超几何分布与二项分布

超几何分布与二项分布超几何分布与二项分布 一 选择题 共一 选择题 共 9 9 小题 小题 1 2004 辽宁 已知随机变量 的概率分布如下 则 P 10 12345678910 Pm A B C D 2 2011 黄冈模拟 随机变量 的概率分布规律为 n 1 2 3 4 其中 a 是常数 则的值为 A B C D 3 2008 石景山区一模 已知随机变量 的分布列为且设 2 1 则 的期望值是 A 1B C D 4 设随机变量 X 的概率分布为 P X k k 1 2 3 4 5 则 A B C D 5 电子手表厂生产某批电子手表正品率为 次品率为 现对该批电子手表进行测试 设第 X 次首次测到正品 则 P 1 X 2013 等于 A B C D 6 2010 江西 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币 国王怀疑大臣作弊 他用两种方 法来检测 方法一 在 10 箱中各任意抽查一枚 方法二 在 5 箱中各任意抽查两枚 国王用方法一 二能发现至 少一枚劣币的概率分别记为 P1和 P2 则 A P1 P2B P1 P2 C P1 P2D 以上三种情况都有可能 7 2011 潍坊二模 设 X 为随机变量 X B 若随机变量 X 的数学期望 EX 2 则 P X 2 等于 精品文档 2欢迎下载 A B C D 8 2012 衡阳模拟 已知随机变量 N 0 a2 且 p 1 p a 3 的值为 A 2B 2 C 0D 1 9 设随机变量 N 0 1 若 P 1 p 则 P 1 0 A 1 p B pC p D P 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 小题 10 2010 上海模拟 在 10 件产品中有 2 件次品 任意抽取 3 件 则抽到次品个数的数学期望的值是 11 有一批产品 其中有 6 件正品和 4 件次品 从中任取 3 件 至少有 2 件次品的概率为 12 2010 枣庄模拟 设随机变量 X B n 0 5 且 DX 2 则事件 X 1 的概率为 作数字作 答 13 若随机变量 X 服从二项分布 且 X B 10 0 8 则 EX DX 分别是 14 2011 浙江 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲 公司面试的概率为 得到乙 丙公司面试的概率均为 P 且三个公司是否让其面试是相互独立的 记 X 为该毕业 生得到面试的公司个数 若 P X 0 则随机变量 X 的数学期望 E X 三 解答题 共三 解答题 共 3 3 小题 小题 15 2009 朝阳区二模 在袋子中装有 10 个大小相同的小球 其中黑球有 3 个 白球有 n 2 n 5 且 n 3 个 其余的球为红球 若 n 5 从袋中任取 1 个球 记下颜色后放回 连续取三次 求三次取出的球中恰有 2 个红球的概率 从袋里任意取出 2 个球 如果这两个球的颜色相同的概率是 求红球的个数 在 的条件下 从袋里任意取出 2 个球 若取出 1 个白球记 1 分 取出 1 个黑球记 2 分 取出 1 个红 球记 3 分 用 表示取出的 2 个球所得分数的和 写出 的分布列 并求 的数学期望 E 精品文档 3欢迎下载 16 某批产品共 10 件 已知从该批产品中任取 1 件 则取到的是次品的概率为 P 0 2 若从该批产品中任意抽取 3 件 1 求取出的 3 件产品中恰好有一件次品的概率 2 求取出的 3 件产品中次品的件数 X 的概率分布列与期望 17 2006 崇文区一模 某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛 但乙队明显处于弱势 乙队为争取胜利 决定采 取这样的战术 顽强防守 0 0 逼平甲队进入点球大战 假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为 现 规定 点球大战中每队各出 5 名队员 且每名队员都各踢一球 求 I 乙队以 4 3 点球取胜的概率有多大 II 设点球中乙队得分为随机变量 求乙队在五个点球中得分 的概率分布和数学期望 精品文档 4欢迎下载 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 9 9 小题 小题 1 2004 辽宁 已知随机变量 的概率分布如下 则 P 10 12345678910 Pm A B C D 考点 离散型随机变量及其分布列 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 由题意知 本题需要先计算出其它的概率之和 根据表格可以看出 9 个变量对应的概率组成一个首项是 公比是 的等比数列 根据等比数列的求和公式 得到答案 解答 解 由题意知 本题需要先计算出其它的概率之和 根据表格可以看出 9 个变量对应的概率组成一个首项是 公比是 的等比数列 S 1 S m 1 m 故选 C 点评 本题考查离散型随机变量的分布列的性质 在一个试验中所有的变量的概率之和是 1 本题又考查等比数 列的和 是一个综合题 2 2011 黄冈模拟 随机变量 的概率分布规律为 n 1 2 3 4 其中 a 是常数 则的值为 A B C D 考点 离散型随机变量及其分布列 互斥事件的概率加法公式 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 估计所给的随机变量的分布列的特点 利用无穷等比递缩数列的各项之和写出所有的变量的概率之和 使 它等于 1 求出 a 的值 利用互斥事件的概率公式写出结果 解答 解 随机变量 的概率分布规律为 n 1 2 3 4 精品文档 5欢迎下载 a 1 a P 1 P 2 故选 C 点评 本题考查离散型随机变量的分布列的性质 是一个综合题目 在解题时一定要注意所有的变量的概率之和 的求法 注意应用分布列的性质 3 2008 石景山区一模 已知随机变量 的分布列为且设 2 1 则 的期望值是 A 1B C D 考点 离散型随机变量及其分布列 菁优网版权所有 分析 由题目中所给的变量的分布列得到变量 的期望 根据 2 1 关系 得到两个变量的关系 代入 的期 望 求出结果 解答 解 由表格得到 E 1 1 E E 2 1 2E 1 2 1 故选 C 点评 本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系 本题也可以这样来解 根据两个变量之间的关系 写出 的分布列 再由分布列求出期望 4 设随机变量 X 的概率分布为 P X k k 1 2 3 4 5 则 A B C D 考点 离散型随机变量及其分布列 菁优网版权所有 专题 概率与统计 分析 由题意可得 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 P X 5 1 求出 m 的值 再根据 P X 2 P X 3 进而求出答案 解答 解 因为所有事件发生的概率之和为 1 即 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 P X 5 1 所以 m 1 即 m 1 1 所以 m 精品文档 6欢迎下载 所以 P X k k 1 2 3 4 5 则 P X 2 P X 3 故选 A 点评 解决此类问题的关键是掌握所有事件发生的概率之和为 1 进而求出随机变量的分布列即可得到答案 5 电子手表厂生产某批电子手表正品率为 次品率为 现对该批电子手表进行测试 设第 X 次首次测到正品 则 P 1 X 2013 等于 A B C D 考点 超几何分布 菁优网版权所有 专题 概率与统计 分析 先求出 P X 0 即第 0 次首次测到正品 即全是次品的概率 从而可得结论 解答 解 由题意 P X 0 P 1 X 2013 1 P X 0 故选 B 点评 本题考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率 考查学生的计算能力 属于中档题 6 2010 江西 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币 国王怀疑大臣作弊 他用两种方 法来检测 方法一 在 10 箱中各任意抽查一枚 方法二 在 5 箱中各任意抽查两枚 国王用方法一 二能发现至 少一枚劣币的概率分别记为 P1和 P2 则 A P1 P2B P1 P2 C P1 P2D 以上三种情况都有可能 考点 二项分布与 n 次独立重复试验的模型 等可能事件的概率 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 每箱中抽到劣币的可能性都相等 故可用独立重复试验求解 又因为事件 发现至少一枚劣币 的对立事件 是 没有劣币 概率好求 方法一概率为 1 0 9910 方法二概率为 1 5 做差比较大小即可 解答 解 方案一 此方案下 每箱中的劣币被选中的概率为 没有发现劣币的概率是 0 99 故至少发现一 枚劣币的总概率为 1 0 9910 方案二 此方案下 每箱的劣币被选中的概率为 总事件的概率为 1 5 作差得 P1 P2 5 0 9910 由计算器算得 P1 P2 0 P1 P2 故选 B 点评 本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题 以及利用概率知识解决问题的能力 精品文档 7欢迎下载 7 2011 潍坊二模 设 X 为随机变量 X B 若随机变量 X 的数学期望 EX 2 则 P X 2 等于 A B C D 考点 二项分布与 n 次独立重复试验的模型 菁优网版权所有 专题 概率与统计 分析 根据 X 为随机变量 X B和求服从二项分布的变量的期望值公式 代入公式得到 n 的值 再根 据二项分布概率公式得到结果 解答 解 随机变量 X 为随机变量 X B 其期望 EX np 2 n 6 P X 2 故选 D 点评 本题主要考查分布列和期望的简单应用 通过解方程组得到要求的变量 这与求变量的期望是一个相反的 过程 但是两者都要用到期望和方差的公式 8 2012 衡阳模拟 已知随机变量 N 0 a2 且 p 1 p a 3 的值为 A 2B 2 C 0D 1 考点 二项分布与 n 次独立重复试验的模型 菁优网版权所有 专题 计算题 概率与统计 分析 利用正态曲线的对称性 可得曲线的对称轴是直线 x 0 由此可得结论 解答 解 由题意 N 0 a2 曲线的对称轴是直线 x 0 p 1 p a 3 a 3 1 0 a 2 故选 A 点评 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 主要考查正态曲线的对称性 是一个基础题 9 设随机变量 N 0 1 若 P 1 p 则 P 1 0 A 1 p B pC p D P 考点 二项分布与 n 次独立重复试验的模型 菁优网版权所有 专题 概率与统计 分析 随机变量 服从标准正态分布 N 0 1 知正态曲线关于 x 0 对称 根据 P 1 p 得到 P 1 0 p 再根据对称性写出要求概率 精品文档 8欢迎下载 解答 解 随机变量 服从标准正态分布 N 0 1 正态曲线关于 x 0 对称 P 1 p P 1 0 p P 1 0 p 故选 D 点评 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 本题的主要依据是曲线的对称性 这种问题可以出现 在选择或填空中 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 小题 10 2010 上海模拟 在 10 件产品中有 2 件次品 任意抽取 3 件 则抽到次品个数的数学期望的值是 考点 超几何分布 离散型随机变量的期望与方差 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 设抽到次品个数为 则 H 3 2 10 利用公式 E 即可求得抽到次品个数的数学期望的值 解答 解 设抽到次品个数为 则 H 3 2 10 E 故答案为 点评 本题考查离散型随机变量的数学期望 解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布 从而利用相应的 期望公式求解 11 有一批产品 其中有 6 件正品和 4 件次品 从中任取 3 件 至少有 2 件次品的概率为 考点 超几何分布 菁优网版权所有 专题 概率与统计 分析 从 10 件产品任取 3 件的取法共有 其中所取的三件中 至少有 2 件次品 包括 2 件次品 3 件次品 取 法分别为 利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出 解答 解 从 10 件产品任取 3 件的取法共有 其中所取的三件中 至少有 2 件次品 包括 2 件次品 3 件次品 取法分别为 因此所求的概率 P 故答案为 点评 本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式 属于基础题 12 2010 枣庄模拟 设随机变量 X B n 0 5 且 DX 2 则事件 X 1 的概率为 作数字作答 精品文档 9欢迎下载 考点 二项分布与 n 次独立重复试验的模型 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 由随机变量 X B n 0 5 且 DX 2 知 n 0 5 1 0 5 2 解得 n 8 再由二项分布公式能够导出事件 X 1 的概率 解答 解 随机变量 X B n 0 5 且 DX 2 n 0 5 1 0 5 2 n 8 p x 1 故答案为 点评 本题考查二项分布的性质和应用 解题时要注意二项分布方差公式 D np 1 p 的灵活运用 13 若随机变量 X 服从二项分布 且 X B 10 0 8 则 EX DX 分别是 8 1 6 考点 二项分布与 n 次独立重复试验的模型 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 根据随机变量符合二项分布 根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值 得到关 于 n 和 p 的方程组 解方程组得到要求的两个未知量 做出概率 解答 解 X 服从二项分布 X B n10 0 8 由 E 10 0 8 8 D 1 np 1 p 10 0 8 0 2 1 6 故答案为 8 1 6 点评 本题主要考查分布列和期望的简单应用 通过解方程组得到要求的变量 这与求变量的期望是一个相反的 过程 但是两者都要用到期望和方差的公式 14 2011 浙江 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲 公司面试的概率为 得到乙 丙公司面试的概率均为 P 且三个公司是否让其面试是相互独立的 记 X 为该毕业 生得到面试的公司个数 若 P X 0 则随机变量 X 的数学期望 E X 考点 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率 做出得到乙 丙公司面试的概率 根据题意得到 X 的可能取 值 结合变量对应的事件写出概率和做出期望 解答 解 由题意知 X 为该毕业生得到面试的公司个数 则 X 的可能取值是 0 1 2 3 P X 0 p 精品文档 10欢迎下载 P X 1 P X 2 P X 3 1 E X 故答案为 点评 本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望 考查生活中常见的一种题目背景 是一个基 础题目 三 解答题 共三 解答题 共 3 3 小题 小题 15 2009 朝阳区二模 在袋子中装有 10 个大小相同的小球 其中黑球有 3 个 白球有 n 2 n 5 且 n 3 个 其余的球为红球 若 n 5 从袋中任取 1 个球 记下颜色后放回 连续取三次 求三次取出的球中恰有 2 个红球的概率 从袋里任意取出 2 个球 如果这两个球的颜色相同的概率是 求红球的个数 在 的条件下 从袋里任意取出 2 个球 若取出 1 个白球记 1 分 取出 1 个黑球记 2 分 取出 1 个红 球记 3 分 用 表示取出的 2 个球所得分数的和 写出 的分布列 并求 的数学期望 E 考点 超几何分布 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 离散型随机变量的期望与方差 菁优网版权所有 专题 综合题 分析 先求出从袋中任取 1 个球是红球的概率 再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有 2 个红球 的概率 根据从袋中一次任取 2 个球 如果这 2 个球颜色相同的概率是 建立等式关系 求出 n 的值 从 而求出红球的个数 的取值为 2 3 4 5 6 然后分别求出对应的概率 列出分布列 最后根据数学期望的公式解 之即可 解答 解 设 从袋中任取 1 个球是红球 为事件 A 则 所以 答 三次取球中恰有 2 个红球的概率为 4 分 设 从袋里任意取出 2 个球 球的颜色相同 为事件 B 则 整理得 n2 7n 12 0 解得 n 3 舍 或 n 4 所以 红球的个数为 3 个 8 分 的取值为 2 3 4 5 6 且 精品文档 11欢迎下载 所以 的分布列为 23456 P 所以 13 分 点评 本题以摸球为素材 主要考查相互独立事件的概率的求法 考查了离散型随机变量的期望与分布列 解题 的关键是正确利用公式求概率 16 某批产品共 10 件 已知从该批产品中任取 1 件 则取到的是次品的概率为 P 0 2 若从该批产品中任意抽取 3 件 1 求取出的 3 件产品中恰好有一件次品的概率 2 求取出的 3 件产品中次品的件数 X 的概率分布列与期望 考点 超几何分布 离散型随机变量的期望与方差 菁优网版权所有 专题 应用题 分析 设该批产品中次品有 x 件 由已知 可求次品的件数 1 设取出的 3 件产品中次品的件数为 X 3 件产品中恰好有一件次品的概率为 2 取出的 3 件产品中次品的件数 X 可能为 0 1 2 求出相应的概率 从而可得概率分布列与期望 解答 解 设该批产品中次品有 x 件 由已知 x 2 2 分 1 设取出的 3 件产品中次品的件数为 X 3