因此 是函数的极小值点 也是最小值点 此时 3 2 V R S R 3 2 22 2 VV hR R 所以 当罐高与底面直径相等时 所用材料最省 4 证明 由于 所以 2 1 1 n i i f xxa n 1 2 n i i fxxa n 令 得 0fx 1 1 n i i xa n 可以得到 是函数的极小值点 也是最小值点 1 1 n i i xa n f x R h 第 3 题 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 14 页共 25 页 这个结果说明 用个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的 n 1 1 n i i a n 这就是最小二乘法的基本原理 5 设矩形的底宽为m 则半圆的半径为m 半圆的面积为 x 2 x 2 8 x 2 m 矩形的面积为 矩形的另一边长为m 2 8 x a 2 m 8 ax x 因此铁丝的长为 22 1 244 xaxa l xxx xx 8 0 a x 令 得 负值舍去 2 2 10 4 a l x x 8 4 a x 当时 当时 8 0 4 a x 0l x 88 4 aa x 0l x 因此 是函数的极小值点 也是最小值点 8 4 a x l x 所以 当底宽为m 时 所用材料最省 8 4 a 6 利润等于收入减去成本 而收入等于产量乘单价 LRCR 由此可得出利润与产量的函数关系式 再用导数求最大利润 Lq 收入 2 11 25 25 88 Rq pqqqq 利润 22 11 25 1004 21100 88 LRCqqqqq 0200q 求导得 1 21 4 Lq 令 即 0L 1 210 4 q 84q 当时 当时 0 84 q 0L 84 200 q 0L 因此 是函数的极大值点 也是最大值点 84q L 所以 产量为 84 时 利润最大 L 习题习题 1 4 B 组组 P37 1 设每个房间每天的定价为元 x 那么宾馆利润 2 1801 50 20 701360 1010 x L xxxx 180680 x 令 解得 1 700 5 L xx 350 x 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 15 页共 25 页 当时 当时 180 350 x 0L x 350 680 x 0L x 因此 是函数的极大值点 也是最大值点 350 x L x 所以 当每个房间每天的定价为 350 元时 宾馆利润最大 2 设销售价为元 件时 x 利润 4 4 5 bx L xxa ccc xax bb 5 4 b ax 令 解得 845 0 cacbc L xx bb 45 8 ab x 当时 当时 45 8 ab xa 0L x 455 84 abb x 0L x 当是函数的极大值点 也是最大值点 45 8 ab x L x 所以 销售价为元 件时 可获得最大利润 45 8 ab 1 5 定积分的概念定积分的概念 练习练习 P42 8 3 说明 进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤 体会 以直代曲 和 逼近 的思想 练习练习 P45 1 22 112 2 ii iii ssvt nnnnnn 1 2 in 于是 111 nnn ii iii i sssvt n 2 1 12 n i i nnn 222 11111 2 nn nnnnnn 22 3 1 12 2n n 3 1 1 21 2 6 n nn n 111 1 1 2 32nn 取极值 得 11 11115 lim lim 1 1 2 323 nn nn ii i sv nnnn 说明 进一步体会 以不变代变 和 逼近 的思想 2 km 22 3 说明 进一步体会 以不变代变 和 逼近 的思想 熟悉求变速直线运动物体路程的方 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 16 页共 25 页 法和步骤 练习练习 P48 说明 进一步熟悉定积分的定义和几何意义 2 3 0 4x dx 从几何上看 表示由曲线与直线 所围成的曲边梯形的面积 3 yx 0 x 2x 0y 4S 习题习题 1 5 A 组组 P50 1 1 100 2 1 1 11 1 1 1 0 495 100100 i i xdx 2 500 2 1 1 11 1 1 1 0 499 500500 i i xdx 3 1000 2 1 1 11 1 1 1 0 4995 10001000 i i xdx 说明 体会通过分割 近似替换 求和得到定积分的近似值的方法 2 距离的不足近似值为 m 18 1 12 1 7 1 3 1 0 140 距离的过剩近似值为 m 27 1 18 1 12 1 7 1 3 167 3 证明 令 用分点 1f x 011iin axxxxxb 将区间等分成个小区间 在每个小区间上任取一点 a bn 1 ii xx 1 2 i in 作和式 11 nn i ii ba fxba n 从而 1 1lim n b an i ba dxba n 说明 进一步熟悉定积分的概念 4 根据定积分的几何意义 表示由直线 以及曲线 1 2 0 1x dx 0 x 1x 0y 所围成的曲边梯形的面积 即四分之一单位圆的面积 因此 2 1yx 1 2 0 1 4 x dx 5 1 0 3 1 1 4 x dx 由于在区间上 所以定积分表示由直线 和曲线 1 0 3 0 x 0 3 1 x dx 0 x 1x 0y 所围成的曲边梯形的面积的相反数 3 yx 2 根据定积分的性质 得 101 333 110 11 0 44 x dxx dxx dx 由于在区间上 在区间上 所以定积分等于位于轴上方的 1 0 3 0 x 0 1 3 0 x 1 3 1 x dx x 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 17 页共 25 页 曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积 x 3 根据定积分的性质 得 202 333 110 115 4 44 x dxx dxx dx 由于在区间上 在区间上 所以定积分等于位于轴上方 1 0 3 0 x 0 2 3 0 x 2 3 1 x dx x 的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积 x 说明 在 3 中 由于在区间上是非正的 在区间上是非负的 如果直接 3 x 1 0 0 2 利用定义把区间分成等份来求这个定积分 那么和式中既有正项又有负项 而且无 1 2 n 法抵挡一些项 求和会非常麻烦 利用性质 3 可以将定积分化为 这 2 3 1 x dx 02 33 10 x dxx dx 样 在区间和区间上的符号都是不变的 再利用定积分的定义 容易求出 3 x 1 0 0 2 进而得到定积分的值 由此可见 利用定积分的性质可以化简运算 0 3 1 x dx 2 3 0 x dx 2 3 1 x dx 在 2 3 中 被积函数在积分区间上的函数值有正有负 通过练习进一步体会定积分的 几何意义 习题习题 1 5 B 组组 P50 1 该物体在到 单位 s 之间走过的路程大约为 145 m 0t 6t 说明 根据定积分的几何意义 通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走 过的路程 2 1 9 81vt 2 过剩近似值 m 8 1 118 9 9 819 8188 29 2242 i i 不足近似值 m 8 1 1118 7 9 819 8168 67 2242 i i 3 m 4 0 9 81tdt 4 0 9 81d78 48t t 3 1 分割 在区间上等间隔地插入个分点 将它分成个小区间 0 l1n n 0 l n 2 ll n n 2 nl l n 记第 个区间为 其长度为i 1 il il nn 1 2 in 1 ilill x nnn 把细棒在小段 上质量分别记作 0 l n 2 ll n n 2 nl l n 12 n mmm 则细棒的质量 1 n i i mm 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 18 页共 25 页 2 近似代替 当很大 即很小时 在小区间上 可以认为线密度的值变nx 1 il il nn 2 xx 化很小 近似地等于一个常数 不妨认为它近似地等于任意一点处的函数 1 i il il nn 值 于是 细棒在小段上质量 2 ii 1 il il nn 2 iii l mx n 1 2 in 3 求和 得细棒的质量 2 111 nnn iii iii l mmx n 4 取极限 细棒的质量 所以 2 1 lim n i n i l m n 2 0 l mx dx 1 6 微积分基本定理微积分基本定理 练习练习 P55 1 50 2 3 4 24 50 3 4 25 33 5 6 7 0 8 3 ln2 2 1 2 2 说明 本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分 习题习题 1 6 A 组组 P55 1 1 2 3 40 3 1 3ln2 2 9 ln3ln2 2 4 5 6 17 6 2 3 1 8 2 2ln2ee 说明 本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分 2 3 3 0 0 sin cos 2xdxx 它表示位于轴上方的两个曲边梯形的面积与轴下方的曲边梯形的面积之差 或表述为 xx 位于轴上方的两个曲边梯形的面积 取正值 与轴下方的曲边梯形的面积 取负值 的xx 代数和 习题习题 1 6 B 组组 P55 1 1 原式 2 原式 2 21 0 11 222 x e e 4 6 113 sin2 224 x 3 原式 3 1 26 ln2ln2 x 2 1 cos1 sin coscos 0 mx mxdxmm mm 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 19 页共 25 页 2 sin1 cos sinsin 0 mx mxdxmm mm 3 2 1 cos2sin2 sin 224 mxxmx mxdxdx m 4 2 1 cos2sin2 cos 224 mxxmx mxdxdx m 3 1 0 2 0 222 0 1 49245245 t ktkt tktt gggggg s tedttetete kkkkkk 2 由题意得 0 2 492452455000 t te 这是一个超越方程 为了解这个方程 我们首先估计 的取值范围 t 根据指数函数的性质 当时 从而 0t 0 2 01 t e 5000495245t 因此 50005245 4949 t 因此 5000 0 2 7 49 2453 36 10e 5245 0 2 7 49 2451 24 10e 所以 70 27 1 24 102453 36 10 t e 从而 在解方程时 可以忽略不计 0 2 492452455000 t te 0 2 245 t e 因此 解之得 s 492455000t 5245 49 t 说明 B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分 可视学生的具体情况选 做 不要求掌握 1 7 定积分的简单应用定积分的简单应用 练习练习 P58 1 2 1 32 3 说明 进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程 练习练习 P59 1 m 5 25 3 3 23 3 22stdttt 2 J 4 24 0 0 3 34 4 40 2 Wxdxxx 习题习题 1 7 A 组组 P60 1 1 2 2 9 2 2 2 b b a a qqqq Wkdrkkk rrab 3 令 即 解得 即第 4s 时物体达到最大高度 0v t 40 100t 4t 最大高度为 m 4 2 4 0 0 40 10 405 80ht dttt 4 设 s 后两物体相遇 则 t 2 00 31 105 tt tdttdt 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 20 页共 25 页 解之得 即两物体 5s 后相遇 5t A B 此时 物体离出发地的距离为 m A 5 235 0 0 31 130tdttt 5 由 得 解之得 Fkl 100 01k 1000k 所做的功为 J 0 1 2 0 1 0 0 10005005Wldll 6 1 令 解之得 因此 火车经过 10s 后完全停止 55 50 1 v tt t 10t 2 m 10 210 0 0 551 5 555ln 1 55ln11 12 stdtttt t 习题习题 1 7 B 组组 P60 1 1 表示圆与轴所围成的上 22 a a ax dx 222 xya x 半圆的面积 因此 2 22 2 a a a ax dx 2 表示圆与直线 1 2 0 1 1 xx dx 22 1 1xy 所围成的图形 如图所示 的面积 yx 因此 2 1 2 0 111 1 1 1 1 4242 xx dx 2 证明 建立如图所示的平面直角坐标系 可设抛物线的 方程为 则 所以 2 yax 2 2 b ha 2 4h a b 从而抛物线的方程为 2 2 4h yx b 于是 抛物线拱的面积 23 22 0 22 0 442 2 2 33 bb hh Shxdxhxxbh bb 3 如图所示 解方程组 2 2 3 yx yx 得曲线与曲线交点的横坐标 2 2yx 3yx 1 1x 2 2x 于是 所求的面积为 12 22 01 2 3 3 2 1xx dxxxdx 4 证明 2 R h R h R R MmMmMmh WGdrGG rrR Rh 第一章 复习参考题A 组 组 P65 1 1 3 2 4y y x O 1 第 1 2 题 y x h b O 第 2 题 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 21 页共 25 页 2 1 2 2 2sin cos2 cos xxx y x 2 3 2 31 53 yxxx 3 4 2 2 ln ln2 x x yx x 2 4 22 21 xx y x 3 3 2GMm F r 4 1 因为红茶的温度在下降 0f t 2 表明在 3 附近时 红茶温度约以 4 min 的速度下降 图略 3 4 f 5 因为 所以 32 f xx 3 2 3 fx x 当 即时 单调递增 3 2 0 3 fx x 0 x f x 当 即时 单调递减 3 2 0 3 fx x 0 x f x 6 因为 所以 2 f xxpxq 2fxxp 当 即时 有最小值 20fxxp 1 2 p x f x 由 得 又因为 所以 1 2 p 2p 1 1 24fq 5q 7 因为 2322 2f xx xcxcxc x 所以 22 34 3 fxxcxcxc xc 当 即 或时 函数可能有极值 0fx 3 c x xc 2 f xx xc 由题意当时 函数有极大值 所以 2x 2 f xx xc 0c 由于 所以 当时 函数有极大值 此时 3 c x 2 f xx xc 2 3 c 6c 8 设当点的坐标为时 的面积最小 A 0 aAOB 因为直线过点 AB 0 A a 1 1 P x 3 c 3 c 3 c cc c fx 0 0 f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 22 页共 25 页 所以直线的方程为 即 AB 0 01 yxa xa 1 1 yxa a 当时 即点的坐标是 0 x 1 a y a B 0 1 a a 因此 的面积 AOB 2 1 212 1 AOB aa SS aa aa 令 即 0S a 2 2 12 0 2 1 aa S a a 当 或时 不合题意舍去 0a 2a 0S a 0a 由于 所以 当 即直线的倾斜角为时 的面积最小 最小面积为 2 2a AB135 AOB 9 D 10 设底面一边的长为m 另一边的长为m 因为钢条长为 14 8m x 0 5 x 所以 长方体容器的高为 14 844 0 5 12 88 3 22 44 xxx x 设容器的容积为 则V 32 0 5 3 22 22 21 6VV xx xxxxx 01 6x 令 即 0V x 2 64 41 60 xx 所以 舍去 或 4 15 x 1x 当时 当时 0 1 x 0V x 1 1 6 x 0V x 因此 是函数在的极大值点 也是最大值点 1x V x 0 1 6 所以 当长方体容器的高为 1 m 时 容器最大 最大容器为 1 8 m3 11 设旅游团人数为时 100 x 旅行社费用为 2 100 10005 5500 100000yf xxxx 080 x 令 即 0fx 105000 x 50 x 又 0 100000f 80 108000f 50 112500f 所以 是函数的最大值点 50 x f x x 0 2 2 2 fx 0 f x 单调递减极小值单调递增 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 23 页共 25 页 所以 当旅游团人数为 150 时 可使旅行社收费最多 12 设打印纸的长为cm 时 可使其打印面积最大 x 因为打印纸的面积为 623 7 长为 所以宽为 x 623 7 x 打印面积 623 7 2 2 54 2 3 17 S xx x 2 3168 396 655 90726 34x x 5 0898 38x 令 即 负值舍去 0S x 2 3168 396 6 340 x 22 36x 623 7 27 89 22 36 是函数在内唯一极值点 且为极大值 从而是最大值点 22 36x S x 5 08 98 38 所以 打印纸的长 宽分别约为 27 89cm 22 36cm 时 可使其打印面积最大 13 设每年养头猪时 总利润为元 qy 则 2 1 20000 10030020000 2 yR qqqq 0400 qqN 令 即 0y 3000q 300q 当时 当时 300q 25000y 400q 20000y 是函数在内唯一极值点 且为极大值点 从而是最大值点 300q y p 0 400 所以 每年养 300 头猪时 可使总利润最大 最大总利润为 25000 元 14 1 2 3 1 2 32 22e 4 原式 22 222 0 00 cossin cossin sincos 0 cossin xx dxxx dxxx xx 5 原式 22 0 0 1 cossin2 224 xxx dx 15 略 说明 利用函数图象的对称性 定积分的几何意义进行解释 16 2 22 17 由 得 解之得 Fkl 0 0490 01k 4 9k 所做的功为 J 2 0 3 0 3 0 1 0 1 4 94 90 196 2 l Wldl 第一章 复习参考题B 组 组 P66 1 1 所以 细菌在与时的瞬时速度分别为 0 和 43 102 10b tt 5t 10t 4 10 2 当时 所以细菌在增加 05t 0b t 当时 所以细菌在减少 555 5t 0b t 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 24 页共 25 页 2 设扇形的半径为 中心角为弧度时 扇形的面积为 r S 因为 所以 2 1 2 Sr 2lrr 2 l r 222 111 2 2 222 l Srrlrr r 0 2 l r 令 即 此时为 2 弧度 0S 40lr 4 l r 是函数在内唯一极值点 且是极大值点 从而是最大值点 4 l r S r 0 2 l 所以 扇形的半径为 中心角为 2 弧度时 扇形的面积最大 4 l 3 设圆锥的底面半径为 高为 体积为 那么 rhV 222 rhR 因此 22223 1111 3333 Vr hRh hR hh 0hR 令 解得 22 1 0 3 VRh 3 3 hR 容易知道 是函数的极大值点 也是最大值点 3 3 hR V h 所以 当时 容积最大 3 3 hR 把代入 得 3 3 hR 222 rhR 6 3 rR 由 得 2Rr 2 6 3 所以 圆心角为时 容积最大 2 6 3 4 由于 所以 2 8010k 4 5 k 设船速为km h 时 总费用为 则xy 2 42020 480 5 yx xx 9600 16x x 0 x 令 即 0y 2 9600 160 x 24x 容易知道 是函数的极小值点 也是最小值点 24x y 当时 元 时 24x 960020 16 24 941 2424 所以 船速约为 24km h 时 总费用最少 此时每小时费用约为 941 元 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 25 页共 25 页 5 设汽车以km h 行驶时 行车的总费用 x 2 390130 3 14 360 x y xx 50100 x 令 解得 km h 此时 元 0y 53x 114y 容易得到 是函数的极小值点 也是最小值点 53x y 因此 当时 行车总费用最少 53x 所以 最经济的车速约为 53km h 如果不考虑其他费用 这次行车的总费用约是 114 元 6 原式 404 0442 20 220 2 xxxxx e dxe dxe dxeeee 7 解方程组 2 ykx yxx 得 直线与抛物线交点的横坐标为 ykx 2 yxx 0 x 1 k 抛物线与轴所围图形的面积 x 23 1 21 0 0 111 23236 xx Sxxdx 由题设得 11 2 00 2 kk S xxdxkxdx 3 1 221 0 0 1 23 k k kx xxkx dxx 3 1 6 k 又因为 所以 于是 1 6 S 3 1 1 2 k 3 4 1 2 k 说明 本题也可以由面积相等直接得到 由此 111 22 000 kkk xxkx dxkxdxxxdx 求出的值 但计算较为烦琐 k 新课程标准数学选修 2 2 第二章课后习题解答 第二章第二章 推理与证明推理与证明 2 1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 练习练习 P77 1 由 1234 1aaaa 猜想1 n a 2 相邻两行数之间的关系是 每一行首尾的数都是 1 其他的数都等于上一行中与之相邻 新课程标准数学选修 2 2 第一章课后习题解答 第 26 页共 25 页 的两个数的和 3 设 1 1 1 O PQ R V 和 222 O P Q R V 分别是四面体 111 OPQ R 和 222 OPQ R 的体积 则 1 1 1 222 111 222 O PQ R O P Q R V OPOQOR VOPOQOR 练习练习 P81 1 略 2 因为通项公式为 n a的数列 n a 若 1n n a p a 其中p是非零常数 则 n a是等比数列 大前提 又因为0cq 则0q 则 1 1 n n n n acq q acq 小前提 所以 通项公式为 0 n n acqcq 的数列 n a是等比数列 结论 3 由ADBD 得到ACDBCD 的推理是错误的 因为这个推理的大前提是 在同 一个三角形中 大边对大角 小前提是 ADBD 而AD与BD不在同一个三角形中 习题习题 2 1 A 组组 P83 1 2 1 n a n nN 2 2FVE 3 当6n 时 12 2 1 n n 当7n 时 12 2 1 n n 当8n 时 12 2 1 n n nN 4 2 12 111 2 n n AAAn 2n 且nN 5 1 21 217nn bbbbbb 17n 且nN 6 如图 作DE AB交BC于E 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形 又因为AD BE AB DE 所以四边形ABED是平行四边形 因为平行四边形的对边相等 又因为四边形ABED是平行四边形 所以ABDE 因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等 又因为ABDE ABDC 所以DEDC 因为等腰三角形的