快递公司送货策略(数学建模)

B 题题 快递公司送货策略快递公司送货策略 摘要摘要 本文主要解决快递公司送货策略问题 研究在各种运货地点 重量的确定 业务员的运输条件和工作时间等各种约束条件下 设 计最优的路线 得出最优送货策略 主要研究如下三个问题 问题一 首先考虑在时间和重量两个约束条件之下 优先考虑 重量 通过对送货点的分布进行分析 将分布点按照矩形 弧形和 树的理念将问题分成三种模块 从而建立三种送货方案 方案一 运用矩形 将整个区域分成 5 个区域 以选择的点的送货质量之和 小于 25kg 且距离尽可能小的点的集合作为一个区域 依次来分配业 务员的送货地点 方案二 运用弧形 以原点为圆心画同心圆 按 照就近原则确定送货区域 依次分配业务员的送货地点 方案三 运用 Dijkstra 算法计算出每一个顶点到其它点的距离 分析点的分 布 由此得到最小树 在最小树的基础上 向四周延伸 得到相应 区域 且以送货质量小于 25kg 且距离尽可能小的点的集合作为一个 区域 依次来分配业务员的送货地点 其次 再综合这三种方案所 涉及到得时间 路程依次进行对比 画出柱形图 清晰可得出最优 的方案为方案三 问题二 是解决送货总费用最小的问题 因此要求业务员的运 行路线要尽量短 且尽早卸货 首先将该区域安排送货点均匀度分 为三个小区域 以每个点的信件质量从小到大排列 以送货点最大 点为中心 选择该点附近质量较大且距离较短原则的下一个送货点 依次类推 直到根据约束条件为每次携带的快件量不超过 25kg 找 到该条路线最后一个送货点 按此方法可得路线为 0 30 0 24 0 0 4 3 8 9 21 23 0 并且利用 C 语言编程 见附录 算得每条路线的费用 所得总费用为 14636 1 元 问题三 在问题一的基础上 将业务员的工作时间延长到 8 小 时 由此在问题一的基础上 将 8 小时的工作时间所需花费的费用 在三个方案中进行对比 由此得到依旧是方案三的为最优 1 关键字关键字 规划模型 Floyd算法 最小生成树 MATLAB 一 问题重述 一 问题重述 目前 快递行业正蓬勃发展 为我们的生活带来更多方便 一般地 所有 快件到达某地后 先集中存放在总部 然后由业务员分别进行派送 对于快递 公司 为了保证快件能够在指定的时间内送达目的地 必须有足够的业务员进 行送货 但是 太多的业务员意味着更多的派送费用 假定所有快件在早上 7 点钟到达 早上 9 点钟开始派送 要求于当天 17 点 之前必须派送完毕 每个业务员每天平均工作时间不超过 6 小时 在每个送货 点停留的时间为 10 分钟 途中速度为 25km h 每次出发最多能带 25 千克的重 量 为了计算方便 我们将快件一律用重量来衡量 平均每天收到总重量为 184 5 千克 公司总部位于坐标原点处 如图 2 每个送货点的位置和快件重 量见下表 并且假设送货运行路线均为平行于坐标轴的折线 1 请你运用有关数学建模的知识 给该公司提供一个合理的送货策略 即需要多少业务员 每个业务员的运行线路 以及总的运行公里数 2 如果业务员携带快件时的速度是 20km h 获得酬金 3 元 km kg 而不 携带快件时的速度是 30km h 酬金 2 元 km 请为公司设计一个费用最省的策 略 3 如果可以延长业务员的工作时间到 8 小时 公司的送货策略将有何变 化 坐标 km 坐标 km 送货点 快件量 T kg xy 送货点 快件量 T kg xy 1832163 5216 28 215175 8618 3654187 51117 45 547197 81512 6308153 4199 54 5311216 2225 77 279226 8210 82 396232 4279 91 4102247 61519 106 5140259 61514 2 114 117326102017 1212 714627122113 135 8129286 02420 143 81012298 12516 204 6714304 22818 二 符号说明二 符号说明 符号符号描述 x yx y 两质点的横纵坐标 K Q 一次送货的最大负荷量 kg 其中1 2 kK i t 一个区域所用的时间 min 1 2 ii T T 总的所用的工作时间 min i k 一个区域经过的地方数1 2 ii L 送货点总数 i q 每个送货点的快件量 kg 1 2 iL ij d两质点之间的距离 ij d 0 j d 配送中心到送货点的运距 km D D 总的路程 km k n第名业务员配送的送货点数 表示未配送第名业务员k0 k n k k R 是一个集合 表示第条路线k ki r 表示送货点在路线中的顺序为 不包括配送中心 ki rki 表示配送中心 0 0 k r v 业务员每天送货的平均速度 v km min 25 60 ij b 送货点 与之间的快件密集度ij 3 F 快递公司一天的总费用 元 三 模型假设三 模型假设 1 假设以送货运行路线均为平行于坐标轴的折线而不是直线 类似计算也可 同样处理 2 运货途中快件没有任何损坏 并且业务员的运送过程也十分安全 没有堵 车 天气等问题 即送货过程非常顺利 3 每个业务员每天的工作时间不超过 6 小时 第三问 则不超过 8 小时 4 快件一律用重量单位千克来衡量 平均每天收到总重量为 184 5 千克的货 物 且对体积没有影响 5 各个业务员之间的快件运送过程是相互独立的 四 问题分析四 问题分析 1 问题一 三 针对问题一 三 使用相同的思路 即只要在分配人员的时间上做修改 1 对于时间和重量两个约束条件 我们优先考虑重量 2 纵观送货点的分布 将分布点按照矩形 弧形及树的理念三种方案 将重 量之和接近 25 千克的分布点联合起来 3 区域数 7 38 所以至少要有 8 个 的重量每次出发每人最多能带 每天收到的总重量 25 5184 区域 4 计算出分割好的区域内业务员完成一次任务的时间之和 最后将满足几个 区域的时间之和小于 6 小时 问题一 或者 8 小时 问题三 的区域的运送任 务分派给同一个业务员 5 对于假设一说明如下 折线距离 已知两点 A B 距离为横坐标之差的绝对值与 1 x 1 y 2 x 2 y 纵坐标之差的绝对值 即 d A B 为 AB 两点之间的距离 1 x 2 x 1 y 2 y 在很多点的情况下 两点间的直线距离也同时可以使用折线距离来表示 折线 4 距离最短也就是直线距离的最短 为了方便计算也使用折线距离来表示本题中 的直线距离 1 1 模型建立与求解 两质点的横纵坐标 各自的差的绝对值的和等价于两质点 ii x y jj x y 之间的距离 ij d 即两点间距离 ijijij dxxyy d 都是使用用 excel 得到的距离 即 a 矩阵 见附录 一个区域所用时间为 10 ii D tk v 所用总时间 10 30 ij d T v 方案一 根据各个送货点的分布 以矩形把整个区域分成 5 个区域 在区域或区域 周围找出送货质量和小于 25KG 且距离尽可能小的点的集合 为一个送货区域 由一位业务员负责送货 由此 画出的送货区域为下图 1 1 5 图 1 1 6 0 5 10 15 20 25 051015202530 然后连成折线距离的如下图 1 2 图 1 2 业务员的送货路线 送货区域 送货的路程及时间 通过 excel 可得 如下表 1 3 问题一业务员分配 送货线 路 行进次序路程 km 时间 min 6小时8小时 10 1 3 9 10 036126 4 20 2 4 6 16 5 046146 30 7 20 17 14 8 058191 6 40 12 13 15 23 076227 2 50 19 27 30 092250 8 60 25 24 18 068169 2 70 26 29 28 092246 80 22 21 11 054159 6 总计 5221516 8 5个4个 表 1 3 7 方案二 以原点为圆心画同心圆 以一个圆内或圆周周围的点为一片 找出送 货质量和小于 25KG 且距离尽可能小的点的集合 为一个送货区域 由一位 业务员负责送货 由此 画出的送货区域为下图 1 4 图 1 4 8 连成折线距离的图 1 5 如下 图 1 5 则业务员的送货路线 送货区域 送货的路程及时间 通过 excel 可得 如下表 1 6 问题一业务员分配 送货线 路 行进次序 路程 km 时间 min 6小时8小时 10 1 3 2 02078 20 6 5 4 7 8 9 034141 6 30 12 10 11 052154 8 40 16 17 20 14 13 060194 50 19 25 18 064183 6 60 27 21 22 070198 70 15 29 30 23 094265 6 80 24 26 28 092250 8 总计 4861466 4 5个4个 表 1 6 0 5 10 15 20 25 051015202530 9 方案三 计算赋权图中各对顶点之间最短路径 显然可以调用Floyd 算法 具体方法是 每次以不同的顶点作为起点 用Floyd 算法求出从该起点到其余顶点的最 短路径 反复执行n 1次这样的操作 就可得到从每一个顶点到其它顶点的最 短路径 这种算法的时间复杂度为O 第二种解决这一问题的方法是由 3 n Floyd R W 提出的算法 称之为Floyd 算法 假设图G 权的邻接矩阵为 o A 11 121 21222 0 12 n n nnnn a aa a aa A a aa 其中 i i j ij j vv aij vv 权值 当之间有边时 当之间无边时 0 1 2 ii ain 对于无向图 是对称矩阵 o A ijji aa Floyd 算法的基本思想是 递推产生一个矩阵序列其中矩 1 kn AAA 阵的第i行第j列元素表示从顶点到顶点 的路径上所经过的顶点序 k A k A i j i v j v 号不大于k 的最短路径长度 计算时用迭代公式 111 min kkkk Ai jAi jAi kAk j k 是迭代次数 1 2 i j kn 10 最后 当 k n 时 即是各顶点之间的最短通路值 n A 许多应用问题都是求最小生成树问题 就像此模型中需要求解最小费用问 题 该费用涉及到路程和载重量 所以如何设计优化的路程是相当重要的 因 此运用最小生成树中的 Floyd 算法以此算出路线 以找出所有点所形成的图中 找距离最小的最小树 并在最小数的基础上 向周围延伸 找出送货质量和小 于 25KG 且距离尽可能小的点的集合 为一个送货区域 由一位业务员负责送货 最小树是由 MATLAB 计算得到的 可以保证是最小树 通过 MATLAB 得出的最小树 b 矩阵 见附录 转换为图像连接在一起为转化成直 角坐标系中的最小树为如图 1 7 图 1 7 11 在此最小树的基础上划出的送货区域为如图 1 8 0 5 10 15 20 25 051015202530 图 1 8 则业务员的送货路线 送货区域 送货的路程及时间 通过 excel 可得 如 下表 1 9 问题一业务员分配 送货线路行进次序路程 km 时间 min 6小时8小时 10 1 3 4 8 034 121 6 20 2 6 5 7 038 131 2 30 10 22 21 11 9 054 179 6 40 12 13 14 052 154 8 50 20 18 17 16 058 179 2 60 19 25 24 068 193 2 70 26 28 30 23 096 270 4 80 15 27 29 082 226 8 总计 482 1456 85个4个 表 1 9 12 模型检验如表 1 10 业务员人数理论上最少人数 方案总路程总时间 6小时8小时6小时8小时 一 5221516 8 5人4人 4 213 3 16 二 4861466 4 5人4人 4 167 3 125 三 4821456 8 5人4人 4 013 3 01 表 1 10 通过用条形图进行各个方案进行比较得到如表 1 11 问题一中三种方案的时间路程比较 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 123 方案 一 二 三 方方 案案 一一 方方 案案 三三 方方 案案 二二 方方 案案 一一 方方 案案 三三 方方 案案 二二 表 1 11 实验结果的对比发现 用最小树理论解出来的比按几何方法划区域的解更 优 对比发现 当总路程最小时 往往会使总费用最小 最终的答案为 1 需要 5 个业务员 总的运行公里数为 482km 每个业务员的运行路线 为上文的方案四的运行路线 2 当业务员的工作时间延长到 8 小时时 依然是方案三为最优 业务员 的安排变化在上文的方案三中的安排 问题二问题二 当业务员到达第一个送货点后 即以该送货点为中心 计算周围送货点与 该送货点的快件密集度 快件密集度最大的作为首选下一个送货点 即 max iij db 到达第二个送信点后 即以该送货点为中心 计算周围送货点与 13 该送货点的快件密集度 快件密集度排名第二的作为首选第二个送货点 到达 第三个送货点后 即以该送货点为中心 计算周围送货点与该送货点的快件密 集度 快件密集度排名第三的作为首选第二个送货点 按此方法依次类推 直 到根据约束条件为每次携带的快件量不超过 25kg 找到最后一个送货点 若首 选送货点的快件量大于总快件量 25kg 则依次选择快件密集度又次之且满足 要求的送货点作为最后一个送货点 使总的快件量最大限度的接近 25kg 最后 一个送货点的选择以总的快件量为主导因子 以距离最短为次要因子 目标函数 1 0 11 min 32 k k ikiknk k n K irrrrk ki Fq ddsign n 约束条件 1 0 12 1 11 1 12 1 6 0 1 2 1 2 k ki k k ikiknk k n rK i n K rrrrkk ki k K k k kkikik kk qQ ddsign nn vtv nLs t nL RrrLin RRkk 问题一 三都是以路程作为划分的界限 而问题二就是考虑以费用为主 费用最主要的因素就是重量和路程 根据题意 每个送货点的送货的质量是已 知确定的 在确定送货路线的时候 需要考虑每个业务员每次的载重量不得超 过 25Kg 且每个业务员每天工作量少于 6 小时即满足上面论述中需要注意的一 些限制条件 要使得快递公司支出费用最少 则在安排业务员的路线的时候 需要尽可能使路线短 且载重量在离原点近的时候可以卸载快件 根据送货点的均匀度 将此区域大致分为三个小区域 记为外围 中围 内围 方便下面路线确定 如下方图 2 1 所示 14 图 2 1 首先把快件的重量按从大到小的顺序排列 将排序的前八个送货点记为重 货点 其次八个为中等点 其余的记为轻货点 显然每个送货点的信件量的大 小的分布是随机分布的 排列如下方表 2 2 所示 这对后面路线的确定非常重 要 序号送货点重量xy 序号送货点重量xy 1 1212 7146 1 135 8129 2 27122113 2 175 8618 3 26102017 3 45 547 4 259 61514 4 204 6714 5 28 215 5 54 5311 6 298 12516 6 304 22818 7 1832 7 114 1173 重 货 点 8 197 81512 8 143 81012 1 247 61519 9 163 5216 2 187 51117 10 153 4 199 3 77 279 11 6308 4 226 8210 12 232 4279 5 106 5140 13 82 396 6 216 2225 14 91 4102 7 3654 中 等 点 8 2862420 轻 货 点 0 5 10 15 20 25 051015202530 15 表 2 2 第一条路线 如表所示 送货点 12 的送货质量最大 以这个点为中心 寻找距离较近的 送货点 并且要满足前面叙述的约束条件 即每条路线上载重量不超过 25Kg 因为送货点 12 在中围里面 则尽可能再在内围寻找满足条件的送货点 此时符 合的点包括 8 1 11 10 这是最优化的问题 为了后面的路线 我们决定选 择 10 12 11 这条路线 快递公司12 14 6 11 17 3 10 14 0 出发线出发线 返回线返回线 第二条路线 排除上面已经确定的送货点外 送货点 27 的送货质量是最大的 以这个点 为中心 寻找距离较近的送货点 并且满足前面叙述的约束条件 因为送货点 27 在外围 则我们尽可能再在内围和中围寻找满足条件的送货点 最后优化比 较后 确定路线 7 14 27 快递公司7 7 9 14 10 1 2 27 21 13 出发线出发线 返回线返回线 第三条路线 排除上面已经确定的送货点外 送货点 26 的送货质量是最大的 以这个点 为中心 寻找距离较近的送货点 并且满足前面叙述的约束条件 由图可见 送货点 28 距离送货点 26 很近 而且这两点的信件量都是比较大的 我们将这 两点安排在一条路线上 因为这两个点都是在外围 则我们尽可能再在内围和 中围寻找满足条件的送货点 最后优化比较后 确定路线 1 26 28 16 快递公司1 3 2 26 20 1 7 4 28 24 20 出发线出发线 返回线返回线 第四条路线 排除上面已经确定的送货点外 送货点 25 的送货质量是最大的 以这个点 为中心 寻找距离较近的送货点 并且满足前面叙述的约束条件 由图可见 送货点 19 距离送货点 25 很近 而且这两点的信件量都是比较大的 我们将这 两点安排在一条路线上 因为这两个点都是在中围 则我们尽可能再在内围和 外围寻找满足条件的送货点 最后优化比较后 确定路线 13 19 25 快递公司13 12 9 19 15 1 2 25 15 1 4 出发线出发线 返回线返回线 第五条路线 排除上面已经确定的送货点外 送货点 2 的送货质量是最大的 以这个点 为中心 寻找距离较近的送货点 并且满足前面叙述的约束条件 因为送货点 2 在内围 则我们尽可能再在中围和外围寻找满足条件的送货点 最后优化比 较后 我们确定路线 2 5 16 17 快递公司2 1 5 5 3 1 1 16 2 16 17 6 18 出发线出发线 返回线返回线 17 第六条路线 排除上面已经确定的送货点外 送货点 29 的送货质量是最大的 以这个点 为中心 寻找距离较近的送货点 并且满足前面叙述的约束条件 因为送货点 29 在外围 如图送货点 30 也在送货点 29 附近 而且送货点 30 距离原点 公 司总部 最远 则将这两个点放在一条路线上 然后我们尽可能再在内围和中 围寻找满足条件的送货点 最后优化比较后 确定路线 22 15 29 30 快递公司22 21 0 15 19 9 29 25 1 6 30 28 1 8 出发线出发线 返回线返回线 第七条路线 排除上面已经确定的送货点外 送货点 24 的送货质量是最大的 以这个点 为中心 寻找距离较近的送货点 并且满足前面叙述的约束条件 如图 送货 点 6 20 18 24 大致在一条射线上 这样可以节省很多不必要的路程 则可 以达到节约费用的效果 最后优化比较后 确定路线 6 20 18 24 快递公司6 0 8 20 7 14 18 11 17 24 15 1 9 出发线出发线 返回线返回线 第八条路线 排除上面已经确定的送货点外 只剩下六个送货点 其中送货点 21 的送货 质量是最大的 并且这六个点满足前面叙述的约束条件 那么将这六个点按照 一定的顺序排列 最后优化比较后 确定路线 4 3 8 9 21 23 18 转换为图像连接在一起为转化成直角坐标系中的走向图形为图 2 3 0 5 10 15 20 25 051015202530 图 2 3 快递 公司 4 4 7 3 5 4 9 10 2 21 22 5 出发线出发线 返回线返回线 23 27 9 8 9 6 19 由此 画出的送货区域的折线距离图 2 4 0 5 10 15 20 25 051015202530 图 2 4 通过 C 语言编程以及 excel 的计算得到表 2 5 走的路线重量费用路程时间 10 1 26 28 024211088250 20 2 5 16 17 022104750166 30 4 3 8 9 21 23 023 81900 286282 40 6 20 18 24 022 7183568210 50 7 14 27 0231888 468200 60 13 19 25 023 21890 458175 70 12 11 10 023 31394 846192 80 22 15 29 30 022 52570 396282 合计 184 514636 15601757 表 2 5 得到每条路线的费用分别为 2110 元 1047 元 1900 2 元 1835 元 1888 4 元 1890 4 元 1394 8 元 2570 3 元 快递公司应支付给所有业务员的总费用为 14636 1 元 20 五 五 模型评价和改进模型评价和改进 1 模型的优点 1 本模型能够直观地看出各种策略的优缺点 便于决策 2 通过各种策略的横向比较 能直观地选出最优解 而且模型简单易懂 便于理解 3 模型系统的给出了业务员的运输方案 便于指导工作实践 2 模型的缺点 在最小树方案中 由于时间有限 没能穷举各种安排线路 相信还会有更 优的方案 方案三的 6 小时业务员的理论人数为 4 013 8 小时的理论人数为 3 01 可以通过优化使得人数控制在 4 人和 3 人 而且 各个业务员的工作时 间安排不甚合理 这需要进一步改进 参考文献参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊编 数学模型 3 版 北京 高等教育出版社 2003 8 2 周品 赵新芬编 MATLAB 数学建模与仿真 国防工业出版社 2009 4 3 基于matlab 动态规划中最短路线的实现程序 J 电脑学习 施益昌郑贤斌李自立 4 物流配送问题的混沌优化算法研究中央民族大学学报 自然科学版 2009年11月第18卷第4期 5 Dijkstra 算法在企业物流运输网络中的应用湖南农业大学学报 自然科学版 2005 年 8 月第 29 卷 4 期 21 附录 问题一 a 的值是使用 excel 计算得出 他们各个点相互的距离为 问题一 问题一 MATLABMATLAB 程序如下 程序如下 a 0 5 6 9 11 8 14 16 15 12 14 20 20 21 22 21 18 24 28 27 28 27 21 36 34 29 37 34 44 41 46 5 0 5 4 6 9 9 11 10 7 13 15 15 16 17 16 15 19 23 22 23 22 20 31 29 24 32 29 39 36 41 6 5 0 5 5 4 8 10 9 12 18 18 14 15 16 15 12 18 22 21 22 21 25 30 28 23 31 28 38 35 40 9 4 5 0 4 9 9 7 6 7 13 13 11 12 13 12 15 15 19 18 19 18 2 0 27 25 20 28 25 35 32 37 11 6 5 4 0 5 5 5 6 11 17 17 11 10 11 10 11 13 17 16 1 7 20 24 25 23 18 26 23 33 30 35 8 9 4 9 5 0 6 8 11 16 22 22 16 13 14 13 10 16 2 0 19 20 25 29 28 26 21 29 26 36 33 38 14 9 8 9 5 6 0 6 11 16 22 22 16 11 8 7 6 10 14 13 18 25 29 26 20 15 23 20 30 27 32 16 11 10 7 5 8 6 0 5 10 16 16 10 5 6 5 12 10 12 11 12 19 23 20 18 13 21 18 28 25 30 15 10 9 6 6 11 11 5 0 5 11 11 5 6 7 10 17 15 13 12 13 14 18 21 19 14 22 19 29 26 31 12 7 12 7 11 16 16 10 5 0 6 8 8 9 10 15 22 20 16 15 16 15 13 24 22 17 25 22 32 29 34 14 13 18 13 17 22 22 16 1 1 6 0 6 6 11 16 21 28 26 20 13 14 13 7 22 20 15 23 20 30 27 32 20 15 18 13 17 2 2 22 16 11 8 6 0 6 11 16 21 28 26 20 11 8 7 7 16 18 13 17 14 24 21 26 20 15 14 11 11 16 16 10 5 8 6 6 0 5 10 15 22 20 14 7 8 9 13 16 14 9 17 14 24 21 26 21 16 1 22 5 12 10 13 11 5 6 9 11 11 5 0 5 10 17 15 9 6 7 14 18 15 13 8 16 13 23 20 25 22 17 16 13 11 14 8 6 7 10 16 16 10 5 0 5 12 10 6 5 12 19 23 20 12 7 15 12 22 19 2 4 21 16 15 12 10 13 7 5 10 15 21 21 15 10 5 0 7 5 7 10 17 24 28 25 13 8 16 15 2 3 20 25 18 15 12 15 11 10 6 12 17 22 28 28 22 17 12 7 0 6 10 17 24 31 35 32 16 15 19 22 26 23 28 24 19 18 15 13 16 10 10 15 20 26 26 20 15 10 5 6 0 6 15 22 29 3 3 30 10 13 15 20 20 21 22 28 23 22 19 17 20 14 12 13 16 20 20 14 9 6 7 10 6 0 9 1 6 23 27 24 6 7 9 14 16 15 18 27 22 21 18 16 19 13 11 12 15 13 11 7 6 5 10 17 15 9 0 7 14 18 15 7 2 10 7 17 14 19 28 23 22 19 17 20 18 12 13 16 14 8 8 7 12 17 24 2 2 16 7 0 7 11 8 14 9 9 6 16 13 18 27 22 21 18 20 25 25 19 14 15 13 7 9 14 19 24 3 1 29 23 14 7 0 6 9 21 16 14 9 17 14 19 21 20 25 20 24 29 29 23 18 13 7 7 13 18 23 28 35 33 27 18 11 6 0 15 25 20 18 13 23 20 25 36 31 30 27 25 28 26 20 21 24 22 16 16 15 20 25 32 30 24 15 8 9 15 0 22 17 15 10 14 9 10 34 29 28 25 23 26 20 1 8 19 22 20 18 14 13 12 13 16 10 6 7 14 21 25 22 0 5 7 12 10 13 14 29 24 23 20 1 8 21 15 13 14 17 15 13 9 8 7 8 15 13 7 2 9 16 20 17 5 0 8 7 15 12 17 37 32 31 2 8 26 29 23 21 22 25 23 17 17 16 15 16 19 15 9 10 9 14 18 15 7 8 0 5 7 6 9 34 29 2 8 25 23 26 20 18 19 22 20 14 14 13 12 15 22 20 14 7 6 9 13 10 12 7 5 0 10 7 12 44 39 38 35 33 36 30 28 29 32 30 24 24 23 22 23 26 20 16 17 16 17 23 14 10 15 7 1 0 0 5 6 41 36 35 32 30 33 27 25 26 29 27 21 21 20 19 20 23 21 15 14 13 14 20 9 13 12 6 7 5 0 5 46 41 40 37 35 38 32 30 31 34 32 26 26 25 24 25 28 22 18 19 18 19 25 10 14 17 9 12 6 5 0 function b u w mintrees a k 最小生成树 a 邻接矩阵 k 起点 if nargout 1 k 1 end m n size a for i 1 m for j 1 n if a i j 0 a i j inf end end end b zeros n u 1 k j 1 v zeros 1 n v k 1 for o 1 n 1 sn ones 3 n inf for xk 1 j k u xk p max a k for i 1 n 23 if v i 1 end end for i 1 n if v i 1 end end sn 1 2 3 k i p u xk end w j k min sn 2 j j 1 u j sn 1 k b sn 1 k sn 3 k sn 2 k v u j 1 end b mintrees a b Columns 1 through 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0