12函数及其表示

1 1 2 函数及其表示函数及其表示 教学目标教学目标 1 在初中学习函数的基础上 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学 模型 2 能用集合与对应的语言刻画函数 体会对应关系在刻画函数概念中的作用 了解映 射的概念 并了解构成函数的要素 3 会求一些简单函数的定义域和值域 4 会用区间表示函数的定义域和值域 5 理解表示函数的图象法 列表法和解析法 会根据不同的需要选择恰当的方法表示 函数 6 通过具体实例了解简单的分段函数 并能简单应用 教学要求教学要求 函数是高中数学的重要内容 函数现象大量存在于学生周围 初中学生已经学习过函 数 那时把函数看成变量之间的依赖关系 我们教材要求能够从具体的实例中抽象概括出 用集合与对应的语言定义的函数 因此教学过程中要把握住用丰富的实例分析归纳出函数 的本质属性 要在这一过程中注重培养学生的抽象概括能力 启发学生运用函数模型表述 思考和解决现实世界中蕴涵的规律 逐渐形成善于提出问题的习惯 学会数学表达和交流 发展数学应用意识 与传统的处理方式不同 本节将映射作为函数的一种推广 这样做是为了较好与初中 衔接 让学生更好地理解函数的概念 体现思维从特殊到一般的过程 本节的主要内容是函数的表示 在初中学生习惯于用解析式表示函数 本节注意在这 一基础之上 注重函数的不同表示方法 解析法 图象法 列表法 通过这些丰富多彩的 表示方法 丰富学生对函数的认识 特别是帮助学生理解抽象的函数概念 可以借助信息技术环境使函数在数与形两方面的结合得到更为充分的表现 学生通过 函数的学习能够更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法 在教学过程中 要充分发 挥图象直观的作用 又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性 教学重点教学重点 在初中把函数看成变量之间的依赖关系的基础上 学会用集合与对应的语言刻画函数 2 概念 认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型 教学难点教学难点 1 对函数概念整体性的认识 2 对函数符号内涵的理解 教学时数教学时数 4 课时 教学过程教学过程 第一课时 1 2 1 函数的概念 1 新课导入新课导入 一 回顾初中学习的函数概念 我们在初中曾学习过函数 它的定义是 设在一个变化过程中 有两个变量与 如果对于的每一个值 都有唯一的xyxy 值与它对应 那么就说是的函数函数 叫做自变量自变量 yxx 请你举出这样的例子 二 三个实例 1 呈现课本第 15 页 16 页的三个实例 2 讨论 分析 归纳以上三个实例 变量之间的关系有什么共同点 3 在讨论的基础上 得出三个实例中变量之间关系的共性 1 都涉及两个数集 2 对于数集 A 中的每一个 按照某种对应关系 在数集 B 中都有唯一确定的xf 和它对应 记作 yBAf 新课进展新课进展 一 函数定义 1 函数 课本第 16 页 设是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 使对于集BA f 3 合 A 中的任意一个数 在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应 那么就称x xf 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 function 记作 BAf Axxfy 其中叫做自变量 的取值范围 A 叫作函数的定义域 domain 与的值对应的xxx 值叫作函数值 函数值的集合叫作函数的值域 range y Axxf 值域是集合 B 的子集 2 对函数概念的理解 1 定义域 值域和对应关系是决定函数的三要素 这是一个整体 一般来说值域由 定义域和对应关系所确定 因为对于定义域中的数 按照确定的对应关系 在集合 Bxf 中都有唯一确定的数和对应 xfx 2 记住的内涵 例如对于 对应关系就是 取平方 而对 xfy 2 xxf f 于 对应关系就是 开平方 就是函数符号 对于具体的函数它有具体xxf ff 的涵义 函数符号还可以记作等 yg x yu x 3 用函数定义理解初中学习过的函数 问 我们已经学过了那些函数 答 一次函数 二次函数和反比例函数 请填写下表 二次函数函数一次函数 a 0a 0 反比函数 对应关系 定义域 值域 4 请具体写出一个一次函数 二次函数和反比例函数 并作出图象 二 求函数的定义域和函数值 例 1 已知函数 2 1 3 x xxf 1 求函数的定义域 4 2 求 的值 3 f 3 2 f 3 当时 求的值 0 a 1 afaf 解 课本第 17 页 18 页 注意 与的区别 xfy afy 例 2 求函数和的定义域 31yx 1 31 y x 解 函数的定义域应满足解得31yx 310 x 1 3 x 所以定义域为 1 3 x x 函数的定义域应满足解得 1 31 y x 310 x 1 3 x 所以定义域为 1 3 x xx R 课堂练习 课本第 19 页练习 1 2 三 本课总结 1 用集合与对应的语言定义的函数 2 如何求简单函数定义域和函数值 求定义域时通常要注意以下几点 1 开偶次 方根需非负 2 分母不等于零 3 具体函数的定义域要求 四 布置作业 课本第 24 页习题 1 2A 组第 1 题 1 2 3 4 课本第 44 页复习参考题 A 组第 6 题 第二课时 1 2 1 函数的概念 2 复习导入复习导入 通过提问复习上节课主要学习内容 问 什么是函数 5 答 设是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 使对于集合 A 中的任BA f 意一个数 在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应 那么就称为从集x xfBAf 合 A 到集合 B 的一个函数 function 记作 Axxfy 其中叫做自变量 的取值范围 A 叫作函数的定义域 domain 与的值对应的xxx 值叫作函数值 函数值的集合叫作函数的值域 range y Axxf 函数的定义域通常由问题的实际背景确定 如上节课所述的实例 对于给出解析式的 函数 而没有指明它的定义域 那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集 合 对用解析式表示的函数 可由给定的自变量值代入解析式计算函数值 新课进展新课进展 一 求函数的值域 课堂例题 例 1 求下列函数的值域 1 2 3 4 xy3 x y 8 54 xy76 2 xxy 分析 在直角坐标系中画出函数的图象 发现 1 3 两个一次函数的函数值可以 取到一切实数 2 这个反比例函数的函数值不能等于 0 4 这个二次函数有最小 值 解 1 值域为实数集 R 2 值域为 Ryyy 0 3 值域为实数集 R 4 函数的最小值是 2 所以值域为 76 2 xxy 2 yy 二 区间的概念 研究函数时常会用到区间的概念 设是两个实数 而且 我们规定 ba ba 1 满足不等式的实数的集合叫做闭区间 表示为 bxa x ba 6 2 满足不等式的实数的集合叫做开区间 表示为 bxa x ba 3 满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间 分别表示bxa bxa x 为 ba ba 这里的实数都叫做相应区间的端点 ba 实数集可用区间表示为 我们把满足 的实R ax ax bx bx 数的集合分别表示为 x a a b b 读作 无穷大 读作 负无穷大 读作 正无穷大 区间可在数轴上表示 课本第 17 页 上面例 1 的函数值域用区间表示分别为 1 2 0 0 1 4 2 三 函数的相等 课堂例题 例 2 下列函数中哪个与函数相等 xy 1 2 3 4 2 xy 33 xy 2 xy x x y 2 分析 两个函数是同一个函数 应该满足它们的定义域 值域和对应法则都相同 由 于值域是由定义域和对应关系所确定的 所以 如果两个函数的定义域相同 并且对应关 系完全一致 这两个函数就相等 解 1 这个函数与函数 虽然对应关系 0 2 xxxyxy Rx 相同 但是定义域不相同 所以 这个函数与函数 不相等 xy Rx 2 这个函数与函数 不仅对应关系相同 而 33 xy Rx xy Rx 且定义域也相同 所以 这个函数与函数 相等 xy Rx 3 这个函数与函数 的定义域都是实 2 xy 0 0 xx xx xxy Rx 数集 但当时 对应关系与函数 不相同 所以 这个函数与函数R0 xxy Rx 不相等 xy Rx 7 4 的定义域是 与函数 不相同 所以 这个函 x x y 2 0 xxxy Rx 数与函数 不相等 xy Rx 我们可以用列出表格的方式进行判断 两个函数是同一个函数 应该满足它们的定义 域 值域和对应法则都相同 函数定义域对应法则值域 yx R xyx R 2 yx 0 x x xyx 0y y 33 yx R xyx R 2 yx R xyx 0y y 2 x y x 0 x x xyx 0y y 由上表可以看出 只有和表示同一函数 yx 33 yx 从本例我们还可以看出 相同的对应关系 其表达形式可以不同 课堂练习 1 课本第 19 页练习 3 2 请你再举出函数相等的例子 四 本课小结 1 函数的值域由定义域和对应关系确定 2 如果两个函数的定义域 对应关系都相同 则它们是同一个函数 五 课堂讨论 请你比较本节所学的函数定义与初中的函数定义 谈谈你对函数的认识 教师准备的答案要点 1 这两种定义的实质是一致的 2 叙述的出发点不同 初中的定义从运动变化的观点出发 上节课给出的定义是从集合 对应的观点出发 3 用变量观点描述函数比较生动直观 而用集合对应观点描述函数比较抽象 但更具有一般 性 例如函数 0 1 当当当当当当 当当当当当当 x x xf 8 用变量观点解释会显得十分勉强 也说不出的物理意义 但是用集合与对应的观点来解x 释 就十分自然 六 布置作业 课本第 24 页习题 1 2A 组第 4 5 6 题 第 25 页 B 组第 1 2 题 课本第 44 页复习参考题 A 组第 7 题 第三课时 1 2 2 函数的表示法 1 复习导入复习导入 问 我们在初中接触过函数的哪一些表示法 可回顾上节第一课时的三个引入例题 答 解析法 图象法和列表法 教师讲解 解析法 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 就是 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 就是列出表格来表示两个变量之间的对应 关系 解析法有两个优点 一是简明 全面地概括了变量间的关系 二是可以通过解析式求 出任意一个自变量的值所对应的函数值 这是中学阶段所研究的主要的函数表示形式 图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化 相应的函数值变化的趋势 有利于我 们通过图象来研究函数的某些性质 图象法在生产和生活中有许多应用 如企业生产图 股市走势图等 列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 列表法在 实际生产和生活中也有广泛的应用 如银行利率表 列车时刻表等 新课进展新课进展 一 函数的三种表示法 1 我们结合具体的例子来思考如何表示函数 课堂例题 例 1 课本第 19 页例 3 某种笔记本的单价是 5 元 买 个笔记x 5 4 3 2 1 x 本需要元 试用函数的三种表示法表示函数 y xfy 解 函数的定义域是数集 5 4 3 2 1 9 用解析法可将函数表示为 xfy xy5 5 4 3 2 1 x 用列表法可将函数表示为 xfy 笔记本数x12345 钱数y510152025 用图象法可将函数表示为 见课本第 20 页图 xfy 例 2 某儿童服装商店一年内销售额 万元 与一年内 12 个月份的关系用一条折线连接起 来如图 1 2 1 请用列表法表示图中的函数关系 解 在图象上找出月份与销售额的对应点 用列表法表示为 月 x123456789101112 万元 y 406030204050302550604040 2 思考 1 所有的函数都能用解析式表示吗 2 三种表示法的特点各是什么 请用例 子说明 课堂练习 一 2 2 1 10 请你举出 3 个函数 分别用三种方法表示 课堂例题 例 3 课本第 20 页例 4 配有图片 课堂练习 课本第 23 页练习 1 2 题 3 本课小结 表示函数常用的有三种方法 它们有各自的优点和不足 4 布置作业 1 课本第 24 页习题 1 2A 组 7 8 9 题 B 组第 3 题 2 已知定义在上的函数其部分值的对应关系如下表 R yf x x0123 4 y 1 03815 则符合上面的关系的一个函数解析式是 第四课时 1 2 2 函数的表示法 2 复习导入复习导入 回顾上节课学习的内容 一 函数的三种表示法 解析法 图象法和列表法 讲解上节课作业题 课本第 25 页习题 1 2B 组第 3 题 引出分段函数概念 二 分段函数 用解析法表示函数时 常常遇到这样的情形 一个函数在整个定义域上不能建立统一 的函数解析式 自变量在不同的取值范围内 对应着不同的函数解析式 这样的一类函数 我们把它称为 分段函数 segment function 新课进展新课进展 课堂例题 例 1 画出函数的图象 xy 11 解 由绝对值的概念 我们有所以 函数的图象如图所示 课本第 0 0 xx xx y 21 页图 1 2 4 本例题的主要目的有两个 一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用 二是为介绍分段函数作准备 例 2 课本第 21 页例 6 某市 招手即停 公共汽车的票价按下列规则指定 1 5 公里以内 含 5 公里 票价 2 元 2 5 公里以上 每增加 5 公里 票价增加 1 元 不足 5 公里的按 5 公里计算 如果某条线路的总里程为 20 公里 请根据题意 写出票价与里程之间的函数解析式 并画出函数的图象 解 见课本第 21 页 本例题的主要目的有以下几点 1 让学生尝试用数学表达式去表达实际问题 2 学习分段函数及其表示 3 注意在数学模型中全面反映问题的实际意义 本例根据当地的实际情形可作适 当改编 课堂练习 画出函数的图象 1yx 解 解 1 1 1 1 1 xx yx xx 由于这个函数的自变量取与的解析式不同 所以要分段讨论 x1x 1x x3 2 1yx 21 x1 0 1yx 01 12 其图象如下图 三 映射 函数是 两个数集间的一种确定的对应关系 当我们将数集扩展到任意的集合时 就可以得到映射的概念 例如 欧洲的国家构成集合 A 欧洲各国的首都构成集合 B 对应关系 国家对fa 应它的首都 b 这样 对于集合 A 中的任意一个国家 按照对应关系 在集合 B 中都有唯一确定f 的首都与之对应 我们将对应称为映射 BAf 一般地 我们有 映射定义 设 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系 使对于