三角恒等变换教案

1 三角恒等变换教案 适用学科 高中数学适用年级高中一年级 适用区域 全国通用课时时长 分钟 60 知识点 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 二倍角公式 辅助角公式 教学目标 理解并掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式 二倍角公式 辅助角公式 体会三角恒等变 换在数学中的应用 教学重点 1 二倍角公式的推导 2 三角变换的内容 思路和方法 在与代数变换相比较中 体会三角变换的特点 教学难点 认识三角变换的特点 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计 不断提高从整体上把握变 换过程的能力 2 3 教学过程 一 课堂导入 思路 1 我们知道变换是数学的重要工具 也是数学学习的主要对象之一 三角函数主要有以下三个基本的恒等变换 代数变换 公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换 前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换 本 节将综合运用和 差 角公式 倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换 思路 2 三角函数的化简 求值 证明 都离不开三角恒等变换 学习了和角公式 差角公式 倍角公式以后 我们就有 了进行三角变换的新工具 从而使三角变换的内容 思路和方法更加丰富和灵活 同时也为培养和提高我们的推 理 运算 实践能力提供了广阔的空间和发展的平台 对于三角变换 由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差 异 而且还会有所包含的角 以及这些角的三角函数种类方面的差异 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的 各个角之间的联系 并以此为依据选择可以联系它们的适当公式 这是三角式恒等变换的重要特点 4 二 复习预习 复习三角函数值的计算及诱导公式 一 六 公式一 sin 2sin k cos 2cos k tan 2tan k sin sinpaa cos cospaa tan tanpaa 公式二 sin sinaa cos cosaa tan tanaa 公式三 公式四 sinsin coscos tantan sin cos 2 p aa 公式五 sin cos 2 p aa 公式六 cos sin 2 p aa cos sin 2 p aa 5 三 知识讲解 考点 1 两角和的正弦 余弦 正切公式 coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantan tan 1tantan tantantan1tantan tantan tan 1 tantan tantantan1 tantan 6 考点 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 sin22sincos 222 cos sincossin2cossin2sin1 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式 2 sin2cos1 2 cos2cos1 22 降幂公式 2 cos21 cos 2 2 1 cos2 sin 2 2 2tan tan2 1 tan 2 tan1 2 tan1 cos 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 2 万能公式 7 考点 3 辅助角公式 把两个三角函数的和或差化为 一个三角函数 一个角 一次方 的 形式 BxAy sin 其中 22 sincossin A A tan A 8 四 例题精析 考点一 两角和的正弦 余弦 正切公式 例 1已知 4 4 3 0 4 cos 4 5 3 sin 4 3 13 5 求 sin 的值 9 10 规范解答 4 4 3 2 4 3 4 0 1sin 3 1 1 x 4 0 2 4 3 4 3 sin 4 5 4 cos 4 3 13 12 sin cos 2 cos 4 4 3 65 56 总结与反思 这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式 先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可 11 例 2 计算 sin 68 sin 67 sin 23 cos 68 的值为 A B C D 1 2 2 2 2 3 2 12 规范解答 原式 sin 68 cos 23 cos 68 sin 23 sin 68 23 sin 45 2 2 总结与反思 本题考察了两角差的正弦公式 带入公式即可 13 考点二 二倍角公式的应用 例 3 化简 42 2 1 2cos2cos 2 2tan sin 44 xx xx 14 规范解答 切化弦 合理使用倍角公式 原式 22 2 1 2sincos 2 2sin cos 44 cos 4 xx xx x 2 1 1 sin 2 2 2sin cos 44 x xx 2 1 cos 2 2 sin 2 2 x x cos 2x 1 2 总结与反思 三角函数式的化简要遵循 三看 原则 1 一看 角 这是最重要的一环 通过看角之间的差别与联系 把角进行合理的拆分 从而正确使用公式 2 二看 函数名称 看函数名称之间的差异 从而确定使用的公式 常见的有 切化弦 3 三看 结构特征 分析结构特征 可以帮助我们找到变形的方向 常见的有 遇到分式要通分 等 15 例 4 化简 sin cos 1 sin cos 1 sin 2 16 规范解答 原式 2sin 2cos 2 2sin2 2 2sin 2cos 2 2sin2 2 4sin 2cos 2cos cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2cos tan cos2 2 sin2 2 sin 2 cos 2cos cos sin 2 cos 2cos 2 总结与反思 三角函数式的化简要遵循 三看 原则 1 一看 角 这是最重要的一环 通过看角之间的差别与联系 把角进行合理的拆分 从而正确使用公式 2 二看 函数名称 看函数名称之间的差异 从而确定使用的公式 常见的有 切化弦 3 三看 结构特征 分析结构特征 可以帮助我们找到变形的方向 常见的有 遇到分式要通分 等 17 18 考点三 辅助角公式的应用 例例 5 已知函数 f x 2cos 2x sin2x 1 求 3 f 的值 2 求 f x 的最大值和最小值 19 规范解答 先化简函数 y f x 再利用三角函数的性质求解 1 3 f 2cos sin2 2 3 3 1 3 4 1 4 2 f x 2 2cos2x 1 1 cos2x 3cos2x 1 x R cos x 1 1 当 cos x 1 时 f x 取最大值 2 当 cos x 0 时 f x 取最小值 1 总结与反思 高考对两角和与差的正弦 余弦 正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中 需要利用这些公 20 式 先把函数解析式化为 y A sin x 的形式 再进一步讨论其定义域 值域和最值 单调性 奇偶性 周期性 对称性等性质 21 课程小结 1 本节课主要是三角恒等变换的应用 通过三角恒等变形 把形如 y a sin x b cos x 的函数转化为形如 y A sin x 的函数 从而能顺利考查函数的若干性质 达到解决问题的目的 在教学中教师要强调 分析 研究三角函数的 性质 是三角函数的重要内容 如果给出的三角函数的表达式较为复杂 我们必须先通过三角恒等变换 将三角函数的 解析式变形化简 然后再根据化简后的三角函数 讨论其图象和性质 因此 三角恒等变换是求解三角函数问题的一个 基本步骤 但需注意的是 在三角恒等变换过程中 由于消项 约分 合并等原因 函数的定义域往往会发生一些变化 从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价 因此 在对三角函数式进行三角恒等变换后 还要确定原三角函 数的定义域 并在这个定义域内分析其性质 2 在三角恒等变化中 首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 并由此导出角和与差的正弦 余弦 正 切公式 二倍角公式和积化差 和差化积及半角公式 以此作为基本训练 其次要搞清楚各公式之间的内在联系 自己 画出知识结构图 第三就是在三角恒等