数学建模论文足球比赛问题

D 题 足球比赛问题 目录 一 摘要 2 二 问题的提出 2 三 问题的分析 3 四 模型设计及算法 3 五 分析及模型求解模型 5 1 一 摘要 本文主要以 12 支甲 B 球队前四名晋级甲 A 问题为研究对象 讨论武汉雅琪 队是否一定能提前三轮晋级甲 A 本文主要运用了层次分析法建立了一个数学模型 其主要是一个算法 现 通过分析得出武汉雅琪队在最坏的情况下 剩余三场全负 一定可以提前三轮 晋级甲 A 即一定在前四名 这种方法只能确定武汉雅琪队一定能晋级甲 A 只 是不知道名次 所以本文又对模型进行了假设 在假定的前提下 能够通过模 型的具体分析 把武汉雅琪队在最后的三场比赛结束后最坏的几种可能情况列 举出来 从而进一步分析武汉雅琪是否一定可以提前三轮晋级甲 A 二 问题的提出 中国足球甲级队比赛 分成甲和甲两组进行主客场双循环制 1997 年 AB 足协决定 12 支甲球队的前四名将升入甲 球队排序的原则如下 BA 1 胜一场积 3 分 平一场积 1 分 负一场积 0 分 2 球队的名次按积分多少排序 积分高的队排名在前 3 积分相同的球队 按净胜球的多少排序 净胜球 踢进球数减被踢入 球数 多的队排名在前 4 若积分相同 净胜球数也相同 则按进球数排序 踢进球总数多的队 排名在前 以下是甲联赛 共赛 22 轮 第 19 轮后的形势 B 队名 胜 平 负 得失球 积分 队名 胜 平 负 得 失球 积分 武汉雅琪 10 6 3 29 18 36 佛山佛斯弟 8 2 9 26 28 26 深圳平安 9 5 5 34 27 32 辽宁双星 7 4 8 20 19 25 深圳金鹏 8 5 6 32 38 29 上海浦东 7 4 8 28 23 25 河南建业 8 5 6 20 18 29 上海豫园 6 5 8 23 29 23 广州松日 7 7 5 27 19 28 天津万科 5 7 7 22 23 22 沈阳海狮 7 7 5 28 23 28 火车头杉杉 2 3 14 14 48 9 还剩三轮 对阵表如下 上海浦东 深圳平安 广州松日 河南建业 杉 杉 广州松日 2 深圳平安 辽宁双星 河南建业 上海浦东 广州松日 天津 万科 深圳平安 沈阳海狮 上海豫园 河南建业 辽宁双星 天津万科 深圳金鹏 上海豫园 武汉雅琪 佛 斯 第 沈阳海狮 杉 杉 沈阳海狮 深圳金鹏 天津万科 佛 斯 第 上海豫园 武汉雅琪 辽宁双星 深圳金鹏 佛 斯 第 杉 杉 武汉雅琪 上海浦东 试问 武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲 说明理由 A 三 问题的分析 题目给出的是 12 支甲 B 球队前 19 轮的比赛结果 还剩三轮比赛 要求建 立数学模型 分析武汉雅琪是否一定可以提前三轮晋级甲 A 从结果可以看出 武汉雅琪在前 19 轮比赛中排名第一 按照规定 前四名 可以晋级甲 A 考虑武汉雅琪是否一定可以提前三轮晋级甲 A 如果武汉雅 琪在最坏的情况下 也就是在剩余三轮比赛全输的情况下能晋级甲 A 则说 明武汉雅琪一定可以提前三轮晋级甲 A 否则的话 则说明武汉雅琪不一定 可以提前三轮晋级甲 A 因为武汉雅琪队在剩余三轮比赛全输的情况下积分 为 36 分 所以只有在剩余三轮比赛中积分可能达到 36 分的球队才有可能超 过武汉雅琪队 而目前积分低于 2727 分的球队即使剩余三场全胜其成绩积分 也不可能达到 36 分 即该球队一定不能超过武汉雅琪队 所以只需考虑目 前积分大于或等于 27 分的球队 即前六名的球队 第一步确定出前六名球 队中是否有两支球队的积分不可能达到 36 分 如果有就可以确定武汉雅琪 一定可以提前三轮晋级甲 A 如果前六名球队中有四名球队的最总积分超过 了 36 分 则说明武汉雅琪不一定可以提前三轮晋级甲 A 如果前六名球队 中至少有两名球队的最终积分也是 36 分 这种情况下 要进行第二步 比 较这些积分全是 36 分的球队的净胜球数 如果积分大于 36 分的球队数和积 分等于 36 分而净胜球数大于武汉雅琪队的净胜球数的球队数小于四支 则 说明武汉雅琪一定可以提前三轮晋级甲 A 如果积分大于 36 分的球队数和 积分等于 36 分而净胜球数大于武汉雅琪队的净胜球数的球队数大于四支 则说明武汉雅琪不一定可以提前三轮晋级甲 A 如果积分大于 36 分的球队 数和积分等于 36 分而净胜球数大于武汉雅琪队的净胜球数的球队数等于四 支 这种情况下 要进行第三步 比较净胜球数和武汉雅琪相同的球队的进 球数 如果积分大于 36 分的球队数和积分等于 36 分而净胜球数等于武汉雅 琪队的净胜球数的球队数及进球数大于武汉雅琪队的球队的支数之和小于四 支 则说明武汉雅琪一定可以提前三轮晋级甲 A 否则的话 则说明武汉雅 琪不一定可以提前三轮晋级甲 A 四模型设计及算法 一 基本假设及符号说明 假设一 3 xx xx xx X x1 1x x1 X 1 在最后三轮比赛中武汉雅琪队全负 这种假设保证了武汉雅琪队是否一定 可以提前三轮晋升甲 A 假设二 在最后三轮比赛中一球定输赢 平局时 双方均不得分 符号说明 表示第 i 队在第十九轮比赛后的积分 分别表示第 i 队在 xixxx ii i 32 1 最后三轮比赛中胜 平 负的场数 n 表示比赛结束后积分有可能大于武汉雅 琪队的球队的支数 用直线相连的两队之间要进行比赛 二 模型的设计与算法 我们模型的主要部分是一个算法 还涉及到一些图 算法 最后三场中各队之间的比赛安排情况如图所示 x1x2x3x4x5 x7 x8x11x9x10 x12 注 武汉雅琪 深圳平安 深圳金鹏 河南建业 x1x2x3x4 广州松日 沈阳海狮 佛山佛斯弟 辽宁双星 x5x6x7x8 上海浦东 上海豫园 天津万科 火车头杉杉 x9x10 x11x12 将问题提出中 第十九轮比赛后的排名 球队依次为第 i 队 i 1 2 3 12 36 xxx iii213 0 xx x ii i 32 1 3 xx x ii i 32 1 3 xxx iii 321 x6 4 若 3 则 2 x31x61 若 2 1 则 2 x31x32x61 若 3 则 2 x61x31 若 3 则 2 x41x51 若 2 1 则 2 x41x42x51 若 3 则 2 x51x41 通过问题提出中所给的数据 比赛安排及以上算法可以算出 n 的最大值 若 n 值大于等于 4 则说明武汉雅琪队不一定能提前三轮晋升甲 A 若 n 的值小 于 4 则说明武汉雅琪队一定能提前晋升甲 A 五分析及模型求解 一 算法理论分析 本题要判断武汉雅琪队是否一定能提前三轮晋升甲 A 因为只有前四名才 能晋升甲 A 所以只要能判断出在假设的前提下 比赛结束后积分有可能超过 不小于武汉雅琪队球队有几支即可 由于胜一场积三分 平一场积一分 负一场积零分 所以对于第 i 队在比 完最后的三轮后积分增加 最终总积分为 213xxii xixxii 213 由于比赛三场 所以 3 分别表示深 xxx iii 321x31x41x51x61 圳金鹏队 河南建业队 广州松日队 沈阳海狮队在三场比赛中胜的场数 与分别表示深圳金鹏队和河南建业队在三场比赛中平的场数 由于深圳 x32x42 金鹏队和沈阳海狮队之间有一场比赛 河南建业队和广州松日队之间有一场比 赛 所以当深圳金鹏队胜三场或两胜一平即 3 或 2 1 时 沈 x31x31x32 阳海狮队最多胜两场即 2 同理当 3 时有 2 当河南建业队胜三 x61x61x31 场或两胜一平即 3 或 2 1 时 广州松日队最多胜两场即 2 x41x41x42x51 同理当 3 时有 2 x51x41 由于 max 26 所以就算这些队在最后的三场比赛中全胜他们的最 x12 7 x 后积分才到 35 所以只有前六支球队有可能超过武汉雅琪队 由于 32 所 x2 以深圳平安队只要胜两场或胜一场 平一场就可以超过武汉雅琪队 由于 29 所以深圳金鹏队和河南建业队在最后的三场比赛中至少 x3x4 5 胜两场 平一场或三场全胜才有可能使最终的排名超过武汉雅琪队 在这种情 况下 分别和他们比赛的沈阳海狮队和广州松日队的最好战绩是两胜一平或两 胜一负 前一种情况下 沈阳海狮队和广州松日队的最终积分是 35 后一种情 况下 沈阳海狮队和广州松日队的最终积分是 34 不管哪一种情况这两支球队 都不可能超过武汉雅琪队 由于 28 所以广州松日队和沈阳海狮队在 x5x6 最后的三场比赛中三场必须全胜才能使最终的排名超过武汉雅琪队 此时分别 和他们比赛的深圳金鹏队和河南建业队的最好战绩是两胜一负 这种情况下 深圳金鹏队和河南建业队的最终积分为 35 此时 这两支球队都不可能超过武 汉雅琪队 通过以上的分析 我们可以知道深圳金鹏队 河南建业队 沈阳海 狮队和广州松日队这四支球队中 最多有两支球队的最终积分有可能超过武汉 雅琪队 模型运行结果分析 通过对算法的分析可知 武汉雅琪队刚好能晋升甲 A 的最坏情况有四种 情况一 深圳平安队 深圳金鹏队 河南建业队和武汉雅琪队 胜的 场数 平的 场数 负的 场数 总积 分 净胜 球数 总进 球数 深圳平安 300411037 深圳金鹏 30038941 河南建业 30038523 1 武汉雅琪 00336829 深圳平安 300411037 河南建业 30038523 深圳金鹏 21036840 2 武汉雅琪 00336829 深圳平安 21039936 深圳金鹏 30038941 河南建业 30038523 3 武汉雅琪 00336829 深圳平安 21039936 河南建业 30038523 深圳金鹏 21036840 4 武汉雅琪 00336829 深圳金鹏 30038941 深圳平安 20138836 河南建业 30038523 5 武汉雅琪 00336829 深圳平安 20138836 河南建业 30038523 6 深圳金鹏 21036840 比 赛 情 况 一 队 名 可 能 情 况 6 武汉雅琪 00336829 情况二 深圳平安队 沈阳海狮队 广州松日队和武汉雅琪队 胜的 场数 平的 场数 负的 场数 总积 分 净胜 球数 总进 球数 深圳平安 300411037 广州松日 300371130 沈阳海狮 30037831 1 武汉雅琪 00336829 深圳平安 21039936 广州松日 300371130 沈阳海狮 30037831 2 武汉雅琪 00336829 深圳平安 20138836 广州松日 300371130 沈阳海狮 30037831 3 武汉雅琪 00336829 情况三 深圳平安队 深圳金鹏队 广州松日队和武汉雅琪队 胜的 场数 平的 场数 负的 场数 总积 分 净胜 球数 总进 球数 深圳平安 300411037 深圳金鹏 30038941 广州松日 300371130 1 武汉雅琪 00336829 深圳平安 300411037 广州松日 300371130 深圳金鹏 21036840 2 武汉雅琪 00336829 深圳平安 21039936 深圳金鹏 30038941 广州松日 300371130 3 武汉雅琪 00336829 深圳平安 21039936 广州松日 300371130 深圳金鹏 21036840 4 武汉雅琪 00336829 深圳金鹏 30038941 深圳平安 20138836 5 广州松日 300371130 比 赛 情 况 一 队 名 可 能 情 况 比 赛 情 况 一 队 名 可 能 情 况 7 武汉雅琪 00336829 深圳平安 20138836 广州松日 300371130 深圳金鹏 21036840 6 武汉雅琪 00336829 情况四 深圳平安队 河南建业队 沈阳海狮队和武汉雅琪队 胜的 场数 平的 场数 负的 场数 总积 分 净胜 球数 总进 球数 深圳平安 300411037 河南建业 3