2015年高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析

1 圆锥曲线综合题型归纳解析圆锥曲线综合题型归纳解析 知识点精讲 1 定值问题定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决 证明过程可总结为 变量 函数 定值 具体操作程序如下 1 变量 选择适当的量为变量 2 函数 把要证明为定值的量表示成变量的函数 3 定值 化简得到函数的解析式 消去变量得到定值 求定值问题常见的方法有两种 1 从特殊情况入手 求出定值 在证明定值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算过程中消去变量 从而得到定值 2 求最值问题常用的两种方法求最值问题常用的两种方法 1 几何法 题中给出的条件有明显的几何特征 则考虑用几何图形的性质来解决 2 代数法 题中给出的条件和结论的几何特征不明显 则可以建立目标函数 在求 该函数的最值 求函数的最值常见的方法有基本不等式法 单调性法 导数法 和三角换 元等 这是代数法 三 求定值 最值等圆锥曲线综合问题的三 求定值 最值等圆锥曲线综合问题的 三重视三重视 1 重视定义在解题中的应用 优先考虑 2 重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用 3 重视根与系数的关系 韦达定理 在解题中的应用 涉及弦长 中点要用 四 求参数的取值范围四 求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系 再求参数的范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系 再求参数的范围 题型一 平面向量在解析几何中的应用题型一 平面向量在解析几何中的应用 思路提示思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系 并把解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系 并把 向量用坐标表示 常见的应用有如下两个 向量用坐标表示 常见的应用有如下两个 1 用向量的数量积解决有关角的问题 用向量的数量积解决有关角的问题 直角直角 1212 0a bx xy y A 钝角钝角 1212 2222 1122 10 x xy ya b ab xyxy A A A 锐角锐角 1212 2222 1122 01 x xy ya b ab xyxy A A A 2 利用向量的坐标表示解决共线 共面问题 利用向量的坐标表示解决共线 共面问题 1 利用向量的数量积解决有关夹角 锐角 直角 钝角 的问题利用向量的数量积解决有关夹角 锐角 直角 钝角 的问题 其步骤是 弦写出向量的坐标形式 再用向量积的计算公式其步骤是 弦写出向量的坐标形式 再用向量积的计算公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b a b ab xyxy A A A 2 例例 10 44 过抛物线过抛物线的焦点的焦点的直线交抛物线于的直线交抛物线于两点 两点 为为 2 2 0 xpy p F A BO 坐标原点坐标原点 求证 求证 是钝角三角形是钝角三角形 ABO 评注评注 若直线若直线 与抛物线与抛物线交于交于两点 则 两点 则 l 2 2 0 xpy p A B 1 直线直线 在在轴上的截距等于轴上的截距等于时 时 ly2p 0 90AOB 2 直线直线 在在轴上的截距大于轴上的截距大于时 时 ly2p 0 90AOB 3 直线直线 在在轴上的截距大于轴上的截距大于且小于且小于时 时 ly02p 0 90AOB 变式变式 1 如题 20 图 设椭圆的中心为原点 O 长轴在轴上 上顶点为 左 右焦点xA 分别为 线段的中点分别为是面积为 4 的直角三角形 12 F F 12 OF OF 1212 B BAB B 且 1 求该椭圆的离心率和标准方程 2 过作直线 交椭圆于两点 使 求直线 的方程 1 BlPQ 22 PBQB l 变式变式 2 设设分别为椭圆分别为椭圆的左 右顶点 A B 22 1 43 xy 为直线上不同于点的任意一点 若直线分别与椭圆交于异于的的P4x 4 0 AP BP A B 点点 证明 点证明 点在以在以为直径的圆内 为直径的圆内 M NBMN 变式变式 3 已知 m 1 直线 椭圆 分别为椭圆 2 0 2 m l xmy 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F 的左 右焦点 当直线 过右焦点时 求直线 的方程 Cl 2 Fl 设直线 与椭圆交于两点 的重心分别为 若原lC A B 12 AFFV 12 BFFV G H 点在以线段为直径的圆内 求实数的取值范围 OGHm 例例 10 45 在平面直角坐标系中 点在平面直角坐标系中 点到两点到两点的距离之和等于的距离之和等于 设点 设点P 0 3 0 3 4 的轨迹为的轨迹为 直线 直线与与交于交于两点 PC1ykx C A B 3 1 求的方程 的方程 2 若 若 求 求的值的值 COAOB k 变式变式 1 椭圆的左 右 上 下顶点为 焦点为 22 22 1 0 xy Cab ab 12 A A 12 B B 12 F F 1 求椭圆的方程 2 设为过原点的直线 1 1221 122 12 7 2 B A B AB F B F ABSS AA Cm 直线 与椭圆交于两点 且 是否存在上述直线 使lC A B ml mlP 1OP l 成立 若存在 求出成立 若存在 求出直线 的方程 若不存在 请说明理由 0OA OB Al 变式变式 2 椭圆的一个焦点是 为原点坐标 设过点 22 22 1 0 xy Cab ab 1 0 FO 的直线 交椭圆于两点 若直线 交绕点任意转动 恒有 Fl A BlF 222 OAOBAB 求实数的取值范围 a 二 利用向量的坐标表示解决共线问题二 利用向量的坐标表示解决共线问题 12211122 a babx yx yaxybxy 共线或 其中 例例 10 46 在平面直角坐标系中 经过点在平面直角坐标系中 经过点且斜率为且斜率为的直线的直线 与椭圆与椭圆 0 2 kl 有两个不同的交点 1 求的取值范围 的取值范围 2 设 设是椭圆的右顶是椭圆的右顶 2 2 1 2 x y P Qk A B 点和上顶点 是否存在常数点和上顶点 是否存在常数 使 使共线 若存在 求共线 若存在 求的值 若不存在 的值 若不存在 kOPOQAB 与k 请说明理由 请说明理由 变式变式 1 设设椭圆的左右焦点为 离心率 直线 22 22 1 0 xy Cab ab 12 F F 2 2 e 是 上的两个动点 1 若 求 2 a l x c M Nl 12 0FM F N A 12 2 5FMF N 的值 2 证明 当取最小值时 共线 a b MN 1212 FMF NFF 与 例例 10 47 设设是椭圆是椭圆上的两点 并且点满足 当 A B 2 2 1 2 x y 2 0 N NANB 时 求直线斜率的取值范围 斜率的取值范围 1 1 5 3 AB 4 变式变式 1 已知已知分别为椭圆的左 右焦点 直线过且垂直于椭圆的长轴 12 F F 22 1 32 xy 1 l 1 F 动直线垂直于直线 垂足为 线段的垂直平分线交于点 2 l 1 lD 2 DF 2 lM 1 求动点的轨迹的方程 2 过点作直线交于两个不同点 设MC 1 FC P Q 若 若 求 求的取值范围 的取值范围 11 FPFQ 2 3 22 F P F Q A 变式变式 2 过点过点的直线交抛物线的直线交抛物线于于两点 交直线两点 交直线于点于点 已知 已知 1 0 F 2 4yx A B 1l x M 求 求的值 的值 12 MAAF MBBF 12 题型二 定点问题题型二 定点问题 思路提示思路提示 1 直线过定点 由对称性知定点一般在坐标轴上 如直线 直线过定点 由对称性知定点一般在坐标轴上 如直线 过定点过定点 2 一般曲线过定点 把曲线方程变为 一般曲线过定点 把曲线方程变为 0 ykxb k 0 b k 12 0 f x yfx y 为参数 解方程组解方程组 即得定点 即得定点 1 2 0 0 f x y fx y 模型一 三大曲线的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点 模型一 三大曲线的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点 例例 10 48 已知椭圆 直线与椭圆交于两点两点C 22 1 43 xy l ykxm A B 非顶点 且以非顶点 且以为直径的圆过椭圆的右顶点 求证直线为直径的圆过椭圆的右顶点 求证直线 过定点 并求定点坐过定点 并求定点坐 A BABl 标 标 评注 已知椭圆 直线与椭圆交于两两C 22 22 1 0 xy Cab ab l ykxm A B 点 点 非顶点 非顶点 若以若以为直径的圆过椭圆的右顶点 则直线为直径的圆过椭圆的右顶点 则直线 过定点过定点 A BABl 22 22 0 a ab ab 若以若以为直径的圆过椭圆的左顶点 则直线为直径的圆过椭圆的左顶点 则直线 过定点过定点 ABl 22 22 0 a ab ab 若以若以为直径的圆过椭圆的上顶点 则直线为直径的圆过椭圆的上顶点 则直线 过定点过定点 ABl 22 22 0 b ba ab 5 若以若以为直径的圆过椭圆的下顶点 则直线为直径的圆过椭圆的下顶点 则直线 过定点过定点 ABl 22 22 0 b ba ab 类比椭圆 对于双曲线类比椭圆 对于双曲线上异于顶点的两动点 若以 若以为为 22 22 1 0 0 xy ab ab A BAB 直径的圆过椭圆的右顶点 则直线直径的圆过椭圆的右顶点 则直线 过定点过定点l 22 22 0 a ab ab 类比椭圆 对于双曲线类比椭圆 对于双曲线上异于顶点的两动点 若以 若以为为 22 22 1 0 0 xy ab ab A BAB 直径的圆过椭圆的左顶点 则直线直径的圆过椭圆的左顶点 则直线 过定点过定点 l 22 22 0 a ab ab 变式变式 1 已知椭圆的左顶点为 不过的直线与椭圆交于不同 2 2 1 4 x y AA l ykxb 的两点 当时 求的关系 并证明直线 过定点 P Q0AP AQ Akb与l 变式变式 2 已知焦点在轴上的椭圆过点 且离心率为 为椭圆的左顶点 xC 0 1 3 2 QC 求椭圆的标准方程 C 已知过点的直线 与椭圆交于 两点 6 0 5 lCAB 若直线 垂直于轴 求的大小 lxAQB 若直线 与轴不垂直 是否存在直线 使得为等腰三角形 如果存在 lxlQAB 求出直线 的方程 如果不存在 请说明理由 l 例例 10 49 已知抛物线已知抛物线上异于顶点的两动点上异于顶点的两动点 满足以为直径的 2 2 0 ypx p ABAB 圆过顶点 求证 直线过定点 并求出定点坐标 AB 评注评注 1 将斜率存在的直线设为将斜率存在的直线设为 将直线斜率不为的直线设为ykxb 0 xtym 抛物线抛物线中中 2 2 0 ypx p 22 12 121212 2 4 y y x xy yy y p 对于过定点问题 必须引入参数 最后令参数的系数为对于过定点问题 必须引入参数 最后令参数的系数为 0 2 抛物线 抛物线上异于顶点的两动点上异于顶点的两动点 满足 则直线过 2 2 0 ypx p ABOAOB AB 定点 抛物线抛物线上异于顶点的两动点上异于顶点的两动点 满足 则直 2 0 p 2 2 0 xpy p ABOAOB 6 线过定点 AB 0 2 p 变式变式 1 如图如图 10 39 所示 已知定点所示 已知定点在抛物线在抛物线上 过点上 过点作两直作两直 00 P xy 2 2 0 ypx p P 线线分别交抛物线于分别交抛物线于 两点 且以为直径的圆过点 求证 求证 直线过定点 12 l lABABPAB 并求定点坐标 变式变式 2 已知抛物线已知抛物线 过点 过点作两直线作两直线分别交分别交 2 4yx 1 2 M 12 l l 抛物线于抛物线于 两点 且的斜率的斜率满足满足 求证 求证 直线过定点 并求AB 12 l l 12 k k 12 2k k AAB 定点坐标 模型二 三点圆锥曲线中 若过焦点的弦为模型二 三点圆锥曲线中 若过焦点的弦为 则焦点所在坐标轴上存在唯一定点 ABN 使得为定值 NA NB A 例例 10 50 已知椭圆 的右焦点为 且点在椭C 22 22 1 0 xy ab ab 1 0 F 2 1 2 圆上 求椭圆的标准方程 CC 已知动直线 过点 且与椭圆交于 两点 试问轴上是否存在定点 lFCABxQ 使得恒成立 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 7 16 QA QB Q 变式变式 1 已知双曲线已知双曲线的左 右焦点为的左 右焦点为 过 过的动直线与双曲线交于的动直线与双曲线交于 22 2xy 12 F F 2 FA 两点 在轴上是否存在定点 使为常数 若存在 求出点的坐标 若不存BxCCA CB AC 在 请说明理由 题型三 定直线问题题型三 定直线问题 模型 已知椭圆模型 已知椭圆外一点 当过 当过的动直线的动直线 与椭圆交于不与椭圆交于不 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xyPl 同的两点同的两点 时 在线段上取一点 满足 ABABQ APAQ PBQB 7 求证 点总在某定直线上 并求出该直线的方程 Q 证明 设 由题意知 1122 A x yB xyQ x y APAQ PBQB 设在 之间 又在 之间 故 APQ 0 PAAQ QPBPBBQ 又因为又因为 所以 由得 PBBQ 1 0 PAAQ 解得 101011 xxyyxx yy 0 1 0 1 1 1 xx x yy y 同理 由同理 由得解得 PBBQ 202022 xxyyxxyy 0 2 0 2 1 1 xx x yy y 因为点因为点在椭圆上 所以在椭圆上 所以 A 22 00 22 11 1 xxyy ab 即即 222 00 22 1 xxyy ab 同理 由点在椭圆上 可得B 222 00 22 1 xxyy ab 由由 整理得 所以点所以点在定直线上 00 22 1 x xy y ab Q 00 22 1 x xy y ab 类比椭圆 对于双曲线有点类比椭圆 对于双曲线有点在定直线上 Q 00 22 1 x xy y ab 再由再由 的对等性知 当在椭圆内 上述结论仍成立 双曲线亦同 在椭圆内 上述结论仍成立 双曲线亦同 PQP 已知抛物线已知抛物线 定点 定点不在抛物线上 过不在抛物线上 过的动直线的动直线 与抛物与抛物 2 2 0 xpy p 00 P xyPl 线交于不同的两点线交于不同的两点 在线段上取一点 满足 ABABQ APAQ PBQB 求证 点总在某定直线上 并求出该直线的方程 Q 证明 证明 设 由题意知 1122 A x yB xyQ x y APAQ PBQB 设在 之间 又在 之间 故 APQ 0 PAAQ QPBPBBQ 8 又因为又因为 所以 由得 PBBQ 1 0 PAAQ 解得 所以 101011 xxyyxx yy 0 1 0 1 1 1 xx x yy y 00 11 xx yy A 同理 由同理 由得解得 PBBQ 202022 xxyyxxyy 0 2 0 2 1 1 xx x yy y 所以所以 00 11 xx yy B 因为点因为点在抛物线上 所以在抛物线上 所以即A 2 00 2 11 yyxx p 2 00 2 1 yypxx 同理 由点在抛物线上可得 B 2 00 2 1 yypxx 由由 整理得所以点所以点在直线上 00 y yp xx Q 00 y yp xx 评注评注 三大圆锥曲线中 当点三大圆锥曲线中 当点在曲线上时 相应的定直线在曲线上时 相应的定直线 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 均为在定点处的切线 处的切线 00 22 1 x xy y ab 00 y yp xx 00 P xy 例例 10 51 已知椭圆 过点 且左焦点为 C 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 M 1 2 0 F 1 求椭圆的方程 2 当过点的动直线的动直线 与椭圆与椭圆相交于不同的两点不同的两点 C 4 1 PlCA 时 B 在线段上取一点 满足 ABQ APQBAQPB AA 求证 点总在某定直线上 并求出该直线的方程 Q 题型四 定值问题题型四 定值问题 思路提示思路提示 求定值问题的方法有两种 求定值问题的方法有两种 1 从特殊入手 求出其值 再证明这个值与变 从特殊入手 求出其值 再证明这个值与变 量无关 这符合一般与特殊的思维辩证关系 简称为 特殊探路 一般论证 量无关 这符合一般与特殊的思维辩证关系 简称为 特殊探路 一般论证 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 模型 在三大曲线中 曲线上的一定点模型 在三大曲线中 曲线上的一定点与曲线上的两动点与曲线上的两动点 满足满足 则 则PAB0 PAPB kk 直线直线的斜率是定值 的斜率是定值 AB 9 例例 10 52 已知椭圆 椭圆椭圆上的点 是椭圆是椭圆上的两动点 C 22 1 43 xy C 3 1 2 A E FC 若 求证 直线 求证 直线的斜率为定值 并求出该定值 的斜率为定值 并求出该定值 0 AEAF kk EF 变式变式 1 已知已知是长轴为是长轴为 4 焦点在 焦点在轴上的椭圆上的三点 点轴上的椭圆上的三点 点是长轴的一个端点 是长轴的一个端点 A B CxA 过椭圆的中心过椭圆的中心 且 且 1 求椭圆的方程 求椭圆的方程 BCO0 2 AC BCBCAC A 2 如果椭圆上的两点 如果椭圆上的两点 使得 使得的平分线垂直于的平分线垂直于 问是否存在实数 问是否存在实数使得使得 P QPCQ OA 说明理由 说明理由 PQAB 变式 2 如图 过抛物线上一定点 作两条直线分别交 2 2 0 ypx p 000 0 P xyy 抛物线于 1122 A x yB xy I 求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离 2 P F II 当与的斜率存在且倾斜角互补时 PAPB 求的值 并证明直线 AB 的斜率是非零常数 0 21 y yy 题型五 最值问题题型五 最值问题 思路提示思路提示 有两种求解方法 一是几何法 所求最值量具有明显的几何意义时 可利用有两种求解方法 一是几何法 所求最值量具有明显的几何意义时 可利用 几何性质结合图形直观求解 二是目标函数法 即选取适当的变量 建立目标函数 然后几何性质结合图形直观求解 二是目标函数法 即选取适当的变量 建立