《抛物线及其标准方程》作业

第 1 页 共 15 页 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 小题 1 已知点 P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动 则点 Q x y xy 的轨 迹是 A 圆B 抛物线 C 椭圆D 双曲线 2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 M 为侧面 ABB1A1所在平面上的一个动点 且 M 到平面 ADD1A1的距离与 M 到直线 BC 距离相等 则动点 M 的轨迹为 A 椭圆B 双曲线 C 圆D 抛物线 3 已知定点 A 1 1 和直线 l x y 2 0 则到定点 A 的距离和到定直线 l 的 距离相等的点的轨迹为 A 椭圆B 双曲线 C 抛物线 D 直线 4 若抛物线 y2 2px 的焦点与双曲线 1 的右焦点重合 则 p 的值为 A 2B 2C 4D 4 5 抛物线 y 4x2的准线方程是 A y 1 B y 1 C y D y 6 抛物线的准线方程是 则其标准方程是 A y2 2xB x2 2yC y2 xD x2 y 7 顶点在原点 对称轴是 y 轴 并且顶点与焦点的距离为 3 的抛物线的标准方 程为 A x2 3y B y2 6x C x2 12yD x2 6y 8 已知点 F 为抛物线 y 2 8x 的焦点 O 为原点 点 P 是抛物线准线上一动点 点 A 在抛物线上 且 AF 4 则 PA PO 的最小值为 A 6B C D 4 2 第 2 页 共 15 页 二 填空题 共二 填空题 共 8 小题 小题 9 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点 A B 是该抛物线上的两点 AF BF 3 则 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 10 抛物线 y 4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 的纵坐标是 11 圆心在 x 轴上 经过原点 并且与直线 y 4 相切的圆的标准方程是 12 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F 1 0 的距离比到直线 x 2 的 距离小 1 若机器人接触不到过点 P 1 0 且斜率为 k 的直线 则 k 的取值 范围是 13 若坐标原点到抛物线 x m2y2的准线的距离为 2 则 m 焦点坐标 为 14 顶点在原点 对称轴是坐标轴 且焦点在直线 2x y 2 0 上的抛物线方程是 15 在平面直角坐标系 xOy 中 若抛物线 y2 2px 经过点 4 2 则实数 p 16 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 抛物线的通径的长为 5 抛物线上横坐标为 2 的点到焦点的距离等于 6 抛物线的准线方程为 x 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 能使抛物线方程为 y2 10 x 的条件是 三 解答题 共三 解答题 共 2 小题 小题 17 平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 M 1 3 N 5 1 若 点 C 满足 t 1 t t R 点 C 的轨迹与抛物线 y2 4x 交于 A B 两 第 3 页 共 15 页 点 求证 在 x 轴上是否存在一点 P m 0 m R 使得过 P 点的直线交抛物线 于 D E 两点 并以该弦 DE 为直径的圆都过原点 若存在 请求出 m 的值及圆 心的轨迹方程 若不存在 请说明理由 18 已知点 F 0 1 为抛物线 x2 2py 的焦点 1 求抛物线 C 的方程 2 点 A B C 是抛物线上三点且 求 ABC 面积的最大值 第 4 页 共 15 页 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 小题 1 已知点 P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动 则点 Q x y xy 的轨 迹是 A 圆B 抛物线 C 椭圆D 双曲线 分析 先设处点 Q 的坐标 进而根据定义得出 u x y 和 v xy 利用圆的半径 为 1 代入圆的方程 进而求得 u 和 v 关系 则点的轨迹可得 解答 解 设 Q u v 则 x2 y2 1 u2 2v x2 y2 1 点 Q 的轨迹是抛物线 故选 B 点评 本题主要考查了抛物线的定义 属基础题 2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 M 为侧面 ABB1A1所在平面上的一个动点 且 M 到平面 ADD1A1的距离与 M 到直线 BC 距离相等 则动点 M 的轨迹为 A 椭圆B 双曲线 C 圆D 抛物线 分析 根据正方体 ABCD A1B1C1D1 可得 MB 等于 M 到 AA1的距离 根据抛 物线的定义 可得结论 解答 解 BC 平面 ABB1A1 MB 表示 M 到直线 BC 距离相等 平面 ADD1A1 平面 ABB1A1 M 到平面 ADD1A1 的距离等于 M 到 AA1的距 离 M 到平面 ADD1A1 的距离与 M 到直线 BC 距离相等 MB 等于 M 到 AA1的距离 根据抛物线的定义 可知动点 M 的轨迹为抛物线 第 5 页 共 15 页 故选 D 点评 本题重点考查正方体的性质 考查抛物线的定义 解题的关键是得出 MB 等于 M 到 AA1的距离 3 已知定点 A 1 1 和直线 l x y 2 0 则到定点 A 的距离和到定直线 l 的 距离相等的点的轨迹为 A 椭圆B 双曲线 C 抛物线 D 直线 分析 判断定点 A 与直线的位置关系 然后判断动点的轨迹 解答 解 因为定点 A 1 1 在直线 l x y 2 0 上 所以到定点 A 的距离和到定直线 l 的距离相等的点的轨迹是直线 就是经过定点 A 与直线 l x y 2 0 垂直的直线 故选 D 点评 本题考查动点的轨迹方程的求法 逻辑推理能力 考查计算能力 注 意本题与抛物线定义的区别 易错选 C 4 若抛物线 y2 2px 的焦点与双曲线 1 的右焦点重合 则 p 的值为 A 2B 2C 4D 4 分析 求出双曲线的焦点坐标 可得抛物线 y2 2px 的焦点坐标 即可求出 p 的值 解答 解 双曲线 1 的右焦点为 2 0 即抛物线 y2 2px 的焦点为 2 0 2 p 4 故选 D 第 6 页 共 15 页 点评 本题考查双曲线 抛物线的性质 考查学生的计算能力 属于基础 题 5 抛物线 y 4x2的准线方程是 A y 1 B y 1 C y D y 分析 将抛物线化成标准方程得 x2 y 算出 2p 且焦点在 y 轴上 进而得 到 可得该抛物线的准线方程 解答 解 抛物线 y 4x2化成标准方程 可得 x2 y 抛物线焦点在 y 轴上且 2p 得 因此抛物线的焦点坐标为 0 准线方程为 y 故选 D 点评 本题给出抛物线的方程 求它的准线方程 着重考查了抛物线的标准 方程及其基本概念等知识 属于基础题 6 抛物线的准线方程是 则其标准方程是 A y2 2xB x2 2yC y2 xD x2 y 分析 根据准线方程 可知抛物线的焦点在 y 轴的负半轴 再设抛物线的标 准形式为 x2 2py 根据准线方程求出 p 的值 代入即可得到答案 解答 解 由题意可知抛物线的焦点在 y 轴的负半轴 设抛物线标准方程为 x2 2py p 0 抛物线的准线方程为 y p 1 抛物线的标准方程为 x2 2y 故选 B 第 7 页 共 15 页 点评 本题主要考查抛物线的标准方程 抛物线的简单性质 属基础题 7 顶点在原点 对称轴是 y 轴 并且顶点与焦点的距离为 3 的抛物线的标准方 程为 A x2 3y B y2 6x C x2 12yD x2 6y 分析 先设出抛物线的方程 根据题意求得 p 则抛物线的方程可得 解答 解 设抛物线的方程为 x2 2p 或 x2 2p 依题意知 3 p 6 抛物线的方程为 x2 12y 故选 C 点评 本题主要考查了抛物线的标准方程 考查了学生对抛物线的标准方程 的掌握 8 已知点 F 为抛物线 y 2 8x 的焦点 O 为原点 点 P 是抛物线准线上一动点 点 A 在抛物线上 且 AF 4 则 PA PO 的最小值为 A 6B C D 4 2 分析 利用抛物线的定义由 AF 4 得到 A 到准线的距离为 4 即可求出点 A 的坐标 根据 PA PO 相当于在准线上找一点 使得它到两个定点的距 离之和最小 最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值 解答 解 AF 4 由抛物线的定义得 A 到准线的距离为 4 即 A 点的横坐标为 2 又点 A 在抛物线上 从而点 A 的坐标 A 2 4 坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B 4 0 则 PA PO 的最小值为 AB 故选 C 点评 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题 灵活运用 第 8 页 共 15 页 点到点的距离 对称性化简求值 是一道中档题 二 填空题 共二 填空题 共 8 小题 小题 9 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点 A B 是该抛物线上的两点 AF BF 3 则 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 分析 根据抛物线的方程求出准线方程 利用抛物线的定义抛物线上的点到 焦点的距离等于到准线的距离 列出方程求出 A B 的中点横坐标 求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离 解答 解 F 是抛物线 y2 x 的焦点 F 0 准线方程 x 设 A x1 y1 B x2 y2 AF BF x1 x2 3 解得 x1 x2 线段 AB 的中点横坐标为 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 故答案为 点评 本题主要考查抛物线的定义 标准方程 以及简单性质的应用 属于 中档题 10 抛物线 y 4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 的纵坐标是 分析 根据点 M 到焦点的距离为 1 利用抛物线的定义可推断出 M 到准线距 离也为 1 利用抛物线的方程求得准线方程 进而可求得 M 的纵坐标 解答 解 根据抛物线的定义可知 M 到焦点的距离为 1 则其到准线距离也 为 1 又 抛物线的准线为 y M 点的纵坐标为 1 第 9 页 共 15 页 故答案为 点评 本题主要考查了抛物线的简单性质 抛物线中涉及点到焦点 准线的 距离问题时 一般是利用抛物线的定义来解决 11 圆心在 x 轴上 经过原点 并且与直线 y 4 相切的圆的标准方程是 x 4 2 y2 16 或 x 4 2 y2 16 分析 根据题意 确定出圆的圆心坐标与半径 进而可得圆的标准方程 解答 解 由题意可知 圆的半径为 4 圆心在 x 轴上 经过原点 圆的圆心坐标为 4 0 或 4 0 圆心在 x 轴上 经过原点 并且与直线 y 4 相切的圆的标准方程是 x 4 2 y2 16 或 x 4 2 y2 16 故答案为 x 4 2 y2 16 或 x 4 2 y2 16 点评 本题考查圆的标准方程 解题的关键是确定出圆的圆心坐标与半径 属于基础题 12 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F 1 0 的距离比到直线 x 2 的 距离小 1 若机器人接触不到过点 P 1 0 且斜率为 k 的直线 则 k 的取值 范围是 k 1 或 k 1 分析 由抛物线的定义 求出机器人的轨迹方程 过点 P 1 0 且斜率为 k 的直线方程为 y k x 1 代入 y2 4x 利用判别式 即可求出 k 的取值范围 解答 解 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F 1 0 的距离比到直 线 x 2 的距离小 1 即平面上一机器人在行进中始终保持与点 F 1 0 的距离和到直线 x 1 的距 离相等 第 10 页 共 15 页 由抛物线的定义可知 机器人的轨迹方程为 y2 4x 过点 P 1 0 且斜率为 k 的直线方程为 y k x 1 代入 y2 4x 可得 k2x2 2k2 4 x k2 0 机器人接触不到过点 P 1 0 且斜率为 k 的直线 2k2 4 2 4k4 0 k 1 或 k 1 故答案为 k 1 或 k 1 点评 本题考查抛物线的定义 考查直线与抛物线的位置关系 属于中档 题 13 若坐标原点到抛物线 x m2y2的准线的距离为 2 则 m 焦点坐 标为 2 0 分析 求出抛物线的标准方程 结合准线方程和焦点坐标进行求解即可 解答 解 抛物线的标准方程为 y2 x 4 x 则准线方程为 x 坐标原点到抛物线 x m2y2的准线的距离为 2 2 即 2 得 m2 则 m 则抛物线的焦点坐标为 2 0 故答案为 2 0 点评 本题主要考查抛物线方程和性质的应用 根据条件求出抛物线的标准 方程是解决本题的关键 14 顶点在原点 对称轴是坐标轴 且焦点在直线 2x y 2 0 上的抛物线方程是 y2 4x 或 x2 8y 分析 求出已知直线与坐标轴的交点 A 和 B 在焦点分别为 A 和 B 的情况下 第 11 页 共 15 页 设出抛物线标准方程 对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数 即可得到相应 抛物线的方程 解答 解 直线 2x y 2 0 交 x 轴于点 A 1 0 与 y 轴交于点 B 0 2 当抛物线的焦点在 A 点时 设方程为 y2 2px 可得 2p 4 抛物线方程为 y2 4x 当抛物线的焦点在 B 点时 设方程为 x2 2py 可得 2p 8 抛物线方程为 x2 8y 综上所述 抛物线方程为 y2 4x 或 x2 8y 故答案为 y2 4x 或 x2 8y 点评 本题主要考查了给出抛物线的焦点坐标 求它的标准方程 着重考查 了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识 属于基础题 15 在平面直角坐标系 xOy 中 若抛物线 y2 2px 经过点 4 2 则实数 p 分析 利用抛物线经过的点 求解即可 解答 解 抛物线 y2 2px 经过点 4 2 可得 4 8P 解得 p 故答案为 点评 本题考查抛物线才的应用 基本知识考查 16 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 抛物线的通径的长为 5 抛物线上横坐标为 2 的点到焦点的距离等于 6 抛物线的准线方程为 x 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 第 12 页 共 15 页 能使抛物线方程为 y2 10 x 的条件是 分析 根据抛物线方程 即可得出结论 解答 解 抛物线方程为 y2 10 x 中 焦点在 x 轴上 抛物线的准线方程为 x 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 故答案为 点评 本题考查抛物线的方程与性质 考查学生的计算能力 比较基础 三 解答题 共三 解答题 共 2 小题 小题 17 平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 M 1 3 N 5 1 若 点 C 满足 t 1 t t R 点 C 的轨迹与抛物线 y2 4x 交于 A B 两 点 求证 在 x 轴上是否存在一点 P m 0 m R 使得过 P 点的直线交抛物线 于 D E 两点 并以该弦 DE 为直径的圆都过原点 若存在 请求出 m 的值及圆 心的轨迹方程 若不存在 请说明理由 分析 1 欲证两向量垂直 通过向量的坐标运算 就是证明它们的数量积 为 0 将直线与抛物线的方程组成方程组 利用设而不求的 方法求解 2 对于存在性问题 可设假设存在 本题中将垂直关系合理转化 找出 m 的一个相等关系 从而解出了 m 的值 即说明存在 解答 解 解 由 t 1 t t R 知点 C 的轨迹是 M N 两点所在的直线 故点 C 的轨迹方程是 即 y x 4 由得 x2 12x 16 0 x1x2 16 x1 x2 12 y1y2 x1 4 x2 4 x1x2 4 x1 x2 16 16 第 13 页 共 15 页 x1x2 y1y2 0 故 解 由题意知 弦所在的直线的斜率不为零 故设弦所在的直线方程为 x ky m 代入 y2 4x 得 y2 4ky 4m 0 y1 y2 4k y1y2 4m 若以弦 DE 为直径的圆都过原点 则 OD OE x1x2 y1y2 0 即 m2 4m 解得 m 0 不合题意 舍去 或 m 4 存在点 P 4 0 使得过 P 点任作抛物线的一条弦 以该弦为直径的圆都过 原点 设弦 AB