【中考12年】江苏省苏州市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题4 图形的变换

用心 爱心 专心1 2001 20122001 2012 年江苏苏州中考数学试题分类解析汇编 年江苏苏州中考数学试题分类解析汇编 1212 专题 专题 专题专题 4 4 图形的变换 图形的变换 1 1 选择题选择题 1 1 江苏省 江苏省 20092009 年年 3 3 分 分 如图 在方格纸中 将图 中的三角形甲平移到图 中所示的位置 与5 5 三角形乙拼成一个矩形 那么 下面的平移方法中 正确的是 A 先向下平移 3 格 再向右平移 1 格 B 先向下平移 2 格 再向右平移 1 格 C 先向下平移 2 格 再向右平移 2 格 D 先向下平移 3 格 再向右平移 2 格 答案答案 D 考点考点 平移的性质 分析分析 根据图形 对比图 与图 中位置关系可知 平移是先向下平移 3 格 再向右平移 2 格 故选 D 2 2 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20052005 年年 3 3 分 分 下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的 则每次旋转 的度数可以是 A B C D 90 60 45 30 答案答案 C 考点考点 旋转的性质 分析分析 根据旋转的性质 观察图形 中心角是由 8 个度数相等的角组成 结合周角是 360 求得每次旋 转的度数 中心角是由 8 个度数相等的角组成 每次旋转的度数可以为 360 8 45 故选 C 3 3 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20062006 年年 3 3 分 分 下列图形中 旋转 600后可以和原图形重合的是 用心 爱心 专心2 A 正六边形 B 正五边形 C 正方形 D 正三角形 答案答案 A 考点考点 旋转对称图形 分析分析 求出各图的中心角 度数为 60 的即为正确答案 A 正六边形旋转的最小角度是 60 360 6 B 正五边形的旋转最小角是 72 360 5 C 正方形的旋转最小角是 90 360 4 D 正三角形的旋转最小角是 120 360 3 故选 A 4 4 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20062006 年年 3 3 分 分 对左下方的几何体变换位置或视角 则可以得到的几何体是 A B C D 答案答案 B 考点考点 几何变换的类型 分析分析 我们在观察物体时 无论什么角的观察物体 物体的形状都不会发生改变 本题中 只有 B 的 几何体和题目中的几何体一致 故选 B 5 5 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20072007 年年 3 3 分 分 下列图形中 不能表示长方体平面展开图的是 答案答案 D 考点考点 几何体的展开图 分析分析 由平面图形的折叠及长方体的展开图解题 选项 A B C 经过折叠均能围成长方体 D 两个底 面在侧面的同一侧 又缺少一个底面 所以不能表示长方体平面展开图 故选 D 6 6 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20072007 年年 3 3 分 分 下图是一个旋转对称图形 以 O 为旋转中心 以下列哪一个角为旋转 角 用心 爱心 专心3 旋转 能使旋转后的图形与原图形重合 A 60 B 90 C 120 D 180 答案答案 C 考点考点 旋转对称图形 分析分析 根据旋转对称图形的概念 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后 与初始图形重合 这种 图 形叫做旋转对称图形 这个定点叫做旋转对称中心 旋转的角度叫做旋转角 因此 O 为圆心 AOB BOC AOC 120 所以旋转 120 后与原图形重合 故选 C 7 7 江苏省 江苏省 20092009 年年 3 3 分 分 下面四个几何体中 左视图是四边形的几何体共有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 答案答案 B 考点考点 简单几何体的三视图 分析分析 四个几何体的左视图 圆柱是矩形 圆锥是等腰三角形 球是圆 正方体是正方形 由此可确 定左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体 故选 B 8 8 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20032003 年年 3 3 分 分 如图 已知 ABC 中 AB AC BAC 900 直角 EPF 的顶点 P 是 BC 中 点 两边 PE PF 分别交 AB AC 于点 E F 给出以下四个结论 1 AE CF 2 EPF 是等腰直角三角形 3 4 EF AP ABCAEPF 1 S S 2 边 当 EPF 在 ABC 内绕顶点 P 旋转时 点 E 不与 A B 重合 上述结论中始终正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案答案 C 用心 爱心 专心4 考点考点 旋转的性质 等腰直角三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 利用旋转的思想观察全等三角形 寻找条件证明三角形全等 根据全等三角形的性质对题中的 结论逐一判断 1 APE CPF 都是 APF 的余角 APE CPF AB AC BAC 90 P 是 BC 中点 AP CP 又 AB AC AP BP EAP B C APE CPF ASA AE CF 1 正确 2 由 1 APE CPF PE PF 又 EPF EAP APF FPC APF APC 900 EPF 是等腰直角三角形 2 正确 3 同 1 可证 APF BPE 又由 1 APE CPF 3 正确 APEAPFCPFBPEABCAEPF 1 S S S S S S 2 边 4 EF 不一定是中位线 EF 不一定等于BC 1 2 又 AP BC EF AP 不一定成立 4 错误 1 2 综上所述 始终正确的是 故选 C 9 9 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20072007 年年 3 3 分 分 如图 小明作出了边长为 1 的第 1 个正 A1B1C1 算出了正 A1B1C1的 面积 然后分别取 A1B1C1的三边中点 A2 B2 C2 作出了第 2 个正 A2B2C2 算出了正 A2B2C2的面 积 用同样的方法 作出了第 3 个正 A3B3C3 算出了正 A3B3C3的面积 由此可得 第 10 个正 A10B10C10的面积是 A B C D 9 31 44 10 31 44 9 31 42 10 31 42 答案答案 A 考点考点 分类归纳 图形的变化类 等边三角形的性质 三角形中位线定理 勾股定理 相似三角形的 用心 爱心 专心5 判定和性质 分析分析 由勾股定理可求出 A1B1C1的高 面积为 3 2 3 4 由三角形中位线定理 得 A2B2C2的边长是 A1B1C1边长 1 的 A3B3C3的边长是 A2B2C2边长 1 2 的 即是 A1B1C1边长 1 的 A4B4C4的边长是 A3B3C3边长的 即是 A1B1C1 1 2 1 2 2 11 42 2 1 2 1 2 边长 1 的 A10B10C10的边长是 A1B1C1边长 1 的 3 1 2 10 19 11 22 由等边三角形的相似性和相似三角形的性质 得 101010 111 2 A B C 1010 A B C11 S A B SA B 即 故选择 A 101010111 2 9 2 189 1010 A B CA B C 11 1 A B331312 SS A B414244 10 10 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20200404 年年 3 3 分 分 如图 的半径为 弦 的长为 是弦 上的动点 则 线段 长的最小值为 答案答案 B 考点考点 动点问题 垂线段的性质 垂径定理 勾股定理 分析分析 根据垂线段最短知 当 OM AB 时 OM 有最小值 从而根据垂径定理和勾股定理求解 根据垂线段最短知 当 OM AB 时 OM 有最小值 此时 由垂径定理知 点 M 是 AB 的中点 连接 OA 则 AM AB 4 1 2 由勾股定理知 OM 故选 B 22 54 3 11 11 20122012 江苏江苏苏州苏州 3 3 分 分 如图 将 AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 后得到 A OB 若 AOB 15 则 AOB 的度数是 用心 爱心 专心6 B A A B O A 25 B 30 C 35 D 40 答案答案 B 考点考点 旋转的性质 分析分析 根据旋转的性质 旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角 从而得出答案 将 AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45 后得到 A OB A OA 45 AOB A OB 15 AOB A OA A OB 45 15 30 故选 B 二 填空题二 填空题 1 1 20012001 江苏江苏苏州苏州 2 2 分 分 在半径为 5cm 的 O 中 弦 AB 的长等于 6cm 若弦 AB 的两个端点 A B 在 O 上滑动 滑动过程中 AB 长度不变 则弦 AB 的中点 C 的轨迹是 答案答案 以点 O 为圆心 4 cm 为半径的圆 考点考点 垂径定理 勾股定理 分析分析 如图 连接 OA OB OC OC AB AC BC 垂径定理 弦 AB 6cm AC 3cm 又 O 的半径长为 5cm 根据勾股定理得 OC 4 即弦心距 OC 的长 4cm AB 弦长始终保持不变 弦心距 OC 的长也不变 即弦 AB 的中点 C 到圆心 O 的距离总为 4 弦 AB 的中点形成的图形是以点 O 为圆心 4 cm 为半径的圆 如图 2 2 江苏省苏州市江苏省苏州市 20052005 年年 3 3 分 分 下图的几何体由若干个棱长为数 1 的正方体堆放而成 则这个几何体的 体积为 答案答案 6 用心 爱心 专心7 考点考点 几何体的表面积 分析分析 这个几何体的体积就是组成这个几何体的各个部分体积的和 如图 这个几何体由 6 个正方体 组成 每个正方体的体积是 1 故这个几何体的体积为 6 3 3 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20072007 年年 3 3 分 分 如图 将纸片 ABC 沿 DE 折叠 点 A 落在点 A 处 已知 1 2 100 则 A 的大小等于 度 答案答案 50 考点考点 翻折变换 折叠问题 折叠的性质 等腰三角形的性质 三角 形外角定理 分析分析 如图 连接 AA 由折叠的性质 得 AD A D AE A E 1 2 2 DAA EAA 2 A 100 A 50 4 4 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20082008 年年 3 3 分 分 如图 水平放置的长方体的底面是边长为 2 和 4 的矩形 它的左视图 的面积为 6 则长方体的体积等于 答案答案 24 考点考点 由三视图判断几何体 分析分析 长方体的左视图是一个矩形 因为它的面积为 6 一边长为 2 所以另一边长为 3 从而得出长 方体的高为 3 因此长方体的体积等于 2 4 3 24 5 5 20122012 江苏江苏苏州苏州 3 3 分 分 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC A 60 动点 P 从 A 点出发 以 1cm s 的速度沿着 A B C D 的方向不停移动 直到点 P 到达点 D 后才停止 已知 PAD 的面积 S 单位 2 与点 P 移动的时间 t 单位 s 的函数关系式如图 所示 则点 P 从开始移动到停止移动一共用了 秒 用心 爱心 专心8 结果保留根号 答案答案 4 2 3 考点考点 动点问题的函数图象 矩形的判定和性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 勾股定 理 分析分析 由图 可知 t 在 2 到 4 秒时 PAD 的面积不发生变化 在 AB 上运动的时间是 2 秒 在 BC 上运动的时间是 4 2 2 秒 动点 P 的运动速度是 1cm s AB 2 BC 2 过点 B 作 BE AD 于点 E 过点 C 作 CF AD 于点 F 则四边形 BCFE 是矩形 BE CF BC EF 2 A 60 3 BEABsin6023 2 1 AEABcos6021 2 由图 可 ABD 的面积为 3 3 即 解得 AD 6 1 ADBE3 3 2 1 AD33 3 2 DF AD AE EF 6 1 2 3 在 Rt CDF 中 2 22 2 CDCFDF3 3 2 3 动点 P 运动的总路程为 AB BC CD 2 2 4 cm 2 32 3 动点 P 的运动速度是 1cm s 点 P 从开始移动到停止移动一共用了 4 1 4 s 2 32 3 三 解答题三 解答题 1 1 20012001 江苏江苏苏州苏州 7 7 分 分 已知一个三角形纸片 ABC 面积为 25 BC 的长为 10 B C 都为锐角 M 为 AB 边上的一动点 M 与 A B 不重合 过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N 设 MN x 1 用 x 表示 AMN 的面积 2 AMN 沿 MN 折叠 使 AMN 紧贴四边形 BCNM 边 AM AN 落在四边形 BCNM 所在的平面内 设 用心 爱心 专心9 点 A 落在平面 BCNM 内的点 A A MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y 用的代数式表示 y 并写出 x 的取值范围 当 x 为何值时 重叠部分的面积 y 最大 最大为多少 答案答案 解 1 MN BC AMN ABC 2 AMN 2 ABC SMN SBC 即 2 AMN 2 Sx 2510 2 AMN 1 Sx 4 2 当点 A 落在四边形 BCMN 内或 BC 边上时 0 x 5 2 1 yx 4 当点 A 在四边形 BCMN 外 连接 AA 与 MN 交于点 G 与 BC 交于点 F MN BC 即 AGMN AFBC AGx 510 AG x AA 2AG x A F x 5 1 2 即 2A DE A MN SA F SA G 2A DE 2 Sx5 11 xx 42 2 A DE Sx10 x25 重合部分的面积 222 13 y xx10 x25 x10 x25 5x10 44 综上所述 重合部分的面积 2 2 1 x 0 x5 4 y 3 x10 x25 5x10 4 2 2 332025 y x10 x25 x 4433 当 x 时 y 最大 最大值为 y 最大 20 3 25 y 3 用心 爱心 专心10 考点考点 翻折变换 折叠问题 相似三角形的判定和性质 二次函数的最值 分析分析 1 根据已知条件求出 AMN ABC 再根据面积比等于相似比的平方的性质即可求出 AMN 的 面积 2 根据已知条件分两种情况进行讨论 当点 A 落在四边形 BCMN 内或 BC 边上时和当点 A 在 四边形 BCMN 外时进行讨论 第一种情况很容易求出 第二种情况进行画图 连接 AA 与 MN 交于点 G 与 BC 交于点 F 再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即可 再根据求出的式子 即可求出重叠部分 的面积 y 的最大值来 2 2 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20052005 年年 6 6 分 分 如图 平行四边形纸条 ABCD 中 E F 分别是边 AD BC 的中点 张老师 请同学们将纸条的下半部分平行四边形 ABEF 沿 EF 翻折 得到一个 V 字形图案 1 请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形 A B FE 用尺规作图 不写画法 保留作图痕 迹 2 已知 A 63 求 B FE 的大小 答案答案 解 1 画图形 见右图 2 四边 ABEF 是平行四边形 EFB A 63 四边形 A B FE 是由四边形 ABFE 翻折得到 B FE EFB 63 B FC 180 B FE EFB 54 考点考点 作图 轴对称变换 平行四边形的性质 翻折对称的性质 分析分析 1 翻折后的和原来的是轴对称图形 根据轴对称图形的性质画图即可 2 利用图中角的关系 即角的和差关系求角的度数 3 3 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20062006 年年 6 6 分 分 台球是一项高雅的体育运动 其中包含了许多物理学 几何学知识 图 是一个台球桌 目标球 F 与本球 E 之间有一个 G 球阻挡 1 击球者想通过击打 E 球先撞击球台的 AB 边 经过一次反弹后再撞击 F 球 他应将 E 球打到 AB 边上的 哪一点 请在图 中用尺规作出这一点 H 并作出 E 球的运行路线 不写画法 保留作图痕迹 用心 爱心 专心11 2 如图 现以 D 为原点 建立直角坐标系 记 A 0 4 C 8 0 E 4 3 F 7 1 求 E 球按刚才 方式运行到 F 球的路线长度 忽略球的大小 答案答案 解 1 画出图形如下 2 过点 F 作 AB 的平行线交 E1E 的延长线于点 N A 0 4 E 4 3 E1和 E 关于 AB 对称 E1 4 5 又 F 7 1 N 4 1 E1N 4 FN 3 在 Rt FNE1中 2222 11 E F E NNF 43 5 又 点 E1是点 E 关于直线 AB 的对称点 EH E1H EH HF E1F 5 E 球运行到 F 球的路线长度为 5 考点考点 跨学科问题 轴对称变换作图 直角坐标系和坐标 勾股定理 轴对称的性质 平行的性质 分析分析 1 根据入射角等于反射角的原理 找出 E 点关于 AB 的对称点 E1 连接 E1F 交 AB 于 H 点 H 即 为所求 球 E 的运动路线就是 EH HF 2 点 F 作 AB 的平行线交 E1E 的延长线于点 N 根据轴对称的性质点和平行的性质 求出点 E1 N 的坐标 从而求出 E1N 4 FN 3 在 Rt FNE1中应用勾股定理求出 E1F 5 因此根据轴对称的性质 得到 EH HF E1F 5 4 4 江苏省 江苏省 20092009 年年 1010 分 分 1 观察与发现 用心 爱心 专心12 小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠 使得AC落在AB边上 折痕为AD 展开纸片 ABC ABAC 如图 再次折叠该三角形纸片 使点A和点D重合 折痕为EF 展平纸片后得到 如图AEF 小明认为是等腰三角形 你同意吗 请说明理由 AEF 2 实践与运用 将矩形纸片沿过点B的直线折叠 使点A落在BC边上的点F处 折痕为BE 如图 再沿过点ABCD E的直线折叠 使点D落在BE上的点处 折痕为EG 如图 再展平纸片 如图 求图 中 D 的大小 5 5 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20102010 年年 8 8 分 分 如图 在中 是边上ABC 90C 8AC 6BC PAB 的一个动点 异于 两点 过点分别作 边的垂线 垂足为 设 ABPACBCMNAPx 1 在中 ABC AB 用心 爱心 专心13 2 当 时 矩形的周长是 14 xPMCN 3 是否存在的值 使得的面积 的面积与矩形的面积同时相等 请说出你xPAM PBN PMCN 的 判断 并加以说明 答案答案 解 1 10 2 5 3 存在 证明如下 PMAC PNBC 90AMPPNB ACPNANPB AMP PNB ABC 由得APx 6 10 MPx 8 10 AMx 10PBx 8 10 10 PNx 6 10 10 BNx 若的面积 的面积与矩形的面积同时相等 PAM PBN PMCN 则有 即 11 22 MP NPAM MPNP BN 2 2MPBNNPAM 且 即 解得 66 2 10 1010 xx 88 2 10 1010 xx 310 x 10 3 x 存在 能使得的面积 的面积与矩形面积同时相等 10 3 x PAM PBN PMCN 考点考点 勾股定理 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 在中 10 ABC 90C 8AC 6BC 22 ABACBC 2 由 得 PAM ABC APAMPM ABACBC 即 8AC 6BC 10AB 1086 xAMPM 4 5 AMx 3 5 PMx 由矩形的周长是 14 得 解得 PMCN 43 2 14 55 xx 5x 3 存在性问题 可根据题意在假定存在的情况下列出方程 将问题转化为方程是否有解的问 题 用心 爱心 专心14 6 6 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20102010 年年 9 9 分 分 刘卫同学在一次课外活动中 用硬纸片做了两个直角三角形 见图 图 中 图 中 90B 30A 6BCcm 图 是刘卫同学所做的一个实验 他将的直角边与90D 45E 4DEcm DEF DE 的斜边重合在一起 并将沿方向移动 在移动过程中 两点始终在ABC ACDEF ACDE 边上 移动开始时点与点重合 ACDA 1 在沿方向移动的过程中 刘卫同学发现 两点间的距离逐渐 填 不DEF ACFC 变 变大 或 变小 2 刘卫同学经过进一步地研究 编制了如下问题 问题 当移动至什么位置 即的长为多少时 的连线与平行 DEF ADFCAB 问题 当移动至什么位置 即的长为多少时 以线段 的长度为三边DEF ADADFCBC 长 的三角形是直角三角形 问题 在的移动过程中 是否存在某个位置 使得 如果存在 求出的DEF 15FCD AD 长度 如果不存在 请说明理由 请你分别完成上述三个问题的解答过程 答案答案 解 1 变小 2 问题 90B 30A 6BC 12AC 90FDE 45 4DEFDE 4DF 连结 设 FC FCAB 30FCDA 在中 4 12 4 Rt FDC DC 3 ADACDC 3 cm 时 124 3AD FCAB 问题 设当 ADx 在中 Rt FDC 2222 12 16FCDCFDx 用心 爱心 专心15 当为斜边时 由得 FC 222 ADBCFC 222 6 12 16xx 31 6 x 当为斜边时 由得 AD 222 FCBCAD 不符合题意 舍去 222 12 166xx 49 8 6 x 当为斜边时 由 BC 222 ADFCBC 222 12 166xx 2 12620 xx 144 248 0 方程无解 综上所述 当时 以线段 的长度为三边长的三角形是直角三 31 6 x ADFCBC 角形 问题 不存在这样的位置 使得 理由如下 15FCD 假设 由得 15FCD 45FED 30EFC 作的平分线 交于 EFC ACP 则15EFPCFPFCP 60PFPCDFPDFEEFP 4 3PD 28PCPFFD 84 312PCPD 不存在这样的位置 使得 15FCD 考点考点 动态几何问题 等腰直角三角形的性质 勾股定理和逆定理 角平分线的性质 解一元二次方 程 分析分析 1 观察图形即可得出结论 2 问题 连结 设 在中应用勾股定理 求出这时的值 从FC FCABRt FDC DC 而得到的长 AD 问题 以线段 的长度为三边长的三角形是否是直角三角形 根据勾股定ADFCBC 理的逆定理 只需对三边是否能组成直角三角形进行讨论 分为斜边 为斜边和为斜边三种FCADBC 情况讨论 问题 假设存在这样的位置 使得 由知条件进行推理 得出矛盾的结论 15FCD 否存在性问题属于中考题常设置的一种题型 此类问题常先假设结论存在 利用已若推情 用心 爱心 专心16 合理 则存在 否则 则不存在 7 7 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20022002 年年 7 7 分 分 如图 梯形 OABC 中 O 为直角坐标系的原点 A B C 的坐标分别为 14 0 14 3 4 3 点 P Q 同时从原点出发 分别作匀速运动 其中点 P 沿 OA 向终点 A 运动 速度为每秒 1 个单位 点 Q 沿 OC CB 向终点 B 运动 当这两点中有一点到达自己的终点时 另一点也停 止运动 1 设从出发起运动了秒 如果点 Q 的速度为每秒 2 个单位 试分别写出这时点 Q 在 OC 上或在x CB 上时的坐标 用含的代数式表示 不要求写出的取值范围 xx 2 设从出发起运动了秒 如果点 P 与点 Q 所经过的路程之和恰好为梯形 OABC 的周长的一半 x 试用含的代数式表示这时点 Q 所经过的路程和它的速度 x 试问 这时直线 PQ 是否可能同时把梯形 OABC 的面积也分成相等的两部分 如有可能 求出相应 的的值和 P Q 的坐标 如不可能 请说明理由 x 答案答案 解 1 当点 Q 在 OC 上时 如图 过点 C 作 CE OA 于点 E 过点 Q 作 QF OA 于点 F 依题意 有 OE 4 EC 3 OC 5 OQ 2 x 由 OCE OQF 得 OQOFFQ OCOEEC 即 2OFFQ 543 x 当点 Q 在 OC 上时 点 Q 的坐标为 86 OF FQ 55 xx 86 55 xx 当点 Q 在 CB 上时 如图 过点 C 作 CM OA 于点 M 过点 Q 作 QN OA 于点 N CQ 2 5 OM 4 2 5 2 1 xxx 又 MQ 3 当点 Q 在 CB 上时 点 Q 的坐标为 213x 2 点 P 所经过的路程为 点 Q 所经过的路程为 OQ 且点 P 与点 Q 所经过的路程之x 和恰好为梯形 OABC 的周长的一半 OQ 14 3 10 5 即 OQ 16 x 1 2 x 用心 爱心 专心17 点 Q 所经过的路程为 16 速度为 x 16x x 不能 理由如下 当 Q 点在 OC 上时 如图 过点 Q 作 QF OA 于点 F 则 OP QF x 3 16 5 x OPQ 1 3 S 16 2 5 xx 3 16 10 xx 又 令 解之 得 OABC 1 S1014336 2 3 16 18 10 xx 12 106xx 当时 这时点 Q 不在 OC 上 故舍去 1 10 x 166x 当时 这时点 Q 不在 OC 上 故舍去 2 6x 1610 x 当 Q 点在 OC 上时 PQ 不可能同时把梯形 OABC 的面积也分成相等的两部分 当 Q 在 CB 上时 CQ 16 5 11 xx OPQC 133 S 11 3 22 xx 梯形 33 18 2 当 Q 点在 CB 上时 PQ 不可能同时把梯形 OABC 的面积也分成相等的两部分 综上所述 这时 PQ 不可能同时平分梯形 OABC 的面积 考点考点 动点问题 勾股定理 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 当点 Q 在 OC 上时 作直角三角形 OCE 和 OQF 由二者相似即可求出此时点 Q 的坐标 当点 Q 在 CB 上时 过点 C 作 CM OA 于点 M 过点 Q 作 QN OA 于点 N 即可得出 OM 4 2 5 2 1 从而xx 求出此时点 Q 的坐标 2 由点 P 与点 Q 所经过的路程之和恰好为梯形 OABC 的周长的一半 列出等式 OQ 14 3 10 5 即可求出点 Q 所经过的路程 用路程 时间即可求得速度 x 1 2 分 Q 点在 OC 上和 Q 点在 OC 上 分别讨论即可得出结论 8 8 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20032003 年年 7 7 分 分 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片 O 为原点 点 A 在 x 轴上 点 C 在 y 轴上 OA 10 OC 6 1 如图 1 在 OA 上选取一点 G 将 COG 沿 CG 翻折 使点 O 落在 BC 边上 记为 E 求折痕 CG 所在直 线的解析式 2 如图 2 在 OC 上选取一点 D 将 AOD 沿 AD 翻折 使点 O 落在 BC 边上 记为 E 求折痕 AD 所在直线的解析式 用心 爱心 专心18 再作F AB 交 AD 于点 F 若抛物线过点 F 求此抛物线的解析式 并判断它与直线E 2 1 y xh 12 AD 的交点的个数 3 如图 3 一般地 在 OC OA 上选取适当的点 使纸片沿翻折后 点 O 落在 BC 边上 DG D G 记为 请你猜想 折痕所在直线与 中的抛物线会有什么关系 用 1 中的情形验证你的猜想 E D G 答案答案 解 1 由折叠法知 四边形 OCEG 是正方形 OG OC 6 G 6 0 C 0 6 设直线 CG 的解析式为 y kx b 则 解得 6kb0 0b6 k1 b6 直线 CG 的解析式为 y x 6 2 在 Rt ABE 中 CE 2 22 BE 1068 设 OD x 则 DE x CD 6 x 在 Rt DCE 中 解得 则 D 0 222 x6x2 10 x 3 10 3 设 AD 所在直线的解析式为 y k x 由于它过 A 10 0 k 10 3 1 3 AD 所在直线的解析式为 110 yx 33 E F AB E 2 6 设 F 2 yF F 在 AD 上 F 2 1108 y2 333 8 3 又 点 F 在抛物线上 解得 h 3 2 1 y xh 12 2 81 2h 312 抛物线的解析式为 2 1 y x3 12 联立和得 即 110 yx 33 2 1 y x3 12 2 1101 x x3 3312 2 x4x 4 0 0 直线 AD 与抛物线只有一个交点 2 8 3 3 例如可以猜想 折痕所在直线与抛物线只有一个交点 2 1 y x3 12 用心 爱心 专心19 或 若作 E F AB 交 D G 于 F 则 F 在抛物线上 2 1 y x3 12 验证 在图 1 中 折痕为 CG 将 y x 6 代入 2 1 y x3 12 得 即 2 1 x6 x3 12 2 x12x 36 0 0 折痕 CG 所在直线与抛物线只有一个交点 2 1 y x3 12 或 在图 1 中 D 即 C E 即 E G 即 G 交点 F 也为 G 6 0 当 x 6 时 G 点在这条抛物线上 2 1 y 63 0 12 考点考点 二次函数综合题 折叠的性质 正方形的判定和性质 待定系数法 曲线点的坐标与方程的关 系 勾股定理 一元二次方程根的判别式 分析分析 1 根据折叠的性质可知 四边形 OGEC 是个正方形 因此 OC OG 6 据此可得出 G 点的坐标 然后用待定系数法即可求出直线 CG 的解析式 2 求出 D 的坐标 根据折叠的性质可知 AE OA 那么可在 Rt ABE 中求出 BE 的长 从 而可求出 CE 的值 在 Rt CDE 中 CD 6 OD DE OD 根据勾股定理即可求出 OD 的长 也就得出 了 D 点的坐标 然后可用待定系数法求出直线 AD 的解析式 中已经求得 CE 的长 即 F 点的横坐标 可根据直线 AD 的解析式求出 F 点的坐标 然后 将 F 的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式 从而可根据抛物线的解析式来判断其与 x 轴交点的 个数 3 可以猜想 折痕所在直线与抛物线只有一个交点 若作 2 1 y x3 12 E F AB 交 D G 于 F 则 F 在抛物线上 验证 时 将 y x 6 代入 2 1 y x3 12 证明 0 即可 验证 时 说明 G 6 0 满足即可 2 1 y x3 12 2 1 y x3 12 9 9 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20042004 年年 8 8 分 分 如图 平面直角坐标系中 四边形 OABC 为矩形 点 A B 的坐标分别 为 3 0 3 4 动点 M N 分别从 O B 同时出发 以每秒 1 个单位的速度运动 其中 点 M 沿 OA 向终点 A 运动 点 N 沿 BC 向终点 C 运动 过点 N 作 NP AC 交 AC 于 P 连结 MP 已知动点运动了 x 秒 1 P 点的坐标为 用含 x 的代数式表示 2 试求 MPA 面积的最大值 并求此时 x 的值 3 请你探索 当 x 为何值时 MPA 是一个等腰三角形 你发现了几种情况 写出你的研究成果 用心 爱心 专心20 答案答案 解 1 3 x x 4 3 2 设 MPA 的面积为 S 在 MPA 中 MA 3 x MA 边上的高为x 其中 0 x 3 4 3 22 12233 S3xxx3x x 23322 S 的最大值为 此时 x 3 2 3 2 3 延长 NP 交 x 轴于 Q 则有 PQ OA 若 MP PA PQ MA MQ QA 又 QA x MQ 3 2x 3 x 2x x 1 若 MP MA 则 MQ 3 2x PQ x PM MA 3 x 4 3 在 Rt PMQ 中 PM2 MQ2 PQ2 x 2 3 2x 2 x 2 x x 0 舍去 4 3 54 43 若 PA AM 则 PA x AM 3 x 5 3 x 3 x x 5 3 9 8 综上所述 当 x 为以下值时 MPA 是一个等腰三角形 x 1 或 x 或 x 54 43 9 8 考点考点 二次函数综合题 勾股定理 待定系数法 直线上点的坐标与方程的关系 二次函数的最值 等腰三角形的判定和性质 分析分析 1 由题意可知 C 0 4 A 3 0 所以由待定系数法可求出直线 AC 解析式为 y x 4 因为 P 点的横坐标与 N 点的横坐标相同为 3 x 代入直线 AC 中得 y x 所以 P 点坐标为 4 3 4 3 3 x x 4 3 2 通过求 MPA 的面积和 x 的函数关系式来得出 MPA 的面积最大值及对应的 x 的值 用心 爱心 专心21 3 可分 MP AP AP AM MP MA 三种情况进行讨论即可 10 10 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20052005 年年 8 8 分 分 如图一 平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC O 为坐标原点 A 点坐标为 10 0 C 点坐标为 0 6 D 是 BC 边上的动点 与点 B C 不重合 现将 COD 沿 OD 翻折 得到 FOD 再在 AB 边上选取适当的点 E 将 BDE 沿 DE 翻折 得到 GDE 并使直线 DG DF 重合 1 如图二 若翻折后点 F 落在 OA 边上 求直线 DE 的函数关系式 2 设 求关于的函数关系式 并求的最小值 D a 6 E 10 b bab 3 一般地 请你猜想直线 DE 与抛物线的公共点的个数 在图二的情形中通过计算 2 1 yx6 24 验证你的猜想 如果直线 DE 与抛物线始终有公共点 请在图一中作出这样的公共点 2 1 yx6 24 答案答案 解 1 A 点坐标为 10 0 C 点坐标为 0 6 D 点坐标为 6 6 E 点坐标为 10 2 设直线 DE 的函数关系式为 则y kxb 解得 6 6kb 2 10kb k 1 b 12 直线 DE 的函数关系式为 y x12 2 依题意有 OC 6 CD a BD 10 a BE 6 b ODE 90 CDO COD CDO BDE 90 COD BDE 又 OCD B 90 OCD DBE 即 BDBE OCCD 10a6b 6a 2 15 b aa6 0a10 63 又 2111 b a5 66 当 a 5 时 b最小值 11 6 用心 爱心 专心22 3 猜想 直线 DE 与抛物线只有一个公共点 就图 2 验证如下 2 1 yx6 24 由 1 可知 DE 所在直线为 代入抛物线 得 y x12 2 1 x6 x12 24 化简得 2 x24x144 0 242 4 1 144 0 有两个相等的实数根 2 x24x144 0 直线 DE 与抛物线只有一个公共点 2 1 yx6 24 解得 x 12 y 0 2 x24x144 0 直线 DE 与抛物线的公共点为 12 0 2 1 yx6 24 延长 DE 交 OF 于点 H 点 H 即为公共点 据此作出公共点如图 考点考点 二次函数综合题 矩形的性质 翻折的性质 正方形的判定和性质 待定系数法 直线上点的 坐标与方程的关系 相似三角形的判定和性质 二次函数的最值 一元二次方程根的判别式 分析分析 1 当 F 落在 OA 上时 四边形 OCDF 和四边形 DGEB 都是正方形 因此 CD DF OC 6 即 D 点的坐 标为 6 6 而 GF DF DG DF BC CD 6 10 6 2 因此 E 点的坐标为 10 2 然后可用 待定系数法求出直线 DE 的解析式 2 根据各点的坐标可知 OC 6 CD a BD 10 a BE 6 b 可根据 OCD DBE 得出的关于 OC CD DB BE 的比例关系式求出 b a 的函数关系式 然后可根据函数的性质得出 b 的最小值及对应的 a 的值 3 可将 1 中得出的直线 DE 的解析式联立抛物线的解析式 得出的一元二次方程的根的判 别式 的值与 0 的关系即可得出交点的个数并求出解 作图 11 11 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20082008 年年 8 8 分 分 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 5 AD 6 BC 12 动 点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动 动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个单位的 速度向 B 点运动 两点同时出发 当 P 点到达 C 点时 Q 点随之停止运动 1 梯形 ABCD 的面积等于 2 当 PQ AB 时 P 点离开 D 点的时间等于 秒 3 当 P Q C 三点构成直角三角形时 P 点离开 D 点多少时间 用心 爱心 专心23 答案答案 解 1 36 2 15 8 3 设 P 点离开 D 点 秒 P Q C 三点构成直角三角形时 有两种情况 如图 当 CPQ 900时 过点 D 作 DM BC 于 M CPQ DMC 900 C C CPQ DMC CPCQ CMCD CP 5 CQ 2 CD 5 CM 解得 126 3 2 5x2x 35 25 x 11 如图 当 CQP 900时 过点 D 作 DN BC 于 N CQP DNC 900 C C CPQ CDN CPCQ CDCM CP 5 CQ 2 CD 5 CM 126 3 2 解得 由已知和 5x2x 53 15 x 13 综上所述 当 P Q C 三点构成直角三角形时 P 点离开 D 点秒或秒 25 11 15 13 考点考点 动点问题 等腰梯形的性质 平行四边形的判定和性质 勾股定理 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 如图 过点 A 作 AH BC 于 H 根据等腰梯形的性质 知 AB 5 BH 则 所以梯形 126 3 2 2222 AHABBH534 ABCD 的面积等于 612 4 36 2 2 如图 过点 D 作 DE AB 交 BC 于点 E 设当 PQ AB 时 P 点离开 D 点的时间等于 秒 则由 CPQ CDE 得 CPCQ CDCE CP 5 CQ 2 CD 5 CE 6 解得 5x2x 56 15 x 8 3 分 CPQ 900和 CQP 900两种情况讨论即可 用心 爱心 专心24 12 12 江苏省苏州市 江苏省苏州市 20112011 年年 9 9 分 分 如图 小慧同学把一个正三角形纸片 即 OAB 放在直线l1上 OA 边与直线l1重合 然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120 此时点 O 运动到了点 O1处 点 B 运动到了点 B1处 小慧又将三角形纸片 AO1B1绕点 B1按顺时针方向旋转 120 此时点 A 运动到了点 A1处 点 O1运动到了点 O2处 即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2处 小慧还发现 三角形纸片在上述两次旋转的过程中 顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧 即 和 A 1 OO 顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和 并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇 A 12 OO 形 AOO1的面积 AO1B1的面积和扇形 B1O1O2的面积之和 小慧进行类比研究 如图 她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线l2上 OA 边与直线l2重合 然后将正方形