高三数学平面向量专练

平面向量板块测试 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 12 5 60 1 下列五个命题 a 2 2 a a b a ba 2 222 baba 222 2 bbaaba 若 a b 0 则 a 0 或 b 0 其中正确命题的序号是 A B C D 2 若 3e 5e 且 则四边形 ABCD 是 ABCDADBC A 平行四边形 B 菱形 C 等腰梯形 D 非等腰梯形 3 将函数 y sinx 按向量 a 1 1 平移后 所得函数的解析式是 A y sin x 1 1 B y sin x 1 1 C y sin x 1 1 D y sin x 1 1 4 若有点 4 3 和 2 1 点 M 分有向线段的比 2 则点 M 的坐标为 1 M 2 M 21M M A 0 B 6 7 C 2 D 0 5 3 5 3 7 5 若 a b a b 则向量 a 与 b 的关系是 A a 0 或 b 0 B a b C ab 0 D 以上都不对 6 若 a 1 b 2 a b 则 a 与 b 的夹角 的余弦值为 7 A B C D 以上都不对 2 1 2 1 3 1 7 已知 a 3 4 b 1 n 3n 若 a b 则 n 的值为 1 e 2 e 1 e 2 e A B C 4 D 2 5 4 5 4 8 平面上三个非零向量 a b c 两两夹角相等 a 1 b 3 c 7 则 a b c 等于 A 11 B 2 C 4 D 11 或 277 9 等边 ABC 中 边长为 2 则 的值为 ABBC A 4 B 4 C 2 D 2 10 已知 ABC 中 则 C 等于 2 222444 baccba A 30 B 60 C 45 或 135 D 120 11 将函数 y f x cosx 的图象按向量 a 1 平移 得到函数的图象 那么函 4 xy 2 sin2 数 f x 可以是 A cosx B 2cosx C sinx D 2sinx 12 平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 A 3 1 B 1 3 若点 C 满足 其中 R 且 1 则点 C 的轨迹方程为 OCOAOB A 3x 2y 11 0 B C 2x y 0 D x 2y 5 05 2 1 22 yx 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 4 4 16 13 已知 a 3 b 5 a b 12 则 a 在 b 上的投影为 14 设 a 4 3 b 5 2 则 2 a ab 2 2 1 15 已知 a 6 2 b 4 直线 l 过点 A 3 1 且与向量 a 2b 垂直 则直线 l 的一般式方 2 1 程是 16 把函数的图象按向量 a 平移后 得到的图象 且 a b c 1 1 542 2 xxy 2 2xy b c 4 则 b 三 解答题三 解答题 5 12 14 74 17 若向量 a 的始点为 A 2 4 终点为 B 2 1 求 1 向量 a 的模 2 与 a 平行的单位向量的坐标 3 与 a 垂直的单位向量的坐标 18 设两向量 满足 2 1 的夹角为 60 若向量 2t 7与向 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 量 t的夹角为钝角 求实数 t 的取值范围 1 e 2 e 19 已知向量 a b 且 x x 2 3 cosx 2 3 sin 2 cos x 2 sin x 3 4 1 求 a b 及 a b 2 若 f x a b a b 求 f x 的最大值和最小值 20 设 a 1 x i b 1 x i yj x y R i j 分别是 x y 轴正方向上的单位向量 且 a b 1 求点 M x y 的轨迹 C 的方程 2 过点 4 0 作直线 l 交曲线 C 于 A B 两点 设 求证 四边形 OAPB 为矩OPOAOB 形 21 已知 ABC 的顶点为 A 0 0 B 4 8 C 6 4 M 点在线段 AB 上 且 3 P 点在线段 AC 上 APM 的面积是 ABC 的面积的一半 求点 M P 的坐标 AMMB 22 如图所示 有两条相交成 60 角的直路 XX 和 YY 交点是 O 甲 乙分别在 OX OY 上 起初甲离 O 点 3 km 乙离 O 点 1 km 后来两人同时用 4 km h 的速度 甲沿 XX 方向 乙沿 Y Y 的方向步行 1 起初 两人的距离是多少 2 用包含 t 的式子表示 t h 后两人的距离 3 什么时候两人的距离最短 参考答案 1 B 由向量的数量积的定义即知 2 C AB CD 且 AD BC AB CD 故选 C 3 A 点 x y 按向量 a 1 1 平移后的点 x y 第 22 题图 即 1 1 yy xx 1 1 yy xx y 1 sin x 1 即 y sin x 1 1 4 D 设点 M x y 5 21 1 23 0 21 224 y x 点 M 的坐标为 0 5 5 C 设 a b 由 a b a b 1 x 1 y 2 x 2 y 得 即 0 2 21 2 21 2 21 2 21 yyxxyyxx 1 x 2 x 1 y 2 y 又 a b ab 0 1 x 2 x 1 y 2 y 6 B a b 2 cos 2 22 baba 7 1 4 4cos 即 cos a 与 b 的夹角 的余弦值为 2 1 2 1 7 A a 3 4 b 1 n 3n 9n 4 1 n n 故选 A 5 4 8 D 若两两夹角为 0 则 a b c a b c 11 若两两夹角为 120 则 a b c a b c 2 a b cos120 2 b c cos120 2 a c cos120 2 2 2 2 1 9 49 2 1 3 3 7 1 7 28 a b c 2 2 1 7 9 D cos120 2 故选 D ABBC 2 2 10 C 由 2 222444 baccba 得 222222 2 bacba ab 2abccosC cosC C 45 或 135 222 cba 2 2 2 11 D 由平移公式 应有 xxfxcos 1 4 sin2 2 即 f x 2sinx xxfxxcos 2sin 2 2cos 12 D 设 C x y OCOAOB x y 3 1 1 3 3 3 3 3 又 1 x 2y 5 0 3 3 y x 13 a b a b cos a 在 b 上的投影为 5 12 5 12 14 57 2 a a b 2 16 9 20 6 50 7 57 2 2 1 2 1 15 2x 3y 9 0 设 l 的一个方向向量为 m n a 2b 2 3 直线 l 与向量 a 2b 垂直 即 2m 3n 0 直线 l 的斜率 k 直线 l 的方程为 y 1 x 3 即 2x 3y 9 0 3 2 m n 3 2 16 3 1 22 1 23542 xyxxy a 1 3 设 b 则 0 x 0 y 1 3 4 03 0 0 00 00 y x yx yx 17 解 1 a 2 1 2 4 4 3 a AB5 3 4 22 2 与 a 平行的单位向量是 4 3 或 a a 5 1 5 4 5 3 5 4 5 3 3 设与 a 垂直的单位向量是 e m n 则 a e 4m 3n 0 4 3 n m 又 e 1 解得 m n 或 m n 1 22 nm 5 3 5 4 5 3 5 4 e 或 5 3 5 4 5 3 5 4 18 解 4 1 2 1 cos60 1 2 1 e 2 2 e 21 ee 2t 7 t 2t 2 7 7t 2 15t 7 1 e 2 e 1 e 2 e 2 1 e 2 t 1 e 2 e 2 2 e 2 t 2 15t 7 0 7 t 2 t 2 1 设 2t 7 t 0 2cosx 3 4 ba 2 f x cos2x 2cosx 2 2 3 2 1 cos21cos2cos 22 xxx x cosx 1 3 4 2 1 当 cosx 时 f x 取得最小值 当 cosx 1 时 f x 取最大值 1 2 1 2 3 20 1 解 由已知 a b 即 222 1 1 yxx 整理得 xy4 2 2 证明 由已知只需证 即可 即证 0 OAOBOAOB 设 A B 当 l x 轴时 A 4 4 B 4 4 0 即 1 x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 x 1 y 2 yOAOB 当 l 不与 x 轴垂直时 设 l 的斜率为 k l 的方程为 y k x 4 k 0 将 代入 得 016 48 2222 kkxxk 16 2 21 4 8 k xx 1 x 2 x 1 y 2 y16 16 4 8 416 4 4 2 2 21 2 k kxxk 0 故得证 1 x 2 x 1 y 2 yOAOB 21 解 如图 M 分的比 3 则 M 的坐标为AB 6 31 830 3 31 430 M M y x 由 得 2 1 ABC AMP S S 2 1 sin 2 1 sin 2 1 AACAB AAPAM 又 4 3 AB AM 3 2 AC AP 即 P 分所成的比 2 1 2 PC AP AC 3 8 21 4 20 4 21 620 P P y x 第 21 题图解 则 M 3 6 P 4 为所求 3 8 22 解 1 设甲 乙两人起初的位置是 A B 则由余弦定理 2 3 1 7 60cos2 222 OBOAOBOAAB 22 13 2 1 所以甲 乙两人的距离是 AB km 7 2 设甲 乙两人 t h 后的位置分别是 P Q 则 AP 4t BQ 4t 当 0 t 时