第1章 直角三角形

第第 1 章章 直角三角形直角三角形 1 1 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定 第第 1 课时课时 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定 1 掌握 直角三角形两个锐角互余 并能利用 两锐角互余 判断三角形是直角三 角形 重点 2 探索 理解并掌握 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 的性质 重点 难点 一 情境导入 在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识 同学们可以用手上的三角板和量角 器作直角三角形 并和小组成员一同探究直角三角形的性质 二 合作探究 探究点一 直角三角形两锐角互余 如图 AB DF AC BC 于 C BC 与 DF 交于点 E 若 A 20 则 CEF 等于 A 110 B 100 C 80 D 70 解析 AC BC 于 C ABC 是直角三角形 ABC 90 A 90 20 70 ABC 1 70 AB DF 1 CEF 180 即 CEF 180 1 180 70 110 故选 A 方法总结 熟知直角三角形两锐角互余的性质 并准确识图是解决此类题的关键 变式训练 见 学练优 本课时练习 课堂达标训练 第 2 题 探究点二 有两个角互余的三角形是直角三角形 如图所示 已知 AB CD BAF F EDC E 求证 EOF 是直角三 角形 解析 三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理 是解决问题的突破口 本题欲证 EOF 是直角三角形 只需证 E F 90 即可 而 E 180 BCD 1 2 F 180 ABC 由 AB CD 可知 ABC BCD 180 即问题得证 1 2 证明 BAF F BAF F ABF 180 F 180 ABF 同 1 2 理 E 180 ECD E F 180 1 2 ABF ECD AB CD ABF ECD 180 E F 180 1 2 180 90 EOF 是直角三角形 1 2 方法总结 由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为 180 如果一个 三角形中有两个角的和为 90 可知该三角形为直角三角形 变式训练 见 学练优 本课时练习 课堂达标训练 第 5 题 探究点三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图 ABC 中 AD 是高 E F 分别是 AB AC 的中点 1 若 AB 10 AC 8 求四边形 AEDF 的周长 2 求证 EF 垂直平分 AD 解析 1 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DE AE AB DF AF AC 再根据四边形的周长的公式计算即可得解 2 根据 到 1 2 1 2 线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 证明即可 1 解 AD 是高 E F 分别是 AB AC 的中点 DE AE AB 10 5 DF AF AC 8 4 四边形 AEDF 的周长 1 2 1 2 1 2 1 2 AE DE DF AF 5 5 4 4 18 2 证明 DE AE DF AF E 是 AD 的垂直平分线上的点 F 是 AD 的垂直平 分线上的点 EF 垂直平分 AD 方法总结 当已知条件含有线段的中点 直角三角形等条件时 可联想直角三角形斜 边上的中线的性质 连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明 变式训练 见 学练优 本课时练习 课堂达标训练 第 6 题 探究点四 直角三角形性质的综合运用 类型一 利用直角三角形的性质证明线段关系 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 120 EF 为 AB 的垂直平分线 交 BC 于 F 交 AB 于点 E 求证 FC 2BF 解析 根据 EF 是 AB 的垂直平分线 联想到垂直平分线的性质 因此连接 AF 得到 AFB 为等腰三角形 又可求得 B C BAF 30 进而求得 FAC 90 取 CF 的 中点 M 连接 AM 就可以利用直角三角形的性质进行证明 证明 如图 取 CF 的中点 M 连接 AF AM EF 是 AB 的垂直平分线 AF BF BAF B AB AC BAC 120 B BAF C 180 1 2 120 30 FAC BAC BAF 90 在 Rt AFC 中 C 30 M 为 CF 的中点 AFM 60 AM FC FM AFM 为等边三角形 AF AM FC 又 1 2 1 2 BF AF BF FC 即 FC 2BF 1 2 方法总结 当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时 通常会运用到 直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半 这个性质 使用该性质时 要注意找准斜边和斜边上的 中线 变式训练 见 学练优 本课时练习 课后巩固提升 第 9 题 类型二 利用直角三角形的性质解决实际问题 如图所示 四个小朋友在操场上做抢球游戏 他们分别站在四个直角三角形的直 角顶点 A B C D 处 球放在 EF 的中点 O 处 则游戏 填 公平 或 不公平 解析 游戏是否公平就是判断点 A B C D 到点 O 的距离是否相等 四个直角三角 形有公共的斜边 EF 且 O 为斜边 EF 的中点 连接 OA OB OC OD 根据 直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半 的性质可知 OA OB OC OD EF 即点 1 2 A B C D 到 O 的距离相等 由此可得出结论 游戏公平 方法总结 题目中如果出现 直角三角形 和 中点 这两个条件时 应连接直角顶 点与斜边中点 再利用 斜边上的中线等于斜边的一半的性质 解题 变式训练 见 学练优 本课时练习 课堂达标训练 第 8 题 类型三 利用直角三角形性质解动态探究题 如图所示 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 O 为 BC 的中点 1 写出点 O 到 ABC 的三个顶点 A B C 的距离的数量关系 2 如果点 M N 分别在线段 AB AC 上移动 移动中保持 AN BM 请判断 OMN 的 形状 并证明你的结论 解析 1 由于 ABC 是直角三角形 O 是 BC 的中点 得 OA OB OC BC 2 由 1 2 于 OA 是等腰直角三角形斜边上的中线 因此根据等腰直角三角形的性质 得 CAO B 45 OA OB 又 AN MB 所以 AON BOM 所以 ON OM NOA MOB 于是有 NOM AOB 90 所以 OMN 是等腰直角三角 形 解 1 连接 AO 在 Rt ABC 中 BAC 90 O 为 BC 的中点 OA BC OB OC 即 OA OB OC 1 2 2 OMN 是等腰直角三角形 理由如下 AC BA OC OB BAC 90 OA OB NAO CAB B 45 AO BC 又 AN BM AON 1 2 BOM ON OM NOA MOB NOA AOM MOB AOM NOM AOB 90 MON 是等腰直角三角形 方法总结 解决动态探究性问题 要把握住动态变化过程中的不变量 比如角的度数 线段的长和不变的数量关系 比如斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形两锐角互 余 变式训练 见 学练优 本课时练习 课后巩固提升 第 7 题 三 板书设计 1 直角三角形的性质 性质一 直角三角形的两锐角互余 性质二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半