等离子体中的非线性薛定谔方程.doc

西 北 师 范 大 学 学 报 (自然科学版)Jo u rna l o f N o r thw e st N o rm a l U n ive r sity (N a tu ra l Sc ience)第33卷 1997年第4期V o l133 1997 N o 1428等离子体中的非线性薛定谔方程段文山(西北师范大学物理系 兰州 730070)作者简介 段文山, 男, 35岁. 1982年毕业于西北师范大学物理系, 1988年于北京九院九所获硕士学位,现为西北师范大学物理系讲师. 主要研究方向为非线性问题.中图法分类号 O 332摘 要 对等离子体中的包络载波的声波进行了研究, 并将其运动归结为非线性薛定谔方程予以描述.关键词 孤立波 等离子体 非线性薛定谔方程孤立子问题, 特别是由非线性薛定谔方程所描述的孤立子问题出现在现代物理学的各个分支中. 例如, 光纤孤立子通讯1, 非线性晶格的振动问题2, 水表面波问题3, 充满流体的弹性管道中的波动问题4, 5, 血管中血流非线性波问题6 8等都可由非线性薛定谔方程或 K dV方程来描述. 本文对等离子体中的非线性波进行讨论, 并给出非线性薛定谔方程.1运动方程本文讨论等离子体中声波的简单情形. 具运动方程见文献9, 密度守恒方程为5nV (n v ) = 0.5t +(1)式中 n 和 v 分别为密度数和离子平均速度. 离子和电子的动量守恒方程分别为dv =Z e n E - V P ,(2)nmd tdv en em e = - en e E - V P e.(3)d tm 和 m e 分别为离子和电子的质量, - e 为电子电荷, Z e 为离子电荷. 假设电子压强满足理想气体状态方程 P e = n e k T e , 且只考虑低离子温度情况 (T T e ) , 并假设 T =态方程给出 P = 0. 电场强度 E 应满足V E = 4e (Z n - n e ) ,j = e (Z n v 2n e e ).只考虑简单情况 j = 0, 并由 (2)、(3)、(5) 式可得0, 这时离子相应的状(4)(5)1 V P e =E +0.(6)en ek T e E m en e ;n .引 入 无 量 纲 化 的 变 量: x = x ; t= t; E =n ; n =e这 里 忽 略 了 m; n=Z0en eLeLn 0Z n 01 2k T ev0 (4n Z 2 e2m ) 1 2. 这样, 方程 (1)、(2)、(3)、(4) 分别变为u =, 其中 L =, =04Z e2 n 00L收稿日期: 1997- 02-275n 5 +(n u ) = 0,(7)5t5x 5n +5n(8)u= E ,5tE +5x 5n e =10,(9)n 5x e5E = n - n .(10)e5x 因为 E = - 5 为电势, 则方程( )()7 10 可写为,5x 5n 5 +(n u ) = 0,(11)5t5x 5u +5u5,(12)u= -5t52 5x 5x = e - n .(13)5x 22 非线性薛定谔方程描述的孤立子问题为了得到此系统中由非线性薛定谔方程所描述的孤立子问题, 作如下的付里叶展开n = 1 + nN(n) (, , x , t) ,n u (n) (, , x , t) ,n (n ) (, , x , t).u =n= 1n= 1n= 1nnn(n)=N(n, l) (, ) e il (k x - t) ,u (n )u (n , l) (, ) e il (k x - t) ,(n )(n, l) (,式 中 N=l= - n= (x -l= - nl= - n) e il (k x - t) ,v t) , = 3 t.将 以上诸式代入 ( 11) ( 13) 式, 比较 nM l 前的系数 (M = e il (k x - t) ) , 由方程 ( 11) 得到如下方程 (1, 1) = k u (1, 1) ,(14)MN= k u,(1, - 1) (1, - 1)- 1(15)(16) (17)(18),i (2, 1) -(1, 1) (1, 1)(2, 1)2M2M 233M-vN + u + ik u= 0, (2, 2) - k u (2, 2) + kN (1, 1) u (1, 1) = 0,(3, 0)(3, 0)(1, 1) (1, - 1)(1, - 1) (1, 1)vN + u + N u + Nu = 0,iN (3, 1) - vN (2, 1)(2, 1)(3, 1) (1, 1)+ u + ik u+ N +ikN (1, 1) u (2, 0) + N (1, - 1) u (2, 2) + N (2, 0) u (1, 1) + N (2, 2) u (1, - 1) = 0.(19)由方程 (12) 可得,(1, 1) k (1, 1)u=,(20)u= k ,(1, - 1) (1, - 1)M - 12M(21)(22)iu (2, 1) - v u (1, 1) (1, 1)(2, 1)-+ +ik = 0,西 北 师 范 大 学 学 报 (自然科学版)Jo u rna l o f N o r thw e st N o rm a l U n ive r sity (N a tu ra l Sc ience)第33卷V o l1333033 ,(3, 0)v u(3, 0)(1, 1) (1, - 1)(1, - 1) (1, 1)+ + uu + uu = 0,()-24iu (3, 1) - v u (2, 1)(2, 1)(3, 1)(1, 1)+ + ik + u +iku (1, 1) u (2, 0) + u (1, - 1) u (2, 0) = 0.(25)由方程 (13) 可得MM - 122M2M 2(1, 1) 2 ) (1, 1)N= (1+ k ,(1, - 1) 2 ) (1, - 1)N = (1+ k ,(26)(27) (28) (29)(30)(2, 0) -(2, 0) + (1, 1) 2 = 0,N(2, 1) 2 ) (2, 1) (1, 1)N - (1+ k - 2 ik = 0,N= (1+ 4k + 1 .(2, 1) 2 ) (2, 2) (1, 1) 22这里 (1, 1) 2 = (1, 1) (1, - 1) , (1, 1) 2 = (1, 1) (1, 1).33M(3, 0) -(3, 0) + (1, 1) (2, - 1) + (1, - 1) (2, 1) = 0,(31)N(1, 1)(2, 1)2 (3, 1) -2 ik -k =(3, 1) + (1, 1) (2, 0) + (1, - 1) (2, 2) + 1 (1, 1) 2 (1, 1).(3, 1) -(32)N222k由 (14)、( 20)、( 26) 式可得色散关系 2 =或 k 2 =并得到 u (1, l) = N(1, l) = (1, l) =.01+ k 221-( l 1时) , 且 u (1, 0) = N (1, 0) = (1, 0) = 0. 因为它们均与 无关, 故由 (16)、(22)、(29) 式可得1v =.(33)k 2k1 +由 (17)、(23)、(30) 式可得(2, 2) = C 1 (1, 1) ) 2 ,u (2, 2) = C 2 (1, 1) ) 2 ,N (2, 2) = C 3 (1, 1) ) 2.(34)(35) (36)其中3k 222 -22(37)C 1 =,k 2 - 2 (1 + 4k 2 )3k 222 -2221 kk(38)C 2 =+, k 2 - 2 (1 + 4k 2 )2214k 2 ) C 1.C 3 =+ (1 +(39)2另外由 (18)、(24)、(31) 式可得u (2, 0) = D 1 (1, 1) 2 +(2, 0) = D 2 (1, 1) 2 +F 1 () ,F 2 () ,F 3 ().(40)(41) (42)(2, 0) = D 3 (1, 1) 2 +N其中21(1 + k 2 ) 2k +v k(43)D 1 =- v ,v 2 -1221k 2 ) 2k v +v 2 kkv 2 +(v 2 -(1 +1)(44)D 2 =-,v 2 -221221k 2 ) 2k v +v 2 kk(1 +v 2 -(v 2 -1)(45)D 3 =-+1.v 2 -221最后, 由 (19)、(25) 和 (32) 式可得A (1, 1)(1, 1)(1, 1) 2(1, 1)+ iC + F () = 0.(46)+iB 如果 F () = 0, 则 (46) 式可变为非线性薛定谔方程A (1, 1)(1, 1)(1, 1) 2 (1, 1) + iB + iC = 0.(47)参 考 文 献1 A g raw a l G P. N on l inea r F ibe r Op t icas. Bo sto n: A cadem ic P re ss, 19892Itzuk a T ,W ada t iM . Sca t te r ing o f enve lop so lito n s by a m a ss im p u r ity in no n linea r la t t ice. J . P hy s. S oc.J p n. , 1991, 61: 4344 43493 M e i C C. D y nam ics of W a te r W av es. B e ijng: A cadem ic P re ss, 19844 D uan W S,W ang B R ,W e i R J. N o n linea r Sch ro d inge r equa t io n in a fu id f illed e la st ic tube. P hy s ics L e t2te rs A , 1997, 224: 154 1585 D uan W S,W ang B R ,W e i R J. T h e decay o f so lito n in sm a ll b loo d a r te ry. J . P hy s. S oc. J p n. , 1996, 65:945 9476 D uan W S,W ang B R ,W e i R J. R ef lec t io n and t ran sm issio n o f no n linea r b loo d w ave due to th e a r te r ia l b ranch ing. P hy s. R ev. E , 1997, 55: 1773 17787 D uan W S, W ang B R , W e i R J. T h e a t tenua t io n o f so lito n in cap illa ry a r te ry. In: 14th I n te rna t iona lS ym p os ium on N on l inea r A cou s t ics. 1996. 362 3668 D uan W S, W ang B R , W e i R J. So lita ry w ave s p rop aga t ing in b loo d ve sse l w a ll. A c ta P hy s ica S in ica ,1997, (10) ( to app ea r)9 Sp itze r L. P hy s ics of F u l ly I on iz ed G ases. N ew Yo rk: In te r sc ience, 1956Io n p la sm a w ave s an d no n lin ea r Sch ro d in ge r equ a t io nD u an W en sh an(D ep a r tm en t o f P h y sic s, N o r thw e st N o rm a l U n ive r sity 730070 L anzho u PR C )A bstra c tU sin g th e redu c t ive p e r tu rb a t io n m e tho d, th e ca r r ie r