整式分式复习资料

1 整式乘除与因式分解 一 重点难点 重点是整式的乘法运算 因式分解运算 难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法 二 知识要点 知识点一 幂的运算 1 1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 即 都是正整 nmnm aaa mn 数 2 2 幂的乘方 幂的乘方 幂的乘方 底数不变 指数相乘 即 都是正整数 mnnm aa mn 3 3 积的乘方 积的乘方 先把积中的每一个因式分别乘方 再把所得的结果相乘 即 是 nnn baab n 正整数 4 4 同底数幂的除法 同底数幂的除法 同底数幂相除 底数不变 指数相减 这个也可以看做分式的运算 即 0 都是正整数 且 nmnm aaa amnmn 零指数幂零指数幂 不等于零的数的零次幂等于 1 即1 0 0 aa 推导过程 这里面注意 a 0 因为分母中有 a 1a 0 aaa mmmm 负整数指数幂负整数指数幂 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数 即 0 是正整数 p a p a 1 ap 例例 1 1 计算aaa 2433 2 3 解解 aaa 2433 2 3 99989 52323aaaaaa 点评点评 在整式运算中同样应遵循有括号先算括号 先小括号 再中括号 后大括号 然后算 乘方 再算乘除 最后算加减的原则 例例 2 2 0 252009 42009 8100 0 5300 解 解 0 252009 42009 8100 0 5300 0 25 4 2009 23 100 0 5300 12009 2 0 5 300 1 1300 0 知识点二 整式乘法 1 1 单项式乘单项式单项式乘单项式 单项式与单项式相乘 把它们的系数 相同字母的幂分别相乘 对于只在一个单项式里含有的 字母 则连同它的指数作为积的一个因数 即 3a2b4c 2x3bc6 3 2 b4 b c c6 a2 x3 6a2x3b5c7 2 2 2 单项式乘多项式单项式乘多项式 单项式与多项式相乘 就是根据乘法对加法的分配律 用单项式乘多项式的每一项 再把所得的 积相加 即 a m n am an 单项式计算部分与上面原理相同 3 3 多项式乘多项式多项式乘多项式 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 就是反复多用几次乘法分配律 即 a b m n am an bm bn 单项式计算部分与上面原 理相同 例例 3 3 计算 1 2 2a3 3a 5 3 a2 3 3 2 2 3 32232 baabcba 解解 1 3 3 2 2 3 32232 baabcba 3 9 4 2 3 34232 babacba cbacbbaaa 8743322 2 b 3 9 4 2 3 2 2a3 3a 5 3 a2 2353 5153926aaaaa 159592 235 aaaa 点评 点评 为防止 漏项 应注意将一个多项式的每一项 遍乘 另一个多项式的每一项 要正 确确定积中每项的符号 如有同类项 则应合并同类项 得出最简结果 通常情况下 最后结果应按某一字母的降幂排列 知识点三知识点三 乘法公式 乘法公式 1 1 平方差公式平方差公式 两个数的和与这两个数的积 等于这两个数的平方差 即 22 bababa 2 2 完全平方公式完全平方公式 两数和 或差 的平方 等于它们的平方和 加 或减 它们的积的 2 倍 即 22 2 2bababa 22 2 2bababa 例例 4 4 利用乘法公式计算 nmnm234234 解解 nmnm234234 234 234 nmnm 22 234nm 22 412916nnm 912416 22 nnm 点评点评 巧妙的将看作一个整体是解决本题的关键 n23 知识点四知识点四 整式除法 了解即可 这几年几乎不从这部分里出题 整式除法 了解即可 这几年几乎不从这部分里出题 3 1 1 单项式除以单项式单项式除以单项式 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除后 作为商的因式 对于只在被除式里含有 的字母 则连同它的指数一起作为商的一个因式 2 2 多项式除以单项式多项式除以单项式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式 再把所得的商相加 知识点五 因式分解 1 因式分解 把一个多项式化为几个整式的积的形式 叫做把这个多项式因式分解 注意 因式分解与乘法是相反的两个转化 2 因式分解的方法 常用 提取公因式法 公式法 分组分解法 十字相乘 法 前三个较常考 第四个较难理解 而且大纲里不作要求 近几年不常考 但是用好了会简化许多计算 一 提公因式法一 提公因式法 am an a m n 二 运用公式法二 运用公式法 a2 b2 a b a b a2 2ab b2 a b 2 三 分组分解法三 分组分解法 把需要分解的式子改变顺序 对其中某部分提公因式或运用公式 然后再进行 下一步的因式分解 一 分组后能直接提公因式 一 分组后能直接提公因式 例例 5 分解因式 分解因式 bnbmanam 分析 从分析 从 整体整体 看 这个多项式的各项既没有公因式可提 也不能运用公式分解 但从看 这个多项式的各项既没有公因式可提 也不能运用公式分解 但从 局部局部 看 这个多项式前两项都含有看 这个多项式前两项都含有 a 后两项都含有 后两项都含有 b 因此可以考虑将前两项分为一组 后两项分为 因此可以考虑将前两项分为一组 后两项分为 一组先分解 然后再考虑两组之间的联系 一组先分解 然后再考虑两组之间的联系 解 原式解 原式 bnbmanam 每组之间还有公因式 每组之间还有公因式 nmbnma banm 注注 分组的选择是不唯一的 这道题还可以选择其他的分组方式 试试看 二 分组后能直接运用公式 二 分组后能直接运用公式 例例 6 分解因式 分解因式 ayaxyx 22 分析 若将第一 三项分为一组 第二 四项分为一组 虽然可以提公因式 但提完后就不能继分析 若将第一 三项分为一组 第二 四项分为一组 虽然可以提公因式 但提完后就不能继 续分解 所以只能另外分组 续分解 所以只能另外分组 解 原式解 原式 22 ayaxyx yxayxyx ayxyx 例例 7 分解因式 分解因式 222 2cbaba 解 原式解 原式 222 2 cbaba 22 cba cbacba 四 十字相乘法四 十字相乘法 这是因式分解的最精华部分 但是大纲里不做要求 是课本中的思考题部分 所以了解即可 这是因式分解的最精华部分 但是大纲里不做要求 是课本中的思考题部分 所以了解即可 但是如果学会了 解题会快很多 但是如果学会了 解题会快很多 一 二次项系数为 一 二次项系数为 1 的二次三项式的二次三项式 直接利用公式直接利用公式 进行分解 进行分解 2 qxpxpqxqpx 特点 特点 1 二次项系数是 二次项系数是 1 2 常数项是两个数的乘积 常数项是两个数的乘积 3 一次项系数是常数项的两因数的和 一次项系数是常数项的两因数的和 例例 8 分解因式 分解因式 65 2 xx 分析 将分析 将 6 分成两个数相乘 且这两个数的和要等于分成两个数相乘 且这两个数的和要等于 5 由于由于 6 2 3 2 3 1 6 1 6 从中可以发现只有 从中可以发现只有 2 3 的分解适合 即的分解适合 即 2 3 5 4 1 2 解 解 1 3 65 2 xx32 32 2 xx 3 2 xx 例例 6 分解因式 分解因式 67 2 xx 解 原式解 原式 1 1 6 1 6 1 2 xx 1 6 6 1 xx 1 6 7 二 二次项系数不为 二 二次项系数不为 1 的二次三项式的二次三项式 cbxax 2 条件 条件 1 21a aa 1 a 1 c 2 21c cc 2 a 2 c 3 1221 cacab 1221 cacab 分解结果 分解结果 cbxax 2 2211 cxacxa 例例 7 分解因式 分解因式 10113 2 xx 分析 分析 1 2 3 5 6 5 11 解 解 10113 2 xx 53 2 xx 三 二次项系数为 三 二次项系数为 1 的齐次多项式的齐次多项式 例例 8 分解因式 分解因式 22 1288baba 分析 将分析 将看成常数 把原多项式看成关于看成常数 把原多项式看成关于的二次三项式 利用十字相乘法进行分解 的二次三项式 利用十字相乘法进行分解 ba 1 8b 1 16b 8b 16b 8b 解 解 22 1288baba 16 8 16 8 2 bbabba 16 8 baba 四 二次项系数不为 四 二次项系数不为 1 的齐次多项式的齐次多项式 例例 9 例例 10 22 672yxyx 23 22 xyyx 1 2y 把把看作一个整体看作一个整体 1 1 xy 2 3y 1 2 3y 4y 7y 1 2 3 解 原式解 原式 解 原式解 原式 32 2 yxyx 2 1 xyxy 典型题典型题 例例 1 设 m2 m 2 0 求 m3 3m2 2000 的值 分析 分析 由 m2 m 2 0 无法求 m 所以要把 m3 3m2 2000 及 m2 m 2 0 变形 解 解 由 m2 m 2 0 得 m2 2 m m2 m 2 原式 m2 m 3m2 2000 2 m m 3m2 2000 2m m2 3m2 2000 2 m2 m 2000 2 2 2000 2004 评析 评析 要多探索方法 寻求新颖简捷的方法 例例 2 化简求值 5 m n m n 2 m n 2 3 m n 2 其中 m 2 n 1 5 分析 分析 先应用乘法公式化简 再代入求值 解 解 5 m n m n 2 m n 2 3 m n 2 5 m2 n2 2 m2 2mn n2 3 m2 2mn n2 5 5m2 5n2 2m2 4mn 2n2 3m2 6mn 3n2 10n2 2mn 当 m 2 n 时 1 5 原式 10n2 2mn 2n 5n m 2 5 2 3 1 5 1 5 2 5 6 5 评析 评析 本题用到平方差及完全平方公式 注意应用公式要准确 注 这类习题一定要先化简 在代数求值 以后的分式部分也要这样做 例例 3 已知 a b 2 11 a b 2 5 求 1 a2 b2 2 ab 分析 分析 利用完全平方公式变形即可 解 解 由 a b 2 11 得 a2 2ab b2 11 由 a b 2 5 得 a2 2ab b2 5 得 2a2 2b2 16 故 a2 b2 8 得 4ab 6 故 ab 3 2 例例 4 4 abc 的三边 a b c 有如下关系式 c2 a2 2ab 2bc 0 求证这个三角形是等 腰三角形 分析 此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解 还有些题是对某部分因 式分解 证明 c2 a2 2ab 2bc 0 a c a c 2b a c 0 a c a 2b c 0 又 a b c 是 abc 的三条边 a 2b c 0 a c 0 即 a c abc 为等腰三角形 例例 5 5 简便计算 2001 1999 2001 1999 2000 1 2000 1 20002 1 2000 1 2000 1 1 20002 1 用平方差公式也可以直接得到这一步 4000000 1 3999999 例例 6 计算 am 5bn 1 a m 6bn 1 解 解 am 5bn 1 a m 6bn 1 分析 分析 无论指数多繁杂同底数幂结合是关键 am 5 a m 6 bn 1 bn 1 am 5 m 6 bn 1 n 1 a11b2n 例例 7 计算 1 2k 1 2k 解 解 1 2k 1 2k 分析 分析 1 的奇次幂是 1 6 1 2 k 1 的偶次幂是 1 1 k 利用 amn am n将 2k k 变形 2k 2 k k 例例 8 用简便方法计算 1 9 3 3 3 分析 分析 本题逆用积的乘方公式 即同指数的若干个幂的积等于它们底数乘积之幂 ambmcm abc m 解 解 1 9 3 3 3 9 3 9 3 23 8 例 9如果 2 8n 16n 222 求 n 的值 分析 分析 依据相等的 2 个幂 如其底数相同 则其指数相等的原理解方程 解 解 2 8n 16n 222 又 左边 2 8n 16n 2 23 n 24 n 2 23n 24n 21 3n 4n 21 7n 21 7n 222 1 7n 22 n 3 例 10 已知 求的值 2 1 x x 2 2 1 x x 解 解 2 x2 2x 2 x2 2 2 4 x x 1 x 1 x 1 x 1 4 2 6 2 2 1 x x 例 11 如果 a b 2a 4b 5 0 求 a b 的值 22 解 解 a b 2a 4b 5 a 1 2 b 2 2 0 22 所以 a a 1 0 b 2 0 所以 a 1 b 2 例例 1212 两个连续整数的平方差必是奇数 解 设这两个连续整数是 n 和 n 1 则 这两个数的平方差是 n 1 2 n2 n 1 n n 1 n 2n 1 因为 n 是整数 所以 2n 1 是奇数 则结论成立 分式 一 重点难点 重点是提高分式部分化简求值的运算能力 注意分式什么时候无意义 什么时候值为 0 会 7 解分式方程 会用分式方程解决实际问题 难点是计算要快速准确 解方程记得检验是否是增根 二 知识要点 知识点一知识点一 分式的基础知识分式的基础知识 1 1 分式分式 整式 A 除以整式 B 可以表示成 的形式 如果除式 B 中含有字母 那么称 为分 A B A B 式 若 B 0 则 有意义 若 B 0 则 无意义 若 A 0 B 0 则 0 A B A B A B 2 2 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个不等于零的整式 分式的值不 变 用式子表示为 C 0 CB CA B A CB CA B A 3 3 约分约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去 这种变形称为分式的约分 4 通分通分 根据分式的基本性质 把异分母的分式化为同分母的分式 这一过程称为分式的通分 注 通分的关键是确定 n 个分式的最简公分母 约分的关键是确定分式的分子与分母中的最 大公因式 例 1 下列各式 哪些是整式 哪些是分式 例 2 分别求出使下列式子有意义的 x 的值 解 分式有意义 只要分母不为 0 就可以 第一个 x 3 0 x 3 第二个 3 0 x 3x 第三个 x2 0 x 0 例 3 如果分式的值为零 那么 等于 93 3 x x x 解 依题意得 3x 9 0 x 3 8 3 0 x 3 综合起来 x 3 x 3 的时候分式分母为 0 无意义 x 例 4 例 5 不改变分式的值 把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数 知识点二 分式的运算 注 这部分中考必有一道题 计算一定要大量练习 要保证准的基 础上 提高速度 1 分式乘除法 概括 与分数乘除法的法则类似 分式的乘除法的法则是 两个分式相乘 把分子相乘的积作为积的分子 把分母相乘的积作为积的分母 两个分式相除 把除式的分子和分母颠倒位置后 再与被除式相乘 经观察 类比不难发现 例 6 解 原式 b a a b a b a ba 22 b ab ba 22 例 7 先化简 再求值 中考题型 一定要先化简 再代数 切记 9 2 分时加减法 同分母的分式加减法与同分母分数加减法的法则类似 同分母的分式加减法的法则是 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 异分母的分式加减法与异分母分数加减法的法则类似 异分母的分式加减法的法则是 异分母的分式相加减 先通分 化为同分母的分式 然后再按同分母分式的加减法法则 进行计算 例 8 例 9 知识点三 分式方程 概念 含有分式的等式 方程 叫分式方程 注 对于分式方程 当分式中分母的值为零时没有意义 所以分式方程不允许未知数取那 些分母为零的值 即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件 当把分式方程转化为整式方 程以后 这种限制取消了 换言之 方程中未知数允许取值的范围扩大了 如果转化后的整 10 式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值 那么就会出现增根 因为解分式方程可 能会出现增根 所以解分式方程时 验根是必要步骤 验跟是只有分式方程中才特有的 但验跟是只有分式方程中才特有的 但 是必须的是必须的 验根的方法有两种 一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验 这种方法道理简单 而且可以检查解方程时有无计算错误 另一种是把求得未知数的值代入分式的分母 看分母的值 只否为零 这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误 例 10 xxx 62 1 122 解 解 方程两边同时乘以得 xx 12 xxx 62112 整理 得 xx 2 60 解这个方程 得 x x 1 2 3 2 经检验 是原方程的增根 应舍去 所以原方程的根是x 2x 3 例 11 年 1 月 1 日起调整居民用水价格 每立方米水费上涨 1 3 小丽家去年 12 月份的水费 是 15 元 而今年 7 月份的水费则是 30 元 已知小丽家今年 7 月份的用水量比去年 12 月份的用水 量多 5m3 求该市今年居民用水的价格 主要的等量关系是 小丽家今年 7 月份的用水量 小丽家去年 12 月份的用水量 5m3 所以 首先要表示出小丽家这两个月的用水量 而用水量可以用水费除以水的单价得出 解 设该市去年居民用水的价格 x 元 m3 则今年的水价为 1 1 3 x 元 m3 根据题意 得 5 15 x 3 1 1 30 x 解这个方程 得 x 1 5 经检验 x 1 5 是所列方程的根 1 5 1 1 3 2 元 所以 该市今年居民用水的价格 2 元 m3 例 12 xx xx 2 2 11 0 解 原方程变为 2 2 0 x x 1 x x 1 所以 2 x1 x2 1 x x 1 或 1 这个方程无解 x x 1 经检验 x1 x2 1 是这个方程的跟 例 13 如果方程有增根 则k k xkx xx 2 2 11 x 1 解 解这种题 不要先带 x 的值 因为带进去分母为 0 分式无意义 所以 先通分 11 在通分时 等式两边乘以 0 对等式是没有影响的 所以 原方程可化为 x k x x 1 2 x2 1 整理 3x2 k 2 0 此时 带入 x 1 求 k 的值 k 1 例 14 若 求的值 3 11 yxyxyx yxyx 2 535 解 因为 所以 y x 3xy3 11 yx yxyx yxyx 2 535 5 12 5 12 2xy 3xy 3xy 3xy 5 2xy y x 3y x5 xy xyxy 巩固练习 整式部分 1 计算 1 3a 2a 2 3xy z x y 2332222 3 21a b 7a b 4 7a5b c 3a b 232233 5 x 6 2344 2 xxxxxx b 3 2 a 2 1 ba 4 3 3 2 2 若 5n 2 4n 3 则 20n的值是 若 2n 1 16 则x 3 已知求 m n 的值 105432 4 2 5 4 3 yxxyyxyx nm 4 提示 用平方差公式 24815 11111 1 1 1 1 22222 5 已知 求的值9ab 3ab 22 3aabb 6 在长为m 宽为m 的一块草坪上修了一ab 条 1m 宽的笔直小路 则余下草坪的面积可表 示 为 现为了增加美感 把这条 2 m 小路改为宽恒为 1m 的弯曲小路 如图 6 则 此时余下草坪的面积为 2 m 7 若 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2 b2 c2 ab ac bc 试判断 ABC 的形状 8 已知 求 1 2 3 的值 8 yx12 xy 22 x yxy 22 xxyy yx 9 利用因式分解说明 能被 140 整除 127 636 1010 因式分解 因式分解 1 2 22xaxyay 2 7321ababa 3 4 ybxbyaxa 2222 nxnmxmx 2 12 5 6 12 222 aabba 4422 bababa 7 8 22 699yyx 22 2xxyyaxay 9 2x2 7x 3 10 6x2 7x 5 11 3x2 7x 2 12 5x2 6xy 8y2 注注 后四个是用十字相乘法因式分解 尽量做 11 已知 求的值 0 zyx 222222 4 zyzyx 12 已知 a b c为的三边 并且满足ABC 0 222 baccabcba 求证 是等腰三角形 ABC 分式部分 1 已知 3x 4y z 0 2x y 8z 0 求的值 xzyzxy zyx 2 222 2 化简 2 2 2 1 1 1 1