格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用

GreenGreen 公式 公式 StokesStokes 公式 公式 GaussGauss 公式在专业学科中公式在专业学科中 的应用的应用 摘要摘要 格林 Green 公式 斯托克斯 Stokes 公式和高斯 Gauss 公式是多 元函数积分学中的三个基本公式 它们分别建立了曲线积分与二重积分 曲面 积分与三重积分 曲线积分和曲面积分的联系 它们建立了向量的散度与通量 旋度与环量之间的关系 除了在数学上应用于计算多元函数积分 在其他领域 也有很多重要的应用 本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍 它们的其他应用 其中包括应用于 GPS 面积测量仪 确定外部扰动重力场 应 用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等 帮助人们加深对格林公式 斯托克斯公式和高斯公式的理解 从而能够更准确地应用此三个公式 关键词关键词 格林公式 斯托克斯公式 高斯公式 散度 旋度 应用 目录目录 一 引言 1 二 格林 Green 公式的应用 1 一 格林公式的定义 1 1 单连通区域的概念 1 2 区域的边界曲线的正向规定 1 3 陈述 1 二 格林公式的物理原型 1 1 物理原型 2 2 计算方法 2 三 格林公式与 GPS 面积测量仪 3 1 应用曲线积分计算平面区域面积 3 2 GPS 面积测量仪的数学原理 4 3 实验结果 5 4 进一步讨论 5 四 应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 6 1 扰动重力位的地面边值问题 6 2 地面边值问题的格林公式表示 6 三 Stokes 公式的应用 8 一 Stokes 公式简介 8 二 环量与环量密度 9 三 环量的应用 9 1 开尔文定理 9 2 开尔文定理的推论 10 3 升力 10 四 旋度 11 五 旋度的应用 12 1 平面矢量场的旋度 12 2 环流量是区域内有无漩涡的量度 12S 3 旋度是矢量场某点漩涡强度的量度 13 4 空间矢量场的旋度 13 四 Gauss 公式的应用 16 1 数学中的高斯公式 16 2 保守场的推导 17 3 高斯公式在电场中的运用 17 4 高斯定理在万有引力场中的应用 19 5 高斯公式推证阿基米德浮力定律 21 6 高斯公式推证静电场中的高斯定理 22 7 高斯公式与散度 24 五 结语 25 六 参考文献 26 1 一 引言一 引言 格林 Green 公式 斯托克斯 Stokes 公和高斯 Gauss 公式是多元 函数积分学中的三个基本公式 它们分别建立了曲线积分与二重积分 曲面积 分与三重积分 曲线积分和曲面积分的联系 它们有很强的物理意义即建立了 向量的散度与通量 旋度与环量之间的关系 因此它们有许多重要的应用 在 数学上它们主要用来简化某些多元函数积分的运算 而在其他各个专业领域它 们也有很多重要的应用 接下来将一一介绍它们在不同专业中的应用 二 格林 二 格林 GreenGreen 公式的应用 公式的应用 1 1 格林公式的定义格林公式的定义 Green 公式反映了第二型平面线积分与二重积分的联系 1 1 单连通区域的概念 单连通区域的概念 设 D 为平面区域 如果 D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于 D 则 D 称为平 面单连通区域 否则称为复连通区域 通俗地讲 单连通区域是不含 洞 包括 点洞 与 裂缝 的区域 2 2 区域的边界曲线的正向规定 区域的边界曲线的正向规定 设 L 是平面区域 D 的边界曲线 规定 L 的正向为 当观察者沿的这个方向行走 时 平面区域 也就是上面的 D 内位于他附近的那一部分总在他的左边 简言之 区域的边界曲线的正向应符合条件 人沿曲线走 区域在左边 人走 的方向就是曲线的正向 3 3 陈述 陈述 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成 函数在 D 上具有一阶连 yxQyxP 及 续偏导数 则有 1 LD QdyPdx y Q x P 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线 公式 叫做格林 green 公式 格林公式沟通 了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系 因此其应用十分地广泛 1 二二 格林公式的物理原型格林公式的物理原型 在工科的 高等数学 教材中 格林公式这部分都是先给出定理 然后加以 2 证明 应用 讲这部分内容时 总有学生询问同一问题 即人们怎样想到这个公 式 怎样想到曲线积分与重积分会有这样的数值上的联系 能否将格林公式的来 源即物理原型加入教材呢 在教学中 试着加入这部分内容 并对公式作了简单 的符号记法 简化了公式 降底了出错率 并对应用总结了几个类型 多年的实践 证明 效果是很好的 下面就将加入的内容介绍如下 2 1 1 物理原型 物理原型 在流体物理学中 称满足下述三个条件的 流速场 为 平面稳定流动 1 场中每一点的速度都不随时间改变 只是位 t 的函数即 jyxQiyxPV 2 所论流体介于两个互相平行的平面之间 为方便 不妨设平面间距离为 l 个单位 其中之一称为底面 往往底面即为 xoy 坐标面 3 垂宜于底面的直线上的各点流速相等 并平行于底面 在这种 平面稳定流动 中 我们来计算单位时间内流过曲线 C 的流体体积即 流 t 密度 其实是流过以 C 为准线 高为 l 的柱体的流体体积 简单用面积 表示 其中 C 是平面上一个闭的 无重点 光滑曲线 无重点 是指曲线 当总是相异的 tYtX 221121 tttttt 与时 点 2 2 计算方法计算方法 1 在 C 上任取一小段弧线 S 在 t 时间内流过 S 的流体面积 近似于一个 平行四边形的面积 它的一个边长是 S 另一个相邻边长是流程tV 因此面积为 tnVsnVtVs cos 其中是 C 的单位法向量n 单位时间内流体面积为 snV 由曲线积分定义有总的流体面 cos cos 0 nCldsnV l 的全长 设为 则 dsQP l 0 coscos 设 为点 x y 处的切线 与 x 轴夹角l coscos sincos QdxPdydsQP l 0 cossin 2 的计算可以从另一个角度来计算 那就是先算出流过场内每一个微 dxdy 在单位时间内散发出去的流体的面积 然后求其总和 设上述曲线 C 所围平面区城为 G 在 G 内任取一个微元 dxdy 3 显然在单位时间内从左边流进 x 轴方向 这个微元的流体面积近似于 Pdy 而从 右边流出的面积近似于 为偏增量的近似 因此这个微元 dyxdxPP xdxP 在单位时间内沿 x 方向 净 散发出去流体面积近似于 同理沿 y 方向 净 散出去的流体面积近似于 xdxdyPPdydyxdxPP 所以总的和为ydxdyQ dxdyyQxP 由重积分的定义得 dxdy y Q x P c 有 1 2 可得 dxdy y Q x P QdxPdy c 这是场论中最根本的公式 即格林公式的原型 三 格林公式与 三 格林公式与 GPSGPS 面积测量仪面积测量仪 格林公式作为多元微积分中联系平面曲线积分与二重积分的一个重要公式 不仅给出了一个有效计算平面曲线积分的方法 而且给出了一种已知边界曲线 方程的平面区域面积的计算方法 在这部分的教学内容中 传统应用主要局限 于纯几何与物理问题的解决 很少应用于生活实际问题的讨论 本文在基于微 元法的基础上 讨论了 GPS 面积测量仪测量平面区域面积的数学原理 并在教 学实践中 将其以引入性问题和课程探索性实验的形式作为曲线积分教学内容 的扩充 实现了抽象的数学理论与方法和生活实际的有效结合 3 1 1 应用曲线积分计算平面区域面积应用曲线积分计算平面区域面积 设 D 为 xOy 平面上的闭区域 其边界 D 由光滑或分段光滑闭曲线组成 函 数 P x y 和 Q x y 在 D 上有连续的一阶偏导数 则有 1 LD QP P x y dxQ x y dydxdy xy A 其中 D 的方向为关于区域 D 的正方向 曲线正方向的确定使用 左手法则 即当一个人沿着该方向行走的时候 区域位于左手一侧 式 1 对于平面单连通 区域或多连通区域都成立 当式 1 中的二重积分被积函数为常数时 可以使用左端关于坐标的曲线积 分计算封闭曲线围成的平面区域的面积 即若 QP A xy 则有 4 2 1 D L SP x y dxQ x y dy A A 因此 只要构造合适的 P x y 和 Q x y 就可以通过封闭曲线 D 上的第二 类曲线积分计算其围成的平面区域 D 的面积 则 3 1 2 D LLL Sydxxdyydxxdy AAA 2 GPS2 GPS 面积测量仪的数学原理面积测量仪的数学原理 利用格林公式或二重积分方法计算平面区域的面积时 一般需要知道其边 界曲线方程 而在实际生活中 这样的边界曲线方程是很难知道的 因此无法 直接使用它们来完成对面积的精确计算 GPS 面积测量仪则给出了比较好的平 面区域面积的近似计算方法 只要手持测量仪绕行测量区域一周 仪器就可以 通过自动记录行进路线的坐标 计算所围绕区域的近似面积 设由边界曲线 3D 围成的区域和使用 GPS 测量仪记录的平面坐标为 1 2 iii P x yin 图图 1 1 目标区域与记录点位置目标区域与记录点位置 由式 2 可知 在闭曲线方程已知的情况下 对其围成的封闭区域面积的计 算可以转换为曲线积分计算 假设闭曲线方程未知 则根据积分的存在性 借 助于微元法思想 封闭曲线可以近似为由有向线段 的并 其中 其中 11n PP 即 4 12231 n DPPP PP P 从而有 5 11 1 1 n Diiiiiiii i SP x yxxQ x yyy A 其中 11n xx 11n yy 5 3 3 实验结果实验结果 下面以参数方程 x 4sint sin4t 6 y 4cost cos4t 确定的封闭曲线为例 在 Mathematica 中进行数学实验验证 由于该封闭曲线方程已知 所以由公式 3 利用第二类曲线积分的直接计 算方法 可得所围封闭区域面积为 20 62 832 取参数增量分别为 依次在曲线上取点 计算得到的结果分别为 6122448480 t 53 196 60 086 62 122 62 653 62 830 若取 P x y y Q x y 0 或者 P x y 0 Q x y x 虽然在近似计算形式上看似有所差别 但是在 Mathematica 中以默认精度进行计算时 每个结果可以保持在小数点后 13 位一 直相同 并且随着分割的细化 结果逼近直接计算得到的精确结果 4 4 进一步讨论进一步讨论 使用边界点坐标方法计算区域的面积还有借助于微元法思想和辛普森公式 容易验证的公式 对任一个平面凸区域 D 即过该区域能做一组与区域边界曲线 交点不多于两个的平行直线的区域 设正好夹住平面区域的两平行直线的距离 为 b 在两平行直线之间做 n 2 偶数 条距离为 b n 平行于这两条直线的一组 直线 各条直线夹在闭曲线 D 围成的区域 D 范围内的线段长度记作 i 1 2 n 1 图图 2 2 平面凸区域面积近似方法平面凸区域面积近似方法 通过坐标系旋转或者存在有一组平行于 Y 轴的直线 b 即为区域在 z 轴上 投影区间的长度 这样实际上也就是由微元法构造定积分模型的形式 该方法 思想简单 在实际计算中相对来说约束较多 除了以上借助于曲线上点坐标近 似计算平面区域面积之外 另外也可以通过已知点列坐标 利用插值 拟合的 6 方法获取近似边界分段曲线方程 然后利用二重积分或者第二类曲线积分计算 面积 同时 这种近似计算的思想也适用于求曲线的弧长 比如椭圆周长的近 似计算与一些不可积函数的积分计算 四 应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 四 应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 1 1 扰动重力位的地面边值问题扰动重力位的地面边值问题 确定地球外部重力场和大地水准面是大地测量学的主要任务之一 确定地 球外部重力场和大地水准面的斯托克斯理论需要将地面观测的重力异常归算至 大地水准面 再采用调和函数球面边值的解式 如 Stokes 公式 求得大地水准 面及其外部的扰动重力位 归算将涉及对大地水准面 至地面的质量迁移 对大 地水准面产生间接影响 而且由于归算对质量进行了调整 改变了外部扰动重 力场 因此归算到大地水准面上的重力异常用以确定外部扰动重力位会导致结果 的歪曲 直接以地面重力异常为边值的 Molodensky 问题从理论上避免了归算的 困难 成为近代外部重力场研究的理论基石 然而 由于地球表面的复杂性 给 这一问题的求解带来极大难度 4 Molodensky 基于基本积分方程的小参数解法得到地面扰动位的级数解式 提 出将地面重力异常解析地延拓到一点的水准面上 再采用球面的 Stokes 积分得 到地面扰动位 其结果同样是级数的形式 也研究得到类似的级数解 则提出 将地面重力异常调和地延拓到一个内部球面上 再由球面边值问题解逼近外部扰 动位 其调和延拓需要求解 Poisson 积分方程 尽管这些理论解的途径有所不同 但在一定前提下它们是等价的 虽然经过线性化和地球椭球作球近似后的所谓 简单 Molodensky 问题的研究已得到几近完美的理论结果 但它们的实现仍具 有相当大的困难 由于受到数据和高阶项计算稳定性的限制 目前在实际上通 常只能考虑到一阶项 对于确定地球外部扰动重力场问题 上述解在应用上受 到一定的限制 像 Molodenky 解通常应用于地面 Moritz 的解析延拓解和 Bjeharmmar 解虽然可以拓展到外部空中 但边值的延拓仍是一个较复杂的过程 本文侧重于应用的需要 讨论直接由地面边值确定外部扰动位的方法 2 2 地面边值问题的格林公式表示地面边值问题的格林公式表示 确定地球外部扰动重力位 T 归结为下面的边值问题 在地面的外部 0T 在地面上 BTf 式中为 Laplace 算子 B 代表某一泛函算子 f 为已知泛函 222 222 xyz 由位理论知 T 作为调和函数可以由格林第三恒等式表示为 7 式中 l 是计算点 p 至地面 上面元 d 111 4 p T TTd lnn l 的空间距离 n 是相对于调和空间的边界面外法线方向 取局部北东天坐标系 求法线方向导数得 TTxTyTz nxnynzn 根据位理论为扰动重力矢量 xyz TTT xyz 为法线的方向余弦 因此可知即为扰 cos cos cos xyz nnn n T n 动重力在法线方向的分量 如图所示 图图 3 3 内法线方向示意图内法线方向示意图 对于所谓的简单 Molodensky 问题 即将地球椭球近似为球面时 上述各元素 的几何关系见下图 由距离公式式中 l 为 P 点与 d 单 222 2cos pp lrrr r 元处的距离 为 P 点的 p r 球心距离 r 为 d 单元处的球心距离 为 P 点到 d 单元处的极距求导可知 因此可得 2 11 cos l n n ll 2 11cos 4 p Tl n TTd lnl 8 图图 4 4 球近似下各元素的几何关系球近似下各元素的几何关系 应用格林公式可以在实际地球表面上计算外部扰动位 其条件是需要同时具 有地面上的扰动位和扰动重力矢量的观测值 这在实际应用中是有困难的 一方 面 所需的边值条件很难满足 另一方面地球表面非常复杂 这就使得在地表起伏 较大地区该式中的法线方向变化剧烈 其计算相当困难 尽管如此 格林公式提供 了不需作任何边值的归算或延拓而以地球自然表面上的边值条件确定外部扰动 重力场的唯一可能的解析形式 三 三 StokesStokes 公式的应用公式的应用 一 一 StokesStokes 公式简介公式简介 Green 公式给出了平面上沿闭曲线 C 的第二型线积分与 C 所围成平面区域 上二重积分之间的关系 现在把它推广到空间 考察沿空间闭曲线 C 的第二型 线积分与 C 上所张曲面的面积分之间的关系 设区域 C 为 G 内一条分段光滑的有向简单闭 1 3 GCRQPRG 合曲线 S 是以 C 为边界且完全位于 G 内的任一分片光滑的有向曲面 C 的方向与 S 的法向量符合右手螺旋法则 则 dx SC dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R RdzQdyP 称为 Stokes 公式 设 A P Q R 根据 nabla 算子的定义 Stokes 公式可写成向量形式 CSS dS n n e eA Ad dS SA Ad ds sA A 9 如果 A 为一平面场 P Q C 为一平面闭曲线 C 所围成区域为 这时 Stokes 公式 1 就蜕化为 Green 公式 可见 Stokes 公式是 Green 公式的推广 1 二 环量与环量密度 二 环量与环量密度 类似于平面向量场沿平面闭曲线的环量 空间向量场沿空间闭曲线 c 的线积分 c z dzy x Rz dyy x Q dxzy P x CC zyxdsA A 称为 A x y z 沿闭曲线的环量 它同样表示了 A 绕旋转趋势的大小 c c 以 n n 为法向量 过点 M 作任一微小曲面 它的边界曲线记为 并 S C 选取的正向使与 n n 复合右手螺旋法则 当很小时 A 沿的环量 C S C 与小曲面的面积之比 S c d ds sA A S 1 S 近似的反映出 A 点在 M 点附近绕方向 n 的旋转趋势大小 让小曲面 在 保持 n 为其法向量的前提下任意缩向点 M 若上述比值的极限存在 则称此极 限值为 A 在 M 点沿 n 方向的环量密度 记作 即 dS d 1 c SSdS d d ds sA A limlim M s M s 三 环量的应用 三 环量的应用 1 1 开尔文定理开尔文定理 流体动力学中的一个著名的定理 内容是 在无粘性 正压流体中 见正 压流体 若外力有势 则沿由相同流体质点组成的封闭曲线的速度环量在随体 运动过程中恒不变 在流体力学中 沿封闭曲线的速度环量定义为线积分 L drv 10 式中 为速度环量 v 为速度矢量 dr 为封闭曲线 L 的线段元矢量 速 度环量和涡通量 见涡旋 通过下列斯托克斯公式联系起来 sL QdSdrv 式中 S 是张在封闭曲线 L 上的曲面 和 dS 分别为涡旋矢量和面积元矢 量 2 2 开尔文定理的推论开尔文定理的推论 由开尔文定理可推出反映涡旋保持性的涡旋不生不灭定理 假设流体是无 粘性和正压的 且外力有势 若初始时刻在某部分流体内无旋 则在此时刻以 前或以后的任一时刻中 这部分流体皆无旋 反之 若初始时刻该部分流体有 旋 则在以前或以后的任一时刻 这一部分流体皆有旋 因为若初始时刻某区 域内的流体运动无旋 则根据斯托克斯公式 2 该区域内沿任一封闭曲线的 速度环量为零 设过一时刻此区域内的流体运动到一新区域 从开尔文定理易 见 在新区域内沿任一可能的封闭曲线的速度环量也为零 换言之 线积分与 积分路径无关 它只是时间 t 以及变动点 B 的坐标 r 和固定点 A 的坐标 r0 的标 量函数 可记为 故 即存在速度势 r t 由 推出整个流动 v 0 v 是无旋的 drv 0 A trtr B 对于在重力场作用下的无粘性不可压缩均质流体 考察均匀来流定常绕流 和从静止起动的流体运动 显然 两种情形都满足流体无粘性 正压和外力有 势三个条件 流场中任一流体质点都来自无穷远处或初始的静止流体 因无穷 远处均匀来流和静止流体都是无旋的 根据涡旋的不生不灭可以看出 整个流 场都是无旋的 由此得到开尔文定理的一个重要推论 对于在工程实际中大量 遇到的无粘性不可压缩均质流体在重力作用下的均匀来流定常绕流问题和静止 起动问题 整个流体运动时时处处都是无旋的 由于无旋运动有些特殊性质 处理这类流动可作许多数学上的简化 见拉普拉斯无旋运动 3 3 升力升力 升力 也就是向上的力大于向下的力 其合力可以使物体上升 这个力 就是升力 升力的成因较复杂 因为要考虑实际流体的粘性 可压缩性等诸多 条件 目前大多用的是库塔儒可夫斯基定理 它是工程师计算飞机升力最精确 的方法 具体内容就是由绕翼环流导致升力 产生了上下压力差 这个压力差 就是升力 Y 升力和向后的诱导阻力 d 合成为空气动力 R 流过各个剖 面升力总合就是机翼的升力 升力维持飞机在空中飞行 1 1 升力的来源 升力的来源 11 升力来源于机翼上下表面气流的速度差导致的气压差 但机翼上下表面速 度差的成因解释较为复杂 通常科普用的等时间论和流体连续性理论均不能完 整解释速度差的成因 航空界常用二维机翼理论 主要依靠库塔条件 绕翼环 量 库塔 茹可夫斯基定理和伯努利定理来解释 2 2 库塔条件 库塔条件 在真实且可产生升力的机翼中 气流总是在后缘处交汇 否则在机翼后缘 将会产生一个气流速度很大的点 这一条件被称为库塔条件 只有满足该条件 机翼才可能产生升力 3 3 库塔如茹可夫斯基方程式 库塔如茹可夫斯基方程式 由满足库塔条件所产生的绕翼环量导致了机翼上表面气流向后加速 由伯 努利定理可推导出压力差并计算出升力 这一环量最终产生的升力大小亦可由 库塔 茹可夫斯基方程计算 适用于不可压缩流体 物体单位长度上所受到的升力 环量值 流速 气体密度 升力 vL 其中环量是流体的速度沿着一条闭曲线的路径积分 如果 v 是流体的速度 ds 是沿着闭曲线 C 的单位向量 那么 C dsV 环量的量纲是长度的平方除以时间 这一方程同样可以计算马格努斯效应 的气动力 不过以上理论仅适用于亚音速 更准确地说是 Ma 小于 0 3 在超 声速飞行时由于空气是可压缩的 伯努利定理不成立 此时无环流运动 升力 主要靠机翼上下表面的激波所导致的压力差 当飞机以一定迎角在超声速流中 飞行时上表面前端处与来流成一个凸面 形成膨胀波 气流流过膨胀波时压力 下降 而下表面与来流形成一个凹面 导致激波 气流流过激波时压力增加 因此上表面压强小 下表面压强大 产生升力 四 旋度 四 旋度 若在场 A M 中一点 M 处存在这样一个向量 其方向为使 A 在点 M 环量密度 最大的方向 其模等于环量密度的最大值 则称此向量为场 A M 在点 M 的旋度 记做 rotA 则 cos cos cos d y P x Q x R z P z Q y R dS 为旋度的计算公式 利用旋度 还可将 Stokes 公式写成下列形式 12 SC A dSrotd ds sA A 5 5 旋度的应用旋度的应用 1 1 平面矢量场的旋度平面矢量场的旋度 旋度最早是通过研究水流的涡旋建立起来的概念 5 河水流动时 由于水 有内摩擦力 因而靠两岸速度较小 河中间速度较大 故漂在水面上的救生圈 一边顺流而下 一边还会旋转 这说明水中有涡旋 如下图所示 图图 5 5 速度分布和涡旋特征速度分布和涡旋特征 2 2 环流量是区域环流量是区域内有无漩涡的量度内有无漩涡的量度S 在平面流速场中作有向封闭曲线 L 则流速场 V 沿 L 的环流 图 3 yxV a d d c c b b aL lVlVlVlVlVddddd 00 2 d c b a dldlV cdVabV 12 0 在均匀流速场中 由于 所以沿 L 的环流 yxV 21 vv V 13 0 L ldV 环流不等于零 在区域内无涡旋 由特殊到一般 对于任一平面矢量场S 如果 yxA 0 L ldA 说明在区域内有涡旋 如果S 0 L ldA 说明在区域内无涡旋 因此环流是平面矢量场 A 在区域内有无涡旋的量S S 度 3 3 旋度是矢量场某点漩涡强度的量度旋度是矢量场某点漩涡强度的量度 环流的大小与封闭曲线 L 所包围的面积 s 有关 所以不能用环流的大小 来量度涡旋的强弱 而用环流与面积 S 之比 即平均涡旋强度来量 L ldV S 1 度 S 区域内的涡旋强度 当 且收缩到 P 点时 用极限0 S 来量度 p 点处的涡旋强度 此极限称为平面流速场 V 在 p 点的旋 LS ldV S 1 lim 0 度 用表示 即 V LS ldV S V 1 lim 0 可见 旋度是环流对面积的变化率 特殊到一般 任一平面矢量场直在 p 点的旋度 LS ldA S A 1 lim 0 在直角坐标系中 平面矢量场在点的旋度 yxA yxP k y A x A yA x y x 14 4 4 空间矢量场的旋度空间矢量场的旋度 例 1 水池中的水漏掉时 会形成涡旋 如下图所示 图图 6 6 水池中的涡旋水池中的涡旋 以 p 点为回心 作两个圆周 L1 和 L2 两圆周面积相等 均为 它们的 S 法线 的方向与 L1 和 L2 的绕向符合右手螺旋法则 显然 1 n 2 n 21 LL ldVldV 除以 得S 21 11 LL ldV S ldV S 可见 同一点 p 绕方向的平均涡旋强度大于绕方向的平均涡旋强度 为了 1 n 2 n 量度场中任意一点的涡旋强度 必须把取得很小 同时为了能比较不同点的S 涡旋强度 应使 L 的空间取向能得瓢最大的环流 在图 6 中 流速场沿 Ll 的 V 环流最大 现在 可以得到任一空间矢量场旋度的定义 矢量场在 p 点的旋 A A 度是一个矢量 其大小为当面积趋于零时单位面积上的最大环流 AS A 其方向为当面积的取向使得环流为最大时该面积的法线方向 法线方向的S S 单位矢量 的方向与不的绕向符合右手螺旋法则 即 n 1 lim 0 LS ldAn S A 15 在直角坐标系中 矢量场在点的旋度 zy x A zy x P zyx AAA zyx kji zyA x k y A A i x AA i z A A xz y x z y y xz 例例 2绕定轴 Z 转动的刚体的角速度为 如图 求刚体上任一点 P 的线速度的 V 旋度 图图 7 7 绕定轴绕定轴 Z Z 转动的刚体转动的刚体 解 点 p 的位置用位置矢量来确定角速度 r k kzjyix r 由力学知 点 P 的线速度 jxiy zyx kji V 00r 的旋度 V 16 22 0 yx kji k xy z V 可见 速度场的旋度与刚体的旋转角速度之间有着密切的联系 V V 四 四 GaussGauss 公式的应用公式的应用 通过数学上高斯公式和保守场的定义 推导出物理学中的两个保守场 电 场和万有引力场 把数学中的高斯公式运用到两个保守场中 结合类比思想 分别得出电场中的高斯定理和万有引力场中的高斯定理 并分别举例说明高斯 定理在这两个场中的运用 万有引力场如同电场一样 是有源场 对于具有高 对称性的质量西 万有引力高斯定理可简化万有引力场的求解过程 数学是创立和发展物理学立论的主要工具 他的高度抽象性 使他能概括 物理世界的基本结构 6 数学中的高斯公式试分析大学物理中矢量场问题的重 要工具 7 电场中的高斯定理被广泛应用到求解具有高对称性的带电系周围的 电场问题中 8 而与电场同属于保守场的万有引力场中也能运用高斯定理 本 文将把高斯公式推广到两个保守场中 得出各自场中的高斯定理 并举例说明 其运用 1 1 数学中的高斯公式数学中的高斯公式 高斯公式是高等数学中曲面积分的一个重要公式 它可以把高斯面上的第 二型曲面积分转化为所围体的三重积分 1 描述为 设空间区域 V 的边界曲面 S 是光滑的或分片光滑的 函数 P x y z Q x y z R x y z 在 Q 及 S 上具有已接连续篇倒数 S 的方向为外发想 则 1 s V RdxdyQdzdxPdydz dxdydz z R y Q x P 或 17 2 coscoscos S V dSRQP dxdydz z R y Q x P 如果引入矢量函数 高斯公式又可以写为 SV adVdS 3 数学意义为 矢量场通过闭合曲面 S 的流量等于此闭合曲面所围体 V 上每一点 的在体 V 上的三重积分 2 2 保守场的推导保守场的推导 数学中 保守场的电影以为 在矢量场中 a 汇总 若曲线积分与路径无关 只与起点和重点有关 这种常称为保守场 矢量场 a 为保守场的充要条件是 0 大学物理中 电场力做功和万有引力做功都与路径无关 即 4 00 LL dlFdlE和 根据斯托克斯定理得出 LS dsAdlA 5 6 00 FE和 由此从数学推导 可以知道电场和万有引力场都是保守场 9 3 3 高斯公式在电场中的运用高斯公式在电场中的运用 把高斯公式运用到大学物理的电场中 就是电场高斯定理 电场通量等于 闭合曲面所围面 V 上每一点的散度在 V 上的三重积分 即为电荷密 dv 1 0 度 它可以表示数位 通过一个人已闭合曲面 S 的电通量 等于该面所包围 r 的所有电量的代数和除以与闭合面外的电荷无关 即 q 0 18 内 7 1 0 i i S qdSE 在求解具有高对称性带电体系的电场分布时 电场高斯定理可以大大简化计算 过程 5 还反映出电场的另一重要性质 静电场是有源场 正电荷是静电场的 源头 向四周辐射电场 例 求一个均匀带正电球体内外的电场强度分布 设球体带电总量为 Q 球 体半径为 R 如图 图图 8 8 带电量为带电量为 Q Q 的球体 虚线为高斯面 的球体 虚线为高斯面 如果用电场强度叠加原理 把带点体系分割成无穷个电荷元 每个电荷元 视为点电荷 对无穷个电荷元产生的电场积分求和 势必牵扯到一个三重积分 仙人 这在数学计算中比较复杂 如果应用高斯定理 由于电荷 Q 均匀分布在球面上 其电场分布具有球队 成型 在任何与带电球面同心的球壳上的个点 电场强度大小均应相等 方向 沿各自的矢径方向 在球面外任取一点 P 设想过 P 点做一个半径为 r r R 的球面 称之为高 斯面 因球面上个点的法线方向与场强方向一致 所以通过该球面的电通量为 8 4cos 2 rEdSEdSE SS 此时该求面包为的电荷为 内 9 i Qqi 根据高斯定理可得 19 10 4 0 2 Q rE P 点的电场强度为 11 4 1 2 0 Rr r Q E 对于球内任一点 p 同样过 p 作一半径为 r r R 的球形高斯面 通过该球面 的电通量为 12 r4cos 2 ss r EdSEdSE 此时 该球面包围的电荷为 13 3 4 3 4 3 3 3 3 R qr r R Q q i i 内 由高斯定理可得 14 4 3 3 0 2 r R Q rE 此时必有 15 4 1 3 0 r R Q E 4 4 高斯定理在万有引力场中的应用高斯定理在万有引力场中的应用 万有引力场和静电场同属于保守场 可以设想万有引力场如同电场一样是一 种物理客观存在 质量为 M 的物体想四周辐射万有引力场 切万有引力定律 与库仑定律 相似 都服从平方反比定律 运用 2 21 rMGMF 2 021 4 rQQF 类比思想 把高斯公式应用到万有引力场中 万有引力场通量 等于闭合曲面所围体 V 上每一点的散度在体 V 上的三重积分 dSE s gf 它可以表述为 通过一个任意闭合曲面 S 的万有引力场通量等于该面所包围 f 的所有质量的代数和 除以 负号表明万有引力场为汇聚场 穿入闭合 i i m i a 曲面 S 内 16 4 1 1 0 0 G am a dSE i i s g 20 电场高斯定理在求解具有高对称性带点体系的电场分布时有着十分重要的地 位 同理在求解具有高对称性质量体系的万有引力场分布时 用万有引力场中 的高斯定理会大大简化求解过程 例 求均质细棒中垂面上的收到的引力场强度 设棒长为 2l 如图 图图 9 9 质量均匀的细棒 圆柱体为高斯面 质量均匀的细棒 圆柱体为高斯面 如果用万有引力定律计算 选细棒中点 O 为原点 取坐标轴 z 沿细棒向上 由于细棒具有轴对称性 取纸平面作代表 细棒的中垂面与纸面的交线为中垂 线 OP 整个细棒可以分割成一对一对的线元 其中每对线元 dz 和 dz 对于中垂线 OP 对称 这一对线质元在中垂线上任一点 从而合成 P 所产生的元引力场 和也对中垂线对称 他们在垂直于 OP 方向的分量互相抵消 从而合成 g dE g dE 矢量 沿中垂线方向其大小为 其中 g dE g dE cos2 k dE 22 dz zr GdEg 17 22 cos zr r r 表示距离 OP 表示线质量密度 则 是总质量 dz 18 22 2 3 22 2 0 2cos2 0 lrr l G zr rdz l GdE l Eg 当细棒为无限长时 这时的万有引力场强为 l 19 1 2 r GEg 21 如果应用万有引力场中高斯定理 因该体系具有轴对称型 若以细棒为轴 在垂直于轴的平面内 同一圆周上的万有引力场大小处处香等 方向垂直于棒 向内汇聚 于是可选取以棒为轴 在垂直于轴的平面内 同一圆周上的万有引 力场大小处处香等 方向垂直于棒 向内汇聚 于是可选取以棒为轴 半径为 r 长为 l 的封闭圆柱面为高斯面 圆柱的上 下两底面 与的方向垂直 g ESd 侧面的与的方向相反 所以通过封闭圆柱体的万有引力通量为 g ESd rlEdSEdSEdSEdSE ggg s gf 20 g 前面上下底面侧面 20 根据高斯定理得 内 21 42 0 1 lGmrlE i iag 得 22 r 1 2 GEg 公式 19 与公式 20 是相等的 可以看出 比起用万有引力定律来说 用 万有引力场中的高斯定理求解问题比较简单 省去了很多积分过程 并且体现 出万有引力场是保守场的性质 5 5 高斯公式推证阿基米德浮力定律高斯公式推证阿基米德浮力定律 在普通物理的教科书中 一般对阿基米德浮力定律都不作严格的数学证明 仅对它作一个说明 下面我们根据重力场中静止流体的压强分布 应用高斯公 式给出一个证明 一物体浮在液面上 液体表面的平面把浮体表面的封闭曲面 S 分为两部分 和 也把整个浮体分为两部分 其中浮在液面上的那部分为 浸没在液 1 S 2 S 1 V 体中的那部分为 建立坐标系 取液体表面为 x o y 平面 Z 轴的方向取为 2 V 竖直向下 作用在曲面上的压强就是大气压 而作用在曲面上的压强则 1 S 0 P 2 S 为 gzPP 0 式中 P 为液体的密度 z 为曲面上某点处位于液面下的深度 作用在物 2 S 22 体上的浮力就是由于作用在物体下部的压强大于作用在物体上部的压强而产生 的 我们来具体计算一下 因为作用在物体表面上任一面元上的压力总是与面元的法向矢量方向相n 反 所以有 24 sss sss s ss sdkpksd j p jsdi pi dsPkdsPjdsPi dskxjiP ndsPsPdF coscoscos coscoscos 浮 式中为与三个坐标轴的夹角 应用在高斯公式 上式可化为体积分 n 25 kgv dvkg dvgzPdvP PdvPdv dvP dvk z j y i x dv z kdv y jdv x i dvkpkdv j p jdvi piF v vv vv v v vvv vvv 2 00 0 2 21 21 0 浮 上式即为我们所熟知的阿基米德浮力定律的数学表达式 它表 明 浸在 液体里的物体受到向上的浮力 浮力的大小等于物体所排开的液体的重量 6 6 高斯公式推证静电场中的高斯定理高斯公式推证静电场中的高斯定理 静电场中的高斯定理 0 e 1 内 S i s qsdE 在一般的普通物理教科书中 对高斯定理都不作严格的证明 而是利用电 力线的概念加以说明 也有少数书中是采用引进 立体角 的概念来证明的 23 其实 应用高斯公式可以很简洁地证明高斯定理 而且不需要引进 立体角 的概念 我们先讨论单个点电荷的情况 在闭合曲面 S 内有一点电荷 q 它所产生 的场强为 则穿出 S 的电通量为 3 0 4r rq E ss e r sdrq dsE 3 0 4 注意 现在我们还不能利用高斯公式把上式中的面积分化为体积分 因 为高斯公式成立的条件要求在闭合曲面 S 所包围的区域 V 内是连续函数 E 但显然在区域 V 内 r 0 处 即点电荷 q 处 不连续 我们可在 3 0 4r rq E 闭曲面 S 内作一个以点电荷 q 为中心 以 R 为半径 的小球面的方向和 S 一样 S 都取为外法线方向 那么 在闭合曲面 S 和之间的区域中 S 0 r 满足连续的条件 于是我们可利用高斯公式来计算通过区域的边界曲面E 的电通量 26 dv r rq dvEsdE e3 0 4 由直接计算可得 所以 0 3 r r 0 r0 e 在面积分 曲面的外法线方向在曲面 S 处与 S 的外法线方向 sdE 相同 而在曲面处则与的外法线方向相反 于是有 S S 0 e ss sdEsdEsdE 所以 ss sdEsdE 这说明通过包含点电荷的任意闭合曲面的电通量都与通过以 该点电荷为 中心的任一球面的电通量相等 而通过球面的电通量很容 易算出 0 2 2 0 2 0 3 0 4 444 q R R q ds R q sd r rq ss e 所以 0 q e 当点电