《信号与系统》-信号与系统教案第四章

信 号 与 系 统,第四章连续时间傅里叶变换连续时间信号的谱分析和时频分析信息科学技术学院 光电工程系二零零六年第上学期,第四章连续时间傅里叶变换连续时间信号的谱分析和时频分析,4.1 引言LTI系统分析法：（1）时域分析法 （2）. 变换域分析 ,注：用复指数函数或复指数序列为基，是因为 它们是LTI系统的特征函数； 它们是正交函数集； 信号频谱同信号一样都是现实可观察的量。 谱分析： 频域分析： 在频域中，用频谱分析的观点分析系统。 时频分析： 对时变信号，分析信号局部时刻所含的频率分量。,4.2 复指数的正交性1. 正交函数 （1）正交函数定义: t (t1, t2)， 满足 （4-3） 则，称 为正交函数集. 若k=1,则称 n=0,1,2N为归一化正交函数集。 若再也找不到其他函数 满足： （4-4） 则，称正交函数集 是完备的（其含义就是再也没有跟 无关的其他函数存在，即，可用 构造空间的所有 函数）。,（2）任意函数可精确地用N+1个正交函数的加权和表示 任意函数 x(t)，正交函数集 ，则有 （4-5） （4-6） （4-7） 式中c n 是x(t)所含的的第n个分量的系数. 证明（4-6）式：,附注：（4-5）式表示 x(t) 在以 为基的空间空间可分解，即， x(t) 中含有 的分量，其大小为 2 . 常用的正交函数集 复指数函数集 t ( t1, t2)， e jnot， n=0,1,2,是正交函数集。 因为 式中T 0 =2/0基波周期。 正弦函数或余弦函数集 t ( t1, t2)，sinnot或cosnot ， n=0,1,2,是正交函数集。 因为,式中T 0 =2/0基波周期。 4.3 周期信号的表示 连续时间傅里叶级数 1. 用复指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数 周期信号 x(t)= x(t+T)， T 0 = min T =2/0基波周期。 复数形式的傅里叶级数 （4-33） 傅里叶系数或频谱 （4-34） 说明：上式 k =n的项称n次谐波，k=0的项是直流分量，k=1的项是基频分量，其周期为T 0 。 谐波分量的频率是基频的整数倍(k =k0)。 若x(t)是实信号，则有 显然 ck= c*-k或c*k= c-k ， 通常 ck是复数。,例 . 已知一周期信号的傅里叶级数的表示式为 (4-18) 式中c0=1， c1=c-1=1/4， c2=c-2=1/2， c3=c-3=1/3， 0=2。求(a)其三角函数表示式；(b)用图解方法表示各谐波分量的波形及合成波形。 解: (a) x(t) 由（4-18）式 x 0(t) x 1(t) (b)各谐波分量波形集合成波形如右图 x 2(t) x 3(t),2. 周期信号的三角函数形式周期信号 x(t)令ck=Ake jk, |ck|=Ak模； k=arg ck幅角。 则， 即，有： 周期信号 的极坐标形式 （4-40）,利用 cos(+)= coscos- sinsin,可得到： 周期信号 的正余弦形式 注意：若x(t) 为实函数，则Bk和-Dk都是实数，且Bk =Reck， -k =Imck，k0. 若ck是实数，则 -Dk =0， x(t)展开为余弦级数，若ck是纯虚数，则 Bk =0， x(t)展开为正弦级数，,例 1. 求周期性矩形脉冲的傅里叶级数 解：该信号的函数形式为占空比： T/T0 ，基波周期T0，基波频率0=2/T0。可得 T/T0 =0.5时，c 1=c-1=A/ , c 3=c-3=-A/ 3, c 5=c-5=A/ 5,-D k=0，2B1=2A/3， 2B5=2A/5，2B2= 2B4 =0， 频谱图( c kk),=2T1=4T1=8T1,傅里叶级数为振幅频谱：c k k 图；相位频谱： k k 图。注意：占空比越小，其频谱越丰富。 例 2. 已知x(t)是一周期性锯齿波如下图所示，试求傅里叶级数 解：锯齿波一周期内形式为 x(t)= t/T 0，-T0/2t非周期信号具有连续谱， 周期信号具有离散谱，谐波性和收敛性。,2.周期信号的功率谱 （1）信号能量在各谐波中的分布 考察平均功率 帕色伐尔定理： （4-91） 功率谱（|c k|2k图）的物理意义：反映周期信号的功率在各谐波中的分布。,帕色伐尔定理揭示了信号变换时能量是守恒的，即，可在时域或频域求信号功率。例. 周期矩形脉冲信号的频谱与功率谱. 可见能量主要集中在低频部分（主峰内）。（2）信号的有效带宽 有效带宽（B w）的概念：占信号能量90%以上的频谱宽度。 矩形脉冲信号的有效带宽第一个零点,有效带宽 为 周期矩形脉冲信号有效带宽内谱线数： N=B w/0 1=2/T10 -1 = T0 /T1 -1。例.周期矩形脉冲信号，A=1v， T0 =0.25s， T1 =0.05s，求 信号的平均功率，有效带宽, 有效带宽内的谱线条数， 有效带宽内的功率，有效带宽内的功率占总功率的比率。 解： , N=B w/0 1 = T0 /T1 -1=0.25/0.05 -1=4 。 c0 =A T1/T0 =0.05/0.25=0.2 P/P=0.1809/0.2=90.4%.,46 傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象 周期信号的傅里叶级数是否一定收敛？ 傅里叶级数的收敛性 满足如下条件的级数是收敛的 荻里赫利（Dirichlet)条件: (1)函数在周期内绝对可积 （含意：ck有限） (2) x(t)的任何周期内极大、极小值的数目是有限的（不是无限震荡）。（3）x(t)在一个周期内部连续点个数有限，其值也有限。连续点处： 不连续点处：,注意：如果周期函数本身及其前n次导数是连续的，而(n+1)阶导数开始出现间断点，则有 ck1/kn+2例 1：周期脉冲（函数有不连续点） ,例 2：三角波（一阶导数不连续）例 3：方波（函数有不连续点）吉伯斯现象 周期信号x(t),有限项和 此时，信号的高频部分被去掉了，信号就会出现失真现象。例如方波，当取有限项时 有限项xN(t)表示x(t)时，在不连续点两侧出现振荡现象，随着项数的增多，振荡频率增高，且靠近不连续点处出现过冲，其峰值并不减小，大约等于不连续点出高度的9%吉伯斯现象。 意义：不连续的时间函数或信号通过一实际系统时，信号的高频部分被衰减，就会出现吉伯斯现象,47非周期信号的表示 连续时间傅里叶级数 如何展开非周期信号？ 1.非周期信号的表示 非周期信号 x(t) 周期信号 周期性开拓 = 显然： 而,当则频谱密度（函数） （4-107）又,非周期信号的傅里叶表示 (4-110)说明： X()是单位频率上的复振幅（ X()=2Ck/0）;又称频谱密度函数（相当对应的周期函数的Ck）。 X() 一般为复数， X() =| X() |ejargX() 。 X() 表示非周期信号中各频率分量的相对大小，arg X() 是相应于各频率分量的相位。 非周期函数（信号）x(t）的频谱密度是连续谱。 x(t)的谱X()与 的谱 Ck的包络一样，只是幅度不同而已。 非周期函数（信号）x(t）表示为复指数函数的连续和。 例,X(),2.傅里叶变换1) 傅里叶变换对 (4-110) (4-111)或 F x(t) = X() 或 x(t) X() F -1X() = x(t) 时域 频域 傅里叶变换是一种频域变换的工具。 2) 傅里叶变换的收敛性 荻里赫利条件： x(t)绝对可积 ； 在任何区间内，x(t)只有有限个极大值和极小值； 在任何区间内，x(t)的不连续点个数有限，而且在不连续点处x(t)的值有限。 满足上述条件的x(t)，其傅里叶积分将在所有连续点收敛于x(t),而在x(t)的各不连续点将收敛于x(t)的左极限和右极限的平均值。 连续点处： 不连续点处： 注意：所有的能量信号都存在傅里叶变换， 许多功率信号或周期信号虽不满足条件（绝对可积条件），但变换中可以使用冲激函数()，则也可以认为该周期信号具有傅里叶变换。 3）一些常用信号的傅里叶变换 单边指数信号,双边指数信号门函数 F 对比,AT1 X() 0 ,单位冲激函数 即， 若 含义：时域中的直流分量在频域只有零频分量 对于F (t)=1 或(t) 1，单位冲激函数的频谱包含振幅相等的所有频率分量。,复激函数 即 推论：,48 傅里叶级数与傅里叶变换的关系1. 傅里叶系数与傅里叶变换的关系（c k与X()的关系） 周期信号 ， 非周期信号 。（4-136） c k = X (k0) /T0 . (4-137)证明：,例 22. 周期信号的傅里叶变换1）周期信号 x(t) 有 则， 周期信号的傅里叶变换为 （4-14）,结论：系数为ck的周期信号的傅里叶变换可以看成是出现在等间隔频率0，而频率为k0上的一串冲激函数。其中频k= k0处的()的强度为第k项傅立叶系数ck的2倍。2) 周期冲激串的傅氏变换 周期冲激串 先求ck ， 周期冲激串的傅氏变换为,49连续时间傅里叶变换的性质与应用1.线性 若 有 a,b为任意常数。2.共轭对称性1）若x(t)是一实时间函数 则 类似地 ： 又 由 结论：实时间函数有 由 实函数 x(t)有: |X(-)|= |X()|，(-)=-().,2). 若x(t)是实偶函数 x(-t)=x(t), 则有结论：此时X()是实偶函数。2). 若x(t)是奇函数 x(-t)=-x(t),结论：此时X()是虚奇函数。推论:,补充性质：3. 时移性 x(t) X(), F x(tt0) =e jto X().说明：时域延时，不改变其频谱函数的幅频特性，而只改变相位特性。要使信号波形并不因延时而变化，要求其频率成份在时域延时同样时间，而在频域相移t0与频率成正比。4.尺度变换性质 x(t) X(), x(at) (1/|a|) X(/a) x(at-0) (1/|a|) X(/a) e -j to /a,5.反转性质6.频移性质 频移性质的主要应用： 调制：把较低频率的信号移到高频的过程。 振幅调制 使高频载波的振幅按信号规律变化。 方法： x(t) x(t) cos0t信号x(t)高频载波 cos0t,x(t),F x(t) cos0t = F x(t) (e jot+ e-jot)/2 = F x(t) e jot/2+ F x(t) e-jot/2 = X(-0) /2+ X(+0) /2 = X(). 频分复用通信中往往需要把不同用户的低频信号调制到不同的频段，而互不干扰。7. 对偶 x(t) X() 则 X(t) x()例. 求抽样函数的频谱函数。解：门函数,令 F X(t) = 2 x() = 2 GT1()/T 1 = G2c()/c 对偶的应用： 1. 函数下的面积 时域中面积： 频域中面积：,例 1.求sinc(ct)下的面积 解： 例 2. 求 解：,2. 等效脉冲宽度、等效频带宽度等效脉冲宽度：定义：等效频带宽度B w：定义：9.时域微分性质 （注意：x(t)中无直流分量时，两个方向都成立） 推广：,例 1. 求(t)的傅里叶变换.解： 已知 F (t) =1， 则 F (t) = j， 且 F (n)(t) =( j) n，例 2. 求符号函数的傅里叶变换 解： 先考虑从而,例 1. 求u(t) 的傅里叶变换.解：为什么不能如下这样做？ 原因是u(t)中含有直流分量。 因为 而,10. 频域微分性质例.,11.时域积分性质附注：12.频域积分性质上式表明，频域中的积分等于在时域中除以-jt.傅里叶变换、性质表见P145,410卷积定理及其应用1.时域卷积定理证明：注意：该定理是频域分析法分析LTI系统和滤波器的基础很重要。,例1. 求三角脉冲的频谱函数解：已知三角脉冲是两个门函数的卷积即则 例2. 求三角波的傅里叶级数解：据上例：,=,例3. 用变换域的方法研究LTI系统2.频域卷积定理（调制定理）注意：该定理是频域分析法研究调制、解调和抽样系统的基础很重要。频域卷积定理应用： 调制与解调振幅调制：信号x(t) :载波:调制：,F g(t) = F x(t)cos 0 t = F x(t)* F cos 0 t = X()* (-0) + (+0) = X(-0) /2+ X(+0) /2 = G()解调 将调制信号再乘高频载波：滤波 门函数,示意图：调制： 解调：411相关 1.相关的定义意义：相关函数反映两信号的相似程度（或关联程度）。应用：目标识别（通信，信号处理和生物医学等方面）。,例 ：已知 求它们的相关函数。解：图解法 其他为零,2. 自相关函数与互相关函数（1）自相关函数 （4-203）含义：R x随时间t变化快慢程度反映x(t)随时间变化款慢程度。 (2) 互相关函数 （4-205） （4-206）若x1(t)、x 2(t)为实数，则,（3）功率信号的相关函数 对于功率信号相关函数不能按上述定义，必须作如下定义。3. 相关定理注意：若x(t)是实偶函数，这时相关定理与卷积定理有相同结果。,4.12能量密度于功率谱密度 类似功率谱（周期信号）|ck| 2，频率处 单位频率间隔所包含在频率分量中的功率和相应带宽，非周期能量信号在频域中的同样有分布和有效带宽。 （1）非周期信号的能量谱密度 非周期信号帕色伐尔定理： （4-220）含义：时域和频域求得的