基本初等函数

一 基础知识 必会 1 指数函数及其性质 形如 y ax a 0 a 1 的函数叫做指数函数 其定义域为 R 值域为 0 当 0 a1 时 y ax 为增函数 它的图象恒过定点 0 1 2 分数指数幂 nm n m n nnm n m n n a a a aaaaa 1 1 1 3 对数函数及其性质 形如 y logax a 0 a 1 的函数叫做对数函数 其定义域为 0 值域为 R 图象过定点 1 0 当 0 a1 时 y logax 为增函数 4 对数的性质 M 0 N 0 1 ax M x logaM a 0 a 1 2 loga MN loga M loga N 3 loga N M loga M loga N 4 loga Mn n loga M 万能恒等式 5 loga n M n 1 loga M 6 aloga M M 7 loga b a b c c log log a b c 0 a c 1 5 函数 y x x a a 0 的单调递增区间是 a 和 a 单调递减区间为 0 a 和 a 0 请同学自己用定义证明 6 连续函数的性质 若 a b f x 在 a b 上连续 且 f a f b 0 证明 设 f x b c x bc 1 x 1 1 则 f x 是关于 x 的一次函数 所以要证原不等式成立 只需证 f 1 0 且 f 1 0 因为 1 a0 f 1 b c bc a 1 b 1 c 0 所以 f a 0 即 ab bc ca 1 0 例 2 06 柯西不等式 若 a1 a2 an 是不全为 0 的实数 b1 b2 bn R 则 n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 2 等号当且仅当存在 R 使 ai i b i 1 2 n 时成立 证明 令 f x n i i a 1 2 x2 2 n i iib a 1 x n i i b 1 2 n i ii bxa 1 2 因为 n i i a 1 2 0 且对任意 x R f x 0 所以 4 n i iib a 1 4 n i i a 1 2 n i i b 1 2 0 展开得 n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 2 等号成立等价于 f x 0 有实根 即存在 使 ai i b i 1 2 n 注释 根据许多省市的 2011 年高考大纲 柯西不等式已经淡化 同学只需大致了解就 即可 不需深入做题 例 3 10 全国卷 设 x y R x y c c 为常数且 c 0 2 求 u y y x x 11 的最 小值 解 u y y x x 11 xy xyx y y x1 xy xy 1 2 x y y x xy xy 1 2 令 xy t 则 0 t xy 44 22 cyx 设 f t t t 1 0 t 4 2 c 因为 0 c 2 所以 00 所以 p q 2 51 例 5 经典例题 对于正整数 a b c a b c 和实数 x y z w 若 ax by cz 70w 且 wzyx 1111 求证 a b c 证明 由 ax by cz 70w 取常用对数得 xlga ylgb zlgc wlg70 所以w 1 lga x 1 lg70 w 1 lgb y 1 lg70 w 1 lgc z 1 lg70 相加得w 1 lga lgb lgc zyx 111 lg70 由题设 wzyx 1111 所以 lga lgb lgc lg70 所以 lgabc lg70 所以 abc 70 2 5 7 若 a 1 则因为 xlga wlg70 所以 w 0 与题设矛盾 所以 a 1 又 a b c 且 a b c 为 70 的正约数 所以只有 a 2 b 5 c 7 所以 a b c 例 6 经典例题 已知 x 1 ac 1 a 1 c 1 且 logax logcx 2logbx 求证 c2 ac logab 证明 由题设 logax logcx 2logbx 化为以 a 为底的对数 得 b x c x x a a a a a log log2 log log log 因为 ac 0 ac 1 所以 logab logacc2 所以 c2 ac logab 注 指数与对数式互化 取对数 换元 换底公式往往是解题的桥梁 3 指数与对数方程的解法 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解 值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论 例 7 经典例题 解方程 3x 4 x 5 x 6 x 解 方程可化为 xxx 6 5 3 2 2 1 1 设 f x xxx 6 5 3 2 2 1 则 f x 在 上是减函数 因为 f 3 1 所以方程只有一个解 x 3 例 8 经典例题 解方程组 3 12 xy yx yx yx 其中 x y R 解 两边取对数 则原方程组可化为 3lg lg12lg glxyyx yxyx 把 代入 得 x y 2lgx 36lgx 所以 x y 2 36 lgx 0 由 lgx 0 得 x 1 由 x y 2 36 0 x y R 得 x y 6 代入 得 lgx 2lgy 即 x y2 所以 y2 y 6 0 又 y 0 所以 y 2 x 4 所以方程组的解为 2 4 1 1 2 2 1 1 y x y x 例 9 已知 a 0 a 1 试求使方程 loga x ak loga2 x2 a2 有解的 k 的取值范围 解 由对数性质知 原方程的解 x 应满足 0 0 22 222 ax akx axakx 若 同时成立 则 必成立 故只需解 0 222 ak