暑期数学综合试卷一

暑期数学综合试卷一暑期数学综合试卷一 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应位分 请把答案填写在答题卡相应位 置上 置上 1 已知则 1 0 2 1 1 AB AB 2 已知复数 i 为虚数单位 则复数的实部为 2 1 i z i z 3 写出命题 若x 3 则x2 2x 3 0 的否命题 4 一位篮球运动员在最近的 5 场比赛中得分的 茎叶图 如图 则他在这 5 场比赛中得 分的方差为 0 89 1 012 5 如图所示的流程图 输出的 n 6 已知抛物线的焦点是双曲线的 2 8yx 22 2 1 0 3 xy a a 右焦点 则双曲线的渐近线方程为 7 若实数 x y满足不等式组 0 220 x yx xy 则 2zxy 的最大值为 8 已知圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形 则圆柱的表面积为 9 在等差数列中 为其前 n 项的和 若则 n a n S 33 8 20 aS 5 S 10 将xy2sin 的图像向右平移 单位 0 使得平移后的图像过点 2 3 3 则 的最小值为 11 若直线 被圆截得的弦长为 2 则 a lyxa 2 2 21xy 12 已知函数 f x 为奇函数 则不等式 f x 4 的解集为 2 2 0 3 0 xax x bxx x 13 在三角形 ABC 中 已知 AB 3 A 的面积为 则的值 0 120ABC 15 3 4 BC BA A 14 设点 P M N 分别在函数的图象上 且 2 22 4 3yxyxxyx 则点 P 横坐标的取值范围为 2MNPN 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 sincosf xxax 1 若 求的最大值及对应的 x 的值 3a f x 2 若 求 tanx 的值 0 4 f 1 0 5 f xx 16 本小题满分 14 分 已知三棱锥中 平面 ABC PABC PA ABBC D 为 PB 中点 E 为的中点 PC 1 求证 平面 2 求证 平面平面 BC AADEAED ABP 17 本小题满分 14 分 小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车 第一年因缴纳各种费 用需支出 6 万元 从第二年起 每年都比上一年增加支出 2 万元 假定该车每年的运输 收入均为 25 万元 小张在该车运输累计收入超过总支出后 考虑将大货车作为二手车出 售 若该车在第 x 年年底出售 其销售收入为 25 x 万元 国家规定大货车的报废年限为 10 年 1 大货车运输到第几年年底 该车运输累计收入超过总支出 2 在第几年年底将大货车出售 能使小张获得的年平均利润最大 利润 累计收入 销售收入 总支出 18 本小题满分 16 分 已知椭圆的离心率为 且过点 22 22 10 xy Cab ab 1 2 3 1 2 A 1 求椭圆的方程 C 2 若点 B 在椭圆上 点 D 在 y 轴上 且 求直线 AB 方程 2BDDA 19 已知数列满足 数列满足 n a 12 1 0aaa n b 1nnn ba a A 1 若为等比数列 求的前 n 项的和 n a n b n s 2 若 求数列的通项公式 3n n b n a 3 若 求证 2 n bn 12 111 223 n n aaa 20 已知函数 ln x f xeg xx 1 求证 1f xx 2 设 求证 存在唯一的使得 g x 图象在点 A 处的切线 与 y f x 0 1x 0 x 00 x g xl 图象也相切 3 求证 对任意给定的正数 a 总存在正数 x 使得成立 1 1 f x a x 暑期数学综合试卷一参考答案暑期数学综合试卷一参考答案 一 填空 一 填空 每题每题 5 5 分 满分分 满分 7070 分分 1 2 1 3 若则 4 2 5 4 1 0 1 2 3x 2 230 xx 6 7 6 8 9 40 10 11 2 12 4 3yx 6 6 13 14 33 2 5 2 23 22 二 解答题 二 解答题 满分满分 9090 分分 15 解 1 2 分 sin3cos2sin 3 f xxxx 当sin 12 332 xxkkz 时 f x 有最大值 2 6 分 2 6 xkkz 2 8 分 01 4 fa 1 sincos 5 xx 2 1 incos 25 sxx 12 sincos 25 xx A 或 2 112 cos cos25cos5cos120 525 xxxx 3 cos 5 4 sin 5 x x 4 cos 5 3 sin 5 x x tanx 14 分 0 x 3 cos 5 4 sin 5 x x 4 3 16 1 证明 7 PEEC DEBC PDDB DEADEBCADE BCADE 平面平面 平面 分 2 12 分 PAABC PABC BCABC BCAB PAABABC PA 平面 平面 平面PAB 平面PAB AB平面PAB 又 14 分 DEBCDE 平面PABDEADE 平面ADE 平面平面PAB 17 解 1 设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元 xy 则 25 6 1 50 0 10 yxxx xxx N 18 解 1 2 分 1 2 2 c eac a 设椭圆方程为 2222 3bacc 22 22 1 43 xy cc 22 13 11 44 c cc 设椭圆方程为 7 分 22 1 43 xy 2 设 B D 0 m 则 00 xy 00 BDx my 3 1 2 DAm 即代入椭圆方程得 m 1 14 00 2 32xmym 00 2 33xym 0 1 D 分 16 分 1 1 2 AB lyx 19 1 2 分 1121 nnnn nn aabaaa A 当 a 1 时 则 3 分 1 n b n sn 当时 5 分 1a 2 2 1 1 n n aa s a 2 1 3n nn a a A 1 1 3 2 n nn aa nnN A 7 分 1 1 3 2 n n a nnN a 当时 21 nkkN 11 22 22 2 3 3 a3 kk k k k a kNaa a 当时 2 nk kN 1 21 21 2 1 3 3k k k k a kNa a 11 分 1 2 2 2 3 21 3 2 n n n nk a ank 3 1 2 nn a an 12 1 3aa 1 1 nn aan 2 n 得 1111 1 1 2 nnnnn n aaaaan a 23 111 n aaa 314211 nn aaaaaa 112nn aaaa 123 1111 n aaaa 1121 1 1 3 nnnn aaaaaa a 3 16 分 11 222 nnnn aaa an A 123 1111 n aaaa 22n 20 1 令 1 x F xex xR 得 10 x Fxe 0 x 当时当时 0 x 0 FxF x A0 x 0 FxF x A min 00F xF 由最小值定义得即 4 分 min0F xF x 1 x ex 2 在处切线方程为 g x 0 xx 0 0 1 ln1yxx x 设直线 与图像相切于点 则 6 分 l x ye 1 1 x x e l 11 1 1 xx ye xex 由 得 0 0 0 1 ln0 1 x x x 下证在上存在且唯一 0 x 1 令 1 ln1 1 x G xxx x 2 2 1 0 1 x Gx x x 在上 G x 1 A 又图像连续 存在唯一 使 2 2 2 23 0 0 11 e G eG e ee G x 0 x 1 式成立 从而由 可确立 故得证 10 1 x 分 1 由 1 知即证当时不等式即 1 10 f x x 0a 1 x exax 在上有解 10 x eaxx 0 令 即证 12 分 1 x H xeaxx