概率论与数理统计（经管类）

04183 概率论与数理统计 经管类 1 若 E XY E X YE 则必 D X Y D X D Y 2 一批产品共有 18 个正品和 2 个次品 任意抽取两次 每次抽一个 抽出后不再放回 则第二次抽出的是 次品的概率为 0 1 3 设随机变量X的分布函数为 xF 下列结论错误的是 xF 连续 4 当 X 服从参数为 n p 的二项分布时 P X k knkk n qpC 5 设X服从正态分布 4 2 N Y服从参数为 21 的指数分布 且X与Y相互独立 则 23 DXY 20 6 设 n XXX 21 独立同分布 且 1 EX 及 2 DX 都存在 则当 n 充分大时 用中心极限定理 得 1 n i i PXaa 为常数 的近似值为 1 an n 7 设二维随机变量 YX 的联合分布函数为 yxF 其联合分布律为 Y X0 1 2 1 0 1 0 2 0 0 1 0 0 4 0 0 1 0 0 2 则 0 1 F 0 6 8 设 k XXX 21 是来自正态总体 1 0 N 的样本 则统计量 22 2 2 1k XXX 服从 2 分布 分布 9 设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从 1 0 N 和 1 1 N 则 21 1 YXP 10 设总体 X N 2 2 为未知 通过样本 n xxx 21 检验 00 H 时 需要用统计量 ns x t 0 12 设 A B 表示三个事件 则AB表示 A B 都不发生 13 设随机变量 X 的概率密度为 0 0 0 e 5 x xc xf x 则常数 c 等于 0 2 14 设随机变量 X 的概率密度为 其他 10 0 3 xax xf 则常数 a 4 15 设 21 AP 31 BP 61 ABP 则 ABP1 12 16 随机变量 F F n1 n2 则F 1 F n2 n1 18 设 0 2XN 0 1YN 且X与Y相互独立 则随机变量 ZXY 0 3 N 19 抛一枚不均匀硬币 正面朝上的概率为 32 将此硬币连抛 4 次 则恰好 3 次正面朝上的概率是 818 20 设 CBA 为三事件 则 BCA BCA 21 已知 AP 0 7 BP 0 6 3 0 BAP 则 BAP 0 1 22 设随机变量 X 服从正态分布 N 2 则随 的增大 概率 P X 保持不变 23 对正态总体的数学期望 进行假设检验 如果在 0 05 的显著水平下拒绝 H0 0 那么在 0 01 的 显著水平下 必拒绝 H0 24 设 F x 和 f x 分别为某随机变量的分布函数和概率密度 则必有 0F 25 设X的方差为 2 则根据切比雪夫不等式有估计 2 EXXP 0 5 26 设二维随机变量 YX 的联合分布律为 Y X0 1 2 1 0 1 0 2 0 0 1 0 0 4 0 0 1 0 0 2 则 1 P XY 0 8 27 已知随机变量 X 的概率密度为 xfX 令 Y 2X 则 Y 的概率密度 yfY 为 2 2 1y fX 28 设随机变量X服从参数为 的指数分布 且 1 XE 3 则 0 5 29 设二维随机变量 X Y 的分布函数为 F x y 则 F x Fx x 30 设 与 互为对立事件 且 A 0 B 0 则下列各式中正确的是 0 5P AB 31 设随机变量 的分布函数是 x 下列结论中不一定成立的是 xF 为连续函数 32 设随机变量 2 4 则 3 X 4 2 25 X0 是未知参数 记 n i i x n x 1 1 则 的无偏估计是 x2 33 若 E X D X 2 0 由切比雪夫不等式可估计 33 XP 8 9 34 设二维随机变量 X Y 的分布函数为 F x y 则 F x F x 35 随机变量 F F n1 n2 则F 1 F n2 n1 三 计算题 1 设 X 与 Y 为相互独立的随机变量 X 在 2 2 上服从均匀分布 Y 服从参数为 3 的指数分布 求 X Y 的概率密度 2 设连续型随机变量X的分布函数为 0 0 0 x xea xF x 求 1 求常数a 2 求随机变量X的密度函数 3 设随机变量 2 5 XU 现对X进行三次独立观测 求 1 3 P X 2 至少有两次观测值 大于 3 的概率 4 设 n XX 1 是来自总体的一样本 求 他他 0 10 1 xx xf 其中 为未知参数 求 的矩估计 5 已知某电子器材厂生产一种云母带的厚度服从正态分布 其均值 0 13 mm 标准差 0 015 mm 某日开工后检查 10 处厚度 算出其平均值x 0 146 mm 若厚度的方差不变 试问该日云母带的厚度的均 值与 0 13 mm 有无显著差异 0 05 96 1 025 0 u 6 10 件产品中有 4 件是次品 从中随机抽取 2 件 求 1 两件都是次品的概率 2 至少有一件是次品的 概率 7 有朋友自远方来 他乘火车 轮船 汽车 飞机来的概率分别为 0 3 0 2 0 1 0 4 如果他乘火车 轮船 汽车来的话 迟到的概率分别为 0 25 1 3 1 12 而乘飞机则不会迟到 求 1 他迟到的概率 2 已知迟到了 他 乘火车来的概率是多少 8 设随机变量X的分布律为 1 04 02 03 0 2320 求Y的分布律 其中 1 2 2 XY 2 cos 2 ZX 9 正常人的脉搏平均次数为 72 次 分 今对 10 名某种疾病患者测量脉搏 平均数为 67 5 次 分 样本标准差为 6 3386 设患者的脉搏次数 X 服从正态分布 试检验患者的脉 搏与正常人的脉搏有无差异 注 0 05 t0 025 9 2 262 10 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1 0 0 和 2 0 0 现从 A 和 B 的产品中分别占 60 0 0 和 40 0 0 的 一批产品中随机抽取一件 发现是次品 试求该次品属于 A 生产的概率 11 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数为 求 1 X aX b 与 2 X CY d 的相关系数 其中 a b c d 均为 常数 且 a 0 c 0 12 设 n XX 1 是来自总体X的一样本 求 1 01 0 xx f x 他他 其中 为未知参数 求 极大似然估计 13 从五副不同的手套中任取 4 只 求其中至少有两只手套配成一副的概率 14 设二维随机变量的分布律为 Y X 1 0 3 1 4 1 4 1 6 1 试求 1 X Y 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 2 X 与 Y 是否相互独立 为什么 15 设 X 的密度函数为 他他他 10 0 1 2 xx xf 求 Y X3 的期望和方差 16 设 X Y 的概率密度为 3 01 01 0 xyxy f x y 他他 1 求边缘概率密度 xfX yfY 2 求 XE 和 XD 17 设随机变量X的密度函数为 2 0 3 0 axx f x 其他 求 1 常数a的值 2 1YX 的密度函数 Y fy 18 设连续型随机变量 X 的分布函数为 8 80 0 1 8 0 x x x x xF 求 1 X 的概率密度 xf 2 8 XD XEXP 19 某种导线 要求其电阻的标准差不得超过 0 005 今在生产的一批导线中取样品 9 根 测得 s 0 007 设总体为正态分布 问在显著性水平 0 05 下能否认为这批导线的标准差显著地偏大 2 0 05 8 15 507 2 0 95 8 2 733 20 某厂生产的铁丝的折断力服从正态分布 且已知平均折断力为 570 公斤 标准差为 8 公斤 现在改变了 原材料 据检验 标准差不会改变 今从新生产的铁丝中随机抽取抽取 10 根 测得折断力的平均值为 574 8 公斤 问新产品的平均折断力是否有显著改变 96 1 05 0 025 0 三 计算题 答案 1 由已知条件得 X Y 的概率密度分别为 其他 11 0 2 1 x xfX 其他 0 0 2 2 Y ye yf y 因为 X 与 Y 相互独立 所 以 其他 0 11 0 2 YX yxe yfyfyxf y 2 解 1 由 1 F 得 1 a 2 因为 0 0 0 1 x xe xF x 故 xFxf 0 0 0 x xe xF x 3 解 1 因 1 25 3 0 x f x 他他 故 3 P X 5 3 1 32 3dx 2 P 至少有两次观测值大于 3 2233 33 21220 33327 CC 4 解 由 1 1 0 1 EXxf x dxxxdxX 得 2 1 X X 5 解 01 0 13 0 13HH 取 1 0 N n X U 故拒绝域为 0 025 1 96UZ 而 0 1460 13 1 96 0 01510 U 因此拒绝 0 H 认为有显著的差 异 6 解 1 用 A 表示取到两件皆次品 则 A 中含有 2 3 C 个基本事件 故 P A 15 1 2 10 2 3 C C 2 用 B 表示取到的两件中至少有一件是次品 B i 0 1 2 表示两件中有 i 件次品 则 B B1 B2 显然 B0 B1 B2 互不相容 故 P B P B1 P B2 15 8 2 10 2 3 2 10 1 7 1 3 C C C CC 7 解 设 1 H 乘火车 2 H 乘汽车 3 H 乘轮船 4 H 乘飞机 A 他迟到 则 1 11223344 311 11123 0 10 45 310 12520 P AP A HP HP A HP HP A HP HP A HP H 2 11 1 1 0 3 0 25 0 5 3 20 P A HP HP H A P H A P AP A 8 解 因为X的分布律为 1 04 02 03 0 2320 故得 X 0 2 23 2 2 XY 2 0 2 4 2 2cos XZ 11 11 P 0 30 20 40 1 2 故 1 2 2 XY 的分布律为 5 Y0 2 4 2 P0 20 70 1 2 2cos XZ 的分布律为 8 Z 11 P0 70 3 9 X N u 2 H0 u u0 由于总体方差未知 可用 T 统计量 由X 67 5 S 6 3386 T nS X 0 67 2 72 10 6 3386 2 394 t0 025 9 2 262 T 2 3947 2 262 T 落入拒绝域故否定原假设 认为患者的脉搏与正常人有显著差异 10 解 设 A H A生产的次品 B H B生产的次品 C 抽取的一件为次品 0 01 0 63 0 01 0 60 02 0 47 AA A AABB P C HP H P HC P C HP HP C HP H 11 COV X1 X2 COV aX b cY d acCOV X Y 2 分 D X1 D aX b a2D X 1 分 D X2 D cY d c2D Y 1 分 21 21 21 XDXD XXCOV XX YDXDac YXacCOV 0 0 ac ac ac ac 12 解 因为 11 1 nn ii ii Lf xx 故 1 ln ln 1 ln n i i Lx 从而由 1 ln 1 ln 0 1 n i i L x 得 1 1 ln n i i n x 13 解 令 没有两只手套配成一副 这一事件为 A 则 P A 21 8 4 10 1 2 1 2 1 2 1 2 4 5 C CCCCC 则 至少有两只手套配成一副的概率 这一事件为A 21 13 21 8 1 1 APAP 14 解 关于 的边缘分布律 0 12 7 12 5 关于 的边缘分布律 12 7 12 5 由于 144 49 1 0 3 1 1 0 YPXPYXP 因此 X 与 Y 不互相独立 15 解 10 1 1 2 1 0 333 dxxxdxxfxXEYE 036 0 28 1 1 2 1 0 6662 dxxxdxxfxXEYE 026 0 100 1 28 1 22 YEYEYD 16 17 1 由 3 1 1 0 2 a dxaxdxxf 得 3 a 2 1 1 Y FyP YyP XyP Xy 2 2 1 1 8 1 1 0 2 2 1 1 3 1 0 3 2 1 0 2 2 1 y y y y y y dxx y dxxf yy 故 其他 0 21 8 1 3 2 y y yFyf 18 1 他他 80 0 8 1 x xFxf 2 6 1 8 1 3 14 3 10 3 2 4