山东省青岛市20072008学年度高三数学第一次

左视图 主视图 俯视图 10 8 12 第 7 题 4 8 山东省青岛市山东省青岛市 2007 2008 学年度高三数学第一次质量检测试题学年度高三数学第一次质量检测试题 第 部分 满分 160 分 答卷时间 120 分钟 一 填空题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 把答案填写在答题纸相应位置上 1 复数 z m 1 i m2 1 是纯虚数 则实数 m 的值是 2 化简 ABDFCDBC 3 设则 f f 2 的值是 211 1 xx f x x x 1 4 若数列 an 的通项公式 an 记 试通过计算 的值 推 2 1 1 n 12 2 1 1 1 n f naaa 1 f 2 f 3 f 测出 f n 5 函数 y cosx 的图象在点 处的切 3 1 2 线方程是 6 已知 均为锐角 且 2 1 sinsin 则 1 coscos 3 cos 7 已知某个几何体的三视图如下 主视图的弧线 是半圆 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 cm3 8 某海域上有 A B C 三个小岛 已知 A B 之间相距 8 n mile A C 之间相距 5 n mile 在 A 岛测得 BAC 为 60 则 B 岛与 C 岛相 距 n mile 9 某班级共有学生 54 人 现根据学生的学号 用系统抽样的方法 抽取一个容量为 4 的样本 已知 3 号 29 号 42 号同学在样本中 那么样本中还有一个同学的学号是 10 若经过点 P 1 0 的直线与圆相切 则这条直线在 y 轴上的截距是 22 4230 xyxy 二 选择题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 11 集合 A x x 2 B x x2 5x 6 0 则 A B A 2 6 B 2 1 C 1 2 D 2 3 12 直线 l1 l2的一个充分条件是 A l1 l2都平行于同一个平面B l1 l2与同一个平面所成的角相等 C l1平行于 l2所在的平面D l1 l2都垂直于同一个平面 13 下列各函数中 最小值为 2 的函数是 A B 1 yx x 1 sin sin yx x 0 2 x C D 2 2 3 2 x y x 4 2 x x ye e 14 依据下列算法的伪代码 x 2 i 1 s 0 While i 4 s s x 1 i i 1 End While Print s 运行后输出的结果是 A 3 B 7C 15D 17 三 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 14 分 一颗正方体骰子 其六个面上的点数分别是 1 2 3 4 5 6 1 将这颗骰子先后抛掷 2 次 观察向上的点数 问两数之和是 3 的倍数的概率是多少 2 将这颗骰子先后抛掷 3 次 观察向上的点数 问三数之和为 16 的概率是多少 16 本题满分 14 分 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面三角形的 各边长都等于 a 点 D 为 BC 的中点 求证 1 平面 AC1D 平面 BCC1B1 2 A1B 平面 AC1D 17 本题满分 15 分 已知向量 a 3sin cos b 2sin 5sin 4cos 且 a b 3 2 2 1 求 tan 的值 2 求 cos 的值 23 18 本题满分 15 分 已知双曲线过点 3 2 且与椭圆有相同的焦点 22 4936xy 1 求双曲线的标准方程 2 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程 第 16 题 A BC A1 B1C1 D 19 本题满分 16 分 已知各项均为正数的等差数列 an 其前 n 项和 Sn满足 10Sn an2 5an 6 等比数列 bn 满足 b1 a1 b2 a3 b3 a15 数列 cn 满足 cn anbn 1 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 20 本题满分 16 分 已知函数 32 25f xxaxx 1 若函数在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 求实数 a 的值 f x 2 3 2 是否存在正整数 a 使得在 上既不是单调递增函数也不是单调递减函数 若存在 试求出 a 的f x 1 3 1 2 值 若不存在 请说明理由 第 部分 满分 40 分 答卷时间 30 分钟 一 填空题 本大题共 6 小题 其中第 3 题 第 6 题为选做题 只要在这四题中任选两题作答 如果多做 则按所做题 的前两题记分 每小题 5 分 共 20 分 把答案填写在答题纸相应位置上 1 计算 4 2 1 dx x 2 若 的分布列为 01 Pmn 其中 m 0 1 则 E 3 选修 4 1 几何证明选讲 过 O 外一点 P 作 O 的两条切线 PA PB 切点为 A B 若 AB 8cm AB 的弦心 距为 3cm 则 PA cm 4 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵的属于特征值 1 的一个特征向量是 10 01 5 选修 4 4 坐标系与参数方程 若曲线的极坐标方程为 则这条曲线化为直角坐标方程 2 22 400 16cos25sin 为 6 选修 4 5 不等式选讲 设 a b c 给出下列四个不等式 a b c a b c a c b a c b 其中成立的不等式是 二 解答题 本大题共 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 解答下列各题必须写出必要的步骤 7 在某市的一次调研测试中 8 道填空题中有 4 道必做题和 4 道选做题 某考生按规定做 4 道必做题和 2 道选做题 1 该考生有多少种选题方案 2 若该考生必做题不放在最后做 他可以选择多少种不同的答题顺序 A O E C B 第 8 题 O A BC A1 B1C1 第 16 题 D 8 如图 已知三棱锥 O ABC 的侧棱 OA OB OC 两两垂直 且 OA 1 OB OC 2 E 是 OC 的中点 1 求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值 2 求二面角 A BE C 的余弦值 参考答案 第 I 部分 满分 160 分 答卷时间 120 分钟 一 填空题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 把答案填写在答题纸相应位置上 1 1 2 3 0 4 5 0 6 AF 2 1 n n 313 226 yx 59 72 7 640 80 8 7 9 16 10 1 二 选择题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 11 C 12 D 13 D 14 C 三 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 14 分 一颗正方体骰子 其六个面上的点数分别是 1 2 3 4 5 6 1 将这颗骰子先后抛掷 2 次 观察向上的点数 问两数之和是 3 的倍数的概率是多少 2 将这颗骰子先后抛掷 3 次 观察向上的点数 问三数之和为 16 的概率是多少 解 1 P A 25411 663 7 分 2 P B 331 66636 答 两数之和是 3 的倍数的概率是 三数之和为 16 1 3 的概率是 14 分 1 36 16 本题满分 14 分 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面三角形 的各边长都等于 a 点 D 为 BC 的中点 求证 1 平面 AC1D 平面 BCC1B1 2 A1B 平面 AC1D 证明 1 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱 BB1 平面 ABC 又 BB1平面 BCC1B1 侧面 BCC1B1 平面 ABC 在正三角形 ABC 中 D 为 BC 的中点 AD BC 由面面垂直的性质定理 得 AD 平面 BCC1B1 又 AD平面 AC1D 平面 AC1D 平面 BCC1B1 7 分 2 连 A1C 交 AC1于点 O 四边形 ACC1A1是平行四边形 O 是 A1C 的中点 又 D 是 BC 的中点 连 OD 由三角形 中位线定理 得 A1B1 OD OD平面 AC1D A1B平面 AC1D A1B 平面 AC1D 14 分 17 本题满分 15 分 已知向量 a 3sin cos b 2sin 5sin 4cos 且 a b 3 2 2 1 求 tan 的值 2 求 cos 的值 23 解 1 a b a b 0 而 a 3sin cos b 2sin 5sin 4cos 故 a b 6sin2 5sin cos 4cos2 0 2 分 由于 cos 0 6tan2 5tan 4 0 解之 得 tan 或 tan 6 分 4 3 1 2 tan 0 故 tan 舍去 tan 7 分 3 2 2 1 2 4 3 2 3 2 2 3 24 由 tan 求得 2 舍去 4 3 1 tan 22 tan 2 12 分 52 5 sincos 2525 cos 23 coscossinsin 2323 15 分 2 5153 5252 2 515 10 18 本题满分 15 分 已知双曲线过点 3 2 且与椭圆有相同的焦点 22 4936xy 1 求双曲线的标准方程 2 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程 解 1 由题意 椭圆的焦点为 2 分 22 4936xy 5 0 即 c 设所求双曲线的方程为 4 分5 22 22 1 5 xy aa 双曲线过点 3 2 22 94 1 5aa 或 舍去 7 分 2 3a 2 15a 所求双曲线的方程为 8 分 22 1 32 xy 2 由 1 可知双曲线的右准线为 3 5 x 设所求抛物线的标准方程为 则 12 分 2 20ypx p 6 5 p 所求抛物线的标准方程为 15 分 2 12 5 5 yx 19 本题满分 16 分 已知各项均为正数的等差数列 an 其前 n 项和 Sn满足 10Sn an2 5an 6 等比数列 bn 满足 b1 a1 b2 a3 b3 a15 数列 cn 满足 cn anbn 1 求数列 bn 的通项公式 2 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 解 1 10Sn an2 5an 6 10a1 a12 5a1 6 解之 得 a1 2 或 a1 3 2 分 又 10Sn 1 an 12 5an 1 6 n 2 由 得 10an an2 an 12 6 an an 1 即 an an 1 an an 1 5 0 an an 1 0 an an 1 5 n 2 5 分 当 a1 3 时 a3 13 a15 73 a1 a3 a15不成等比数列 a1 3 当 a1 2 时 a3 12 a15 72 有 a32 a1a15 7 分 数列 bn 是以 6 为公比 2 为首项的等比数列 bn 2 6n 1 9 分 2 由 1 知 an 5n 3 cn 2 5n 3 6n 1 Tn 2 2 7 6 12 62 5n 3 6n 1 11 分 6 Tn 2 2 6 7 62 12 63 5n 3 6n 5 Tn 2 5 6 5 62 5 6n 1 4 2 5n 3 6n 13 分 4 2 5n 3 6n 8 10n 6n 8 1 106 16 16 n Tn 16 分 8 810 6 55 n n 20 本题满分 16 分 已知函数 32 25f xxaxx 1 若函数在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 求实数 a 的值 f x 2 3 2 是否存在正整数 a 使得在 上既不是单调递增函数也不是单调递减函数 若存在 试求出 a 的f x 1 3 1 2 值 若不存在 请说明理由 解 1 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 32 25f xxaxx 2 3 f x 3x2 2ax 2 2 分 f 1 0 a 6 分 1 2 2 令 f x 3x2 2ax 2 0 4a2 24 0 方程有两个实根 8 分分别记为 x1 x2 由于 x1 x2 说明 x1 x2一正一负 2 3 即在 1 内方程 f x 0 不可能有两个解 10 分 2 3 故要使得在 上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是f x 1 3 1 2 f f 0 即 a 2 a 2 0 13 分 1 3 1 2 1 3 2 3 3 4 解得 15 分 55 42 a a 是正整数 a 2 16 分 第 部分 满分 40 分 答卷时间 30 分钟 1 ln2 2 n 3 4 5 6 20 3 0 1 22 1 2516 xy 二 解答题 本大题共 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 解答下列各题必须写出必要的步骤 7 在某市的一次调研测试中 8 道填空题中有 4 道必做题和 4 道选做题 某考生按规定做 4 道必做题和 2 道选做题 1 该考生有多少种选题方案 2 若该考生必做题不放在最后做 他可以选择多少种不同的答题顺序 解 1 6 种 5 分 2 4 C 2 解法一 第一步选择 2 道选做题 有 6 种方法 2 4 C 第二步 先确定最后解答的一题 有 2 种方法 1 2 C 第三步 确定其它各题的解答顺序 有 120 种方法 5 5 A 综上所述 该同学共有 6 2 120 1440 种选择 答 1 该考生有 6 种选题方案 2 他可以选择 1440 种不同的答题顺序 10 分 解