中考数学复习动点问题的解题技巧

精品文档 1欢迎下载 在运动中分析 在静态中求解 动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型 这类试题以运动的点 线段 变化 的角 图形的面积为基本条件 给出一个或多个变量 要求确定变量与其他量之间的关 系 或变量在一定条件为定值时 进行相关的几何计算和综合解答 解答这类题目 一 般要根据点的运动和图形的变化过程 对其不同情况进行分类求解 本文以一道中考题 为例 谈谈此类问题的思路突破与解题反思 希望能给大家一些启发 题目 如图 1 已知点 A 2 0 B 0 4 AOB 的平分线交 AB 于点 C 一动点 P 从 O 点出发 以每秒 2 个单位长度的速度 沿 y 轴向点 B 作匀速运动 过点 P 且平行于 AB 的直线交 x 轴于点 Q 作点 P Q 关于直线 OC 的对称点 M N 设点 P 运动的时间为 t 0 t 2 秒 1 求 C 点的坐标 并直接写出点 M N 的坐标 用含 t 的代数式表示 2 设 MNC 与 OAB 重叠部分的面积为 S 试求 S 关于 t 的函数关系式 在直角坐标系中 画出 S 关于 t 的函数图象 并回答 S 是否 有最大值 若有 写出 S 的最大值 若没有 请说明理由 一 探求解题思路 1 利用基础知识轻松求解 由题意不难发现第 1 问是对基础知识的考查 有多种方法 考生可自行选择解法 简解 1 可通过作辅助线 过点 C 作 CF 上 x 轴于点 F CE y 轴于点 E 由题意 易 知四边形 OECF 为正方形 设正方形边长为 x 由比例式求出点 C 的坐标 4 3 4 3 简解 2 由点 A B 的坐标可得直线 AB 的解析式 y 2x 4 由 OC 是 AOB 的平分 线可得直线 OC 的解析式 y x 联立方程组轻松解得点 C 的坐标 4 3 4 3 关于求点 M N 的坐标 是对相似及对称性的考查 根据相似可得 P 0 2t Q t 0 根据对称性可得 M 2t 0 N 0 t 这样 第 1 问轻松获解 2 动静结合找界点 分类讨论细演算 第 2 问的第一小题中 所求函数关系式为分段函数 需要分类讨论 这是本题的难 点之一 而关键是动静结合找界点 得出 t 1 时重叠部分的关系会发生变化 这是本题 的难点之二 解答时需动手画出草图 随着点 M N 的位置的变化 MNC 的位置也随之 发生变化 MNC 与 OAB 重叠部分的面积 S 也发生变化 S 可能会存在两种情形 OAB 将 MNC 全部覆盖 OAB 将 MNC 部分覆盖 点 M 从点 O 出发运动到点 A 时 即 t 1 时重叠部分的关系会发生变化 函数关系式也随之改变 由 t 1 这个界点确定两个范围 以此界值进行分类讨论 当 0 t 1 时 点 M 在线段 OA 上 OAB 将 MNC 全部覆盖 重叠部分面积为 S CMN S四边形 CMON S OMN 结合点 C 的坐标 可得 4 3 4 3 S CMN t2 2t 当 1 t 2 时 点 M 在 OA 的延长线上 设 MN 与 AB 交于点 D OAB 将 MNC 部分覆盖 精品文档 2欢迎下载 则重叠部分面积为 S CDN 另一个关键是要用 t 的代数式表示 D 点的横坐标 即 BDN 的高 这是本题的难点之 三 由 M 2t 0 N 0 t 可先用 t 的代数式表示直线 MN 的解析式 y 1 2 x t 再结合直线 AB 的解析式 y 2x 4 联立方程组 解出 D 点的横坐标为 则 82 3 t 重叠部分面积为 S CDN S BDN S BCN 2 18 2 33 tt 综上所述 2 2 2 01 18 212 33 tty S ttt 由函数解析式及其自变量的取值范围可画出函数图象 观察图象可知 当 t 1 时 S 有最大值 最大值为 1 二 规范解答问题 1 如图 2 过点 C 作 CF x 轴于点 F CE y 轴于点 E 由题意 易知四边形 OECF 为正方形 设正方形边长为 x OP 2DQ P 0 2t Q t 0 对称轴 OC 为第一象限的角平分线 对称点坐标为 M 2t 0 N 0 t 2 当 0 t 1 时 如图 3 所示 点 M 在线段 OA 上 重叠部分面积为 S CMN 精品文档 3欢迎下载 当 1 t 2 时 如图 4 所示 点 M 在 OA 的延长线上 设 MN 与 AB 交于点 D 则重叠部 分面积为 S CDN 设直线 MN 的解析式为 y kx b 将 M 2t 0 N 0 t 代入 得 20tkb bt 综上所述 2 2 2 01 18 212 33 tty S ttt 画出函数图象 如图 5 所示 观察图象可知 当 t 1 时 S 有最大值 最大值为 1 三 解题反思 1 关键的一步 本题在突破第 2 问时 能否得出 t 1 时重叠部分的关系会发生变化 这是决定性的 精品文档 4欢迎下载 一步 否则就不知该如何分类讨论 解题就难以找到前进的方向 2 解题难点 解决本题的主要困难首先是分类讨论 依据题意知点 P 运动的时间为 t 0 t 2 秒 可以确定点肘 N 运动过程中的三类点 即起点 界点 有的题中存在多个界点 和终点 由界点值划分范围 确定分类标准 通常情况下 为了书写方便简洁 可将界点值归入 动态的范围 然后进行分类计算 对于几何图形问题 通常需要根据相似 三角函数 勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算 其次是重叠面积分类 当 1 t 2 时 我们面对的困难是如何对重叠部分的面积进行分割 如何用 t 的代数式表示点 D 的横坐 标 得出 S CDN S BDN S BCN也是比较困难的 再者分类后的计算 稍不注意也可能出 错 3 解题收获 解决此类与运动 变化有关的问题 重在运动中分析 变化中求解 首先 要把握运动规律 寻求运动中的特殊位置 在 动 中求 静 在 静 中 探求 动 的一般规律 其次 通过探索 归纳 猜想 获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质 要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论 较为精确地将每种情况一一呈现出 来 再次 要学会将动态问题静态化 即将动态情境化为几个静态的情境 从中寻找两 个变量间的关系 用相关字母去表示几何图形中的长度 点的坐标等 很多情况