高考数学《坐标系与参数方程》专项练习(含答案)

1 坐标系与参数方程 专项练习 一 知识梳理 1 极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点 它的直角坐标是 x y 极坐标是 则它们之间的关系为 1 2 sin cos y x x y yx tan 222 2 参数方程 t 为参数 化为普通方程的常用方法 tgy tfx 1 代入法 加减法消参 2 借助三角恒等式 sin2 cos2 1 为参数 消参 3 直角坐标方程 极坐标方程和参数方程的转化关系 极坐标方程 直角坐标方程 普通方程 x y 参数方程 t 为参数 二 练习专项 题型 1 极坐标方程 直角坐标方程 参数方程 直角坐标方程 1 2016 全国 卷 文科 23 10 分 在直线坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 sin cos3 y x C2的极坐标方程为 sin 2 4 2 写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程 设点 P 在 C1上 点 Q 在 C2上 求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 解 由消去参数 得 1 分 sin cos3 y x 此处为消参的计算过程 可省略 变形得 sin cos 3 y x两边平方 得 sin cos 3 22 2 2 y x 得 y2 1 3 2 x C1的普通方程为 y2 1 2 分 3 2 x sin 2 4 2 sin cos cos sin 2 3 分 4 4 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 sin cos 4 4 分 cos x sin y x y 4 5 分 y x y A M xO 2 由题意 可设点 P 的直角坐标为 6 分 3cos sin C2是直线 的最小值即为 P 到 C2的距离的最小值 PQ d 8 分 3cossin4 2 sin 2 32 d 当且仅当时 取得最小值 最小值为 9 分 2 6 kkZ d 2 此时 P 的直角坐标为 10 分 3 1 2 2 2 2009 全国卷 文 理 23 10 分 已知曲线 C1 t 为参数 ty tx sin3 cos4 C2 为参数 sin3 cos8 y x 化 C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 若 C1上的点 P 对应的参数为 t Q 为 C2上的动点 求 PQ 中点 M 到直线 C3 2 t 为参数 距离的最小值 ty tx 2 23 解 由 C1 消去参数 t 得 1 分 ty tx sin3 cos4 此处为消参的计算过程 可省略 变形得 ty tx sin3 cos4 两边平方 得 sin 3 cos 4 22 2 ty tx 得 x 4 2 y 3 2 1 C1的普通方程为 x 4 2 y 3 2 1 2 分 C1为圆心是 4 3 半径是 1 的圆 由 C2 消去参数 得 1 分 sin3 cos8 y x 此处为消参的计算过程 可省略 变形得 sin 3 cos 8 y x 两边平方 得 sin 9 cos 64 2 2 2 2 y x 得 1 64 2 x 9 2 y C2的普通方程为 1 2 分 64 2 x 9 2 y C2为焦点在 x 轴上的椭圆 当时 2 t 4 4 P 8cos 3sin Q 故 3 24cos 2sin 2 M 为直线 3 C270 xy 3 M 到的距离 3 C 5 4cos3sin13 5 d 从而当时 取得最小值 43 cos sin 55 d 8 5 5 题型 2 直角坐标方程 极坐标方程 直角坐标方程 参数方程 3 2016 全国 卷 文科 23 10 分 在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x 6 2 y2 25 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求 C 的极坐标方程 直线 l 的参数方程是 t 为参数 l 与 C 交于 A B 两点 AB sin cos ty tx 10 求 l 的斜率 解 由圆 C 的方程可得 1 分 256 2 2 yx x2 12x 36 y2 25 x2 y2 12x 11 0 2 分 把 x2 y2 2 x cos 代入上式得 3 分 2 12 cos 11 0 4 分 圆 C 的极坐标方程为 2 12cos 11 0 5 分 在 中建立的极坐标系中 直线 l 的极坐标方程为 R 由 A B 所对应的极径分别为 1 2 8 分 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2 12 cos 11 0 7 分 于是 1212 12cos 11 8 分 22 121212 4144cos44 AB 由 AB 得10 9 分 2 315 cos tan 83 l 的斜率为或 10 分 15 3 15 3 4 2015 全国 卷 文 理 23 10 分 在直角坐标系 xOy 中 直线 C1 x 2 圆 C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求 C1 C2的极坐标方程 若直线 C3的极坐标方程为 R 设 C2与 C3的交点为 M N 求 C2MN 的面 积 解 把 x cos 代入 C1 x 2 得 cos 2 1 分 C1的极坐标方程为 cos 2 2 分 由 C2 x 1 2 y 2 2 1 得 x2 2x 1 y2 4y 4 1 x2 y2 2x 4y 1 4 1 x2 y2 2x 4y 4 0 3 分 把 2 x2 y2 x cos y sin 代入上式得 4 分 C2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 5 分 将 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 4 4 2 3 4 0 6 分 2 解得 1 2 2 7 分 22 故 1 2 即 MN 8 分 22 由于 C2的半径为 1 C2MN 的面积为 10 分 1 2 5 2014 全国 卷 文 理 23 10 分 已知曲线 C 直线 l t 为参数 1 94 22 yx ty tx 22 2 写出曲线 C 的参数方程 直线 l 的普通方程 过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线 交 l 于点 A 求 PA 的最大值与最小 值 解 曲线 C 1 2 4 2 9 1 3 2 22 yx 又 sin2 cos2 1 cos sin 2 x 3 y x 2cos y 3sin 曲线 C 的参数方程为 为参数 sin3 cos2 y x 由直线 l 消去参数 t 得 2 2 2 此处为消参的计算过程 可省略 2 2 2 由 得 t x 2 把 代入 得 y 2 2 x 2 整理得 2x y 6 0 直线 l 的普通方程为 2x y 6 0 曲线 C 上任意一点 P 2cos 3sin 到 l 的距离为 d 4cos 3sin 6 5 5 则 PA 5sin 6 其中 为锐角 且 tan 30 2 5 5 4 3 当 sin 1 时 PA 取得最大值 最大值为 22 5 5 当 sin 1 时 PA 取得最小值 最小值为 2 5 5 6 2014 全国 卷 文 理 23 10 分 在直角坐标系 xOy 中 以坐标原点为极点 x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系 半圆 C 的极坐标方程为 2cos 0 2 求 C 的参数方程 设点 D 在 C 上 C 在 D 处的切线与直线 l y x 2 垂直 根据 中你得到3 的参数方程 确定 D 的坐标 解 2cos 2 2 cos 把 x2 y2 2 x cos 代入上式得 5 x2 y2 2x C 的普通方程为 x 1 2 y2 1 0 y 1 半圆 C 的圆心为 1 0 半径为 1 可得 C 的参数方程为 t 为参数 0 t 1 设 D 1 cost sint 由 知 C 是以 G 1 0 为圆心 1 为半径的上半圆 C 在点 D 处的切线与 l 垂直 直线 GD 与 l 的斜率相同 tant t 3 3 故 D 的直角坐标为 即 1 3 3 3 2 3 2 题型 3 极坐标方程 参数方程 7 2016 全国 卷 文 理 23 10 分 在直角坐标系xOy 中 曲线 C1的参数方程为 t 为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 tay tax sin1 cos 曲线 C2 4cos 说明 C1是哪一种曲线 并将 C1的方程化为极坐标方程 直线 C3的极坐标方程为 0 其中 0满足 tan 0 2 若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上 求 a 解 解法一 C1是圆的方程 1 分 由消去参数 t 得 2 分 tay tax sin1 cos 此处为消参的计算过程 可省略 移项 得 tay tax sin1 cos 两边平方 得 22 22 sin 1 cos tay tax 即 sin 1 cos 222 222 tay tax 得 x2 y 1 2 a2cos2t a2sin2t x2 y 1 2 a2 cos2t sin2t x2 y 1 2 a2 2 22 1xya 整理得 3 分 222 210 xyya 把代入上式得 4 分 222 sinxyy 22 2 sin10a 的极坐标方程为 5 分 1 C 22 2 sin10a 由 C2 4cos 得 两边同乘 得 2 4 cos 2 x2 y2 cos x 6 分 22 4xyx 即 7 分 2 2 24xy C3 化为普通方程为 8 分2yx 由题意 和的公共方程所在直线即为 1 C 2 C 3 C 得 即为 9 分 2 4210 xya 3 C 2 10a 6 10 分1a 8 2013 全国 卷 文 理 23 10 分 已知曲线 C1的参数方程为 t 为参数 以 ty tx sin55 cos54 坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 2sin 把 C1的参数方程化为极坐标方程 求 C1与 C2交点的极坐标 0 0 2 解 将消去参数 t 得 ty tx sin55 cos54 C1的普通方程为 x 4 2 y 5 2 25 即 C1 x2 y2 8x 10y 16 0 将代入上式得 sin cos y x 2 8 cos 10 sin 16 0 C1的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0 C2的极坐标方程为 2sin C2的普通方程为 x2 y2 2y 0 由 02 016108 22 22 yyx yxyx 此处为解方程的过程 可省略 得 8x 8y 16 0 整理 得 y 2 x 把 代入 得 x2 2 x 2 2 2 x 0 整理 得 x2 x 0 特别注意 x 是未知数 不能约去的 提取 x 得 x x 1 0 x 0 或 x 1 0 解得 x 0 或 x 1 把 x 0 代入 得 y 2 把 x 1 代入 得 y 1 解得或 2 0 y x 1 1 y x C1与 C2交点的直角坐标分别为 0 2 1 1 对于点 0 2 有 2 22 yx 22 20 2 对于点 1 1 有 tan 1 22 yx 22 11 2 x y 4 C1与 C2交点的极坐标分别为 2 2 2 4 题型 4 其它题型 求交点坐标 求点的坐标 求轨迹方程等 9 2015 全国 卷 文 理 23 10 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1 t 为参数 sin cos ty tx t 0 其中 0 在以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C2 2sin C3 2cos 3 求 C2与 C3交点的直角坐标 若 C1与 C2相交于点 A C1与 C3相交于点 B 求 AB 的最大值 解 C2 2sin 2 2 sin 7 把 2 x2 y2 y sin 代入上式得 曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y2 2y 0 1 分 C3 2cos 3 2 2 cos 3 把 2 x2 y2 x cos 代入上式得 曲线 C3的直角坐标方程为 x2 y2 2x 0 2 分3 联立 得 3 分 032 02 22 22 xyx yyx 此处为解方程的过程 可省略 得 2y 2x 03 整理 得 y x 3 把 代入 得 x2 3x2 2x 03 整理 得 2x2 x 03 特别注意 x 是未知数 不能约去的 提取 x 得 x 2x 03 x 0 或 2x 03 解得 x 0 或 x 2 3 把 x 0 代入 得 y 0 把 x 代入 得 y 2 3 2 3 解得或 4 分 0 0 y x 2 3 2 3 y x C2与 C3交点的直角坐标为 0 0 和 5 分 3 2 3 2 曲线 C1的极坐标方程为 R 0 其中 0 因此 A 的极坐标为 2sin B 的极坐标为 2cos 3 AB 2sin 2cos 4 3 3 当 时 AB 取得最大值 最大值为 4 5 6 10 2013 全国 卷 文 理 23 10 分 已知动点 P Q 都在曲线 C t 为参数 上 ty tx sin2 cos2 对应参数分别为 t 与 t 2 0 2 M 为 PQ 的中点 求 M 的轨迹的参数方程 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 解 动点 P Q 都在曲线 C t 为参数 上 2 2 P 2cos 2sin Q 2cos2 2sin2 M 为 PQ 的中点 xM cos cos2 2 2cos2cos2 yM sin sin2 2 2sin2sin2 M cos cos2 sin sin2 M 的轨迹的参数方程为 为参数 0 2 2 2 M 点到坐标原点的距离 d 0 2 2 2 2 2 当 时 d 0 故 M 的轨迹过坐标原点 8 11 2012 全国卷 文 理 23 10 分 已知曲线 C1的参数方程是 为参数 以坐 sin3 cos2 y x 标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程是 2 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上 且 A B C D 依逆时针次序排列 点 A 的极坐标为 2 3 求点 A B C D 的直角坐标 设 P 为 C1上任意一点 求 PA 2 PB 2 PC 2 PD 2的取值范围 解 点 A 的极坐标为 2 3 点 B 的极坐标为 2 3 2 点 C 的极坐标为 2 3 点 D 的极坐标为 2 3 3 2 xA 1 yA 2 3 2 3 3 xB 2cos yB 2sin 1 3 2 3 3 2 xC 2cos 1 yC 2sin 3 3 3 xD 2cos yD 2sin 1 3 3 2 3 3 3 2 即 A 1 B 1 C 1 D 1 3333 设 P 2cos 3sin 令 S PA 2 PB 2 PC 2 PD 2 则 S 16cos2 36sin2 16 32 20sin2 0 sin2 1 S 的取值范围是 32 52 12 2011 全国卷 文 理 23 10 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 M 是 C1上的动点 P 点满足 2 P 点的轨迹为曲线 sin22 co