2020版高中数学人教A版必修4 导学案《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》（含答案解析）.doc

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.思考1ii，jj，ij分别是多少？答案为：ii=11cos 0=1，jj=11cos 0=1，ij=0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算ab.答案为：a=x1iy1j，b=x2iy2j，ab=(x1iy1j)(x2iy2j)=x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2=x1x2y1y2.思考3若ab，则a，b坐标间有何关系？答案为：abab=0x1x2y1y2=0.梳理设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积ab=x1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y2=0知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a=(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.答案为：a=xiyj，x，yR，a2=(xiyj)2=(xi)22xy ij(yj)2=x2i22xy ijy2j2.又i2=1，j2=1，ij=0，a2=x2y2，|a|2=x2y2，|a|=.思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？答案为：=(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)，|=.梳理向量模长a=(x，y)|a|=以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量|=知识点三平面向量夹角的坐标表示思考设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？答案为：cos =.类型一平面向量数量积的坐标表示例1.已知a与b同向，b=(1，2)，ab=10.(1)求a的坐标；(2)若c=(2，1)，求a(bc)及(ab)c.反思与感悟此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(ab)ca(bc)，即向量运算结合律一般不成立.跟踪训练1向量a=(1，1)，b=(1，2)，则(2ab)a等于()A.1 B.0 C.1 D.2类型二向量的模、夹角问题例2.在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(5，15). (1)求|，|； (2)求OAB.反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(2)利用|a|=求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos ，并根据的范围确定的值.跟踪训练2已知a=(1，1)，b=(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围.类型三向量垂直的坐标形式例3.(1)已知a=(3，2)，b=(1，0)，若向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A. B. C. D.(2)在ABC中，=(2，3)，=(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值.反思与感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.跟踪训练3.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(2，3)，C(2，1)，若(t)，则实数t=_.1.已知a=(3，1)，b=(1，2)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.2.已知向量=，=，则ABC等于()A.30 B.45 C.60 D.1203.已知向量m=(1，1)，n=(2，2)，若(mn)(mn)，则等于()A.4 B.3 C.2 D.14.已知平面向量a，b，若a=(4，3)，|b|=1，且ab=5，则向量b=_.5.已知a=(4，3)，b=(1，2).(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值.1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则abx1y2x2y1=0，abx1x2y1y2=0.4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.课时作业一、选择题1.已知向量a=(5，6)，b=(6，5)，则a与b()A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向2.已知向量a=(1，n)，b=(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A.1 B. C.2 D.43.若向量a=(1，2)，b=(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A. B. C. D.4.若a=(2，3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为()A.(3，2) B.C.或 D.以上都不对5.已知平面向量a=(1，2)，b=(4，2)，c=mab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于()A.2 B.1 C.1 D.26.已知向量a=(1，2)，b=(2，3).若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B. C. D.二、填空题7.已知a=(3，)，b=(1，0)，则(a2b)b=_.8.已知A(3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC=30，=，则实数的值为_.9.已知a=(1，3)，b=(2，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.10.已知点A(1，2)，若向量与a=(2，3)同向，且|=2，则点B的坐标为_.三、解答题11.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2).(1)若|c|=2，且c与a方向相反，求c的坐标；(2)若|b|=，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.12.已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4).(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.13.平面内有向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos AQB的值.四、探究与拓展14.已知向量a=(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab=，则向量b的坐标为_.15.已知=(4，0)，=(2，2)，=(1)(2).(1)求及在上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当=时，求的值；(3)求|的最小值.答案解析例1.解：(1)设a=b=(，2)(0)，则有ab=4=10，=2，a=(2，4).(2)bc=1221=0，ab=10，a(bc)=0a=0，(ab)c=10(2，1)=(20，10).跟踪训练1答案为：C解析：因为a=(1，1)，b=(1，2)，所以2ab=2(1，1)(1，2)=(1，0)，则(2ab)a=(1，0)(1，1)=1，故选C.例2解：(1)由=(16，12)，=(516，1512)=(21，3)，得|=20，|=15.(2)cos OAB=cos，=.其中=(16，12)(21，3)=16(21)123=300.故cos OAB=.OAB=45.跟踪训练2解：a=(1，1)，b=(，1)，|a|=，|b|=，ab=1.又a，b的夹角为钝角，即0)，则|=2，132=1322，=2，=(4，6)，=(1，2)(4，6)=(5，4).点B的坐标为(5，4).11.解：(1)设c=(x，y)，由ca及|c|=2，可得所以或因为c与a方向相反，所以c=(2，4).(2)因为(a2b)(2ab)，所以(a2b)(2ab)=0，即2a23ab2b2=0，所以2|a|23ab2|b|2=0，所以253ab2=0，所以ab=.所以cos =1.又因为0，所以=.12.(1)证明：A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，=(1，1)，=(3，3)，又=1(3)13=0，即ABAD.(2)解，四边形ABCD为矩形，=.设C点坐标为(x，y)，则=(1，1)，=(x1，y4)，解得C点坐标为(0，5).由于=(2，4)，=(4，2)，所以=88=160，|=2 ，|=2 .设与的夹角为，则cos =0，矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.13.解：(1)设=(x，y)，Q在直线OP上，向量与共线.又=(2，1)，x2y=0，x=2y，=(2y，y).又=(12y，7y)，=(52y，1y)，=(12y)(52y)(7y)(1y)=5y220y12=5(y2)28.故当y=2时，有最小值8，此时=(4，2).